摘要：灰狼算法（ＧＷＯ）在大工業(yè)復(fù)雜的優(yōu)化問題求解中存在許多不足之處，如容易陷入局部最優(yōu)解、收斂速度慢、最優(yōu)解精度低等缺點(diǎn)，由此提出一種改進(jìn)的灰狼優(yōu)化算法．在灰狼算法的基礎(chǔ)上，通過引入非線性參數(shù)和新的位置迭代更新方程，構(gòu)建一種基于非線性策略的灰狼優(yōu)化算法，并通過軟件實(shí)現(xiàn)算法．通過８個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)在多維度下的數(shù)值對比實(shí)驗(yàn)和一個(gè)工程設(shè)計(jì)優(yōu)化問題求解，分析驗(yàn)證算法的穩(wěn)定性和優(yōu)越性，并證明其性能均優(yōu)于原有的ＧＷＯ系列算法，是一種具有潛力的元啟發(fā)式算法．

關(guān)鍵詞：優(yōu)化算法；啟發(fā)式算法；群體能算法；灰狼優(yōu)化器；非線性策略

中圖分類號：Ｏ２２４ 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：Ａ 文章編號：１００１-８３９５（２０２４）０４-０５３７-１１

ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１-８３９５．２０２４．０４．０１１

灰狼算法（ｇｒａｙｗｏｌｆｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ，ＧＷＯ）是Ｍｉｒ-ｊａｌｉｌｉ等［１］研究灰狼的等級制度和狩獵機(jī)制并受啟發(fā)得到的一種優(yōu)化算法．相比于其他群體智能算法，ＧＷＯ具有兩個(gè)特點(diǎn)：一是每只狼劃分的等級不同，采用不同等級的灰狼與獵物的距離提高算法本身全局搜索能力；二是獨(dú)特的狩獵機(jī)制影響它們對獵物的識別和圍捕，引入線性參數(shù)加快算法的收斂速度．但是ＧＷＯ算法存在收斂速度慢、求解精度低并且易陷入局部最優(yōu)解等問題．諸多改進(jìn)的灰狼優(yōu)化器目前已能提供接近最優(yōu)解的方案，然而仍然存在過早收斂、面對復(fù)雜問題時(shí)收斂精度不高且收斂速度不夠快等問題．針對這些ＧＷＯ算法存在的問題，有研究者提出了許多調(diào)整策略［２９］：

１）初始化種群策略．傳統(tǒng)ＧＷＯ算法的種群采取隨機(jī)設(shè)定的方式，如果先生成初始階段的灰狼種群，就會導(dǎo)致灰狼種群缺乏多樣性，限制算法搜索靈活性．

２）修改控制參數(shù)策略．在ＧＷＯ算法中收斂因子ａ和系數(shù)向量Ａ是兩個(gè)重要的控制參數(shù)，直接影響算法全局搜索與局部精確開發(fā)的平衡，其中，Ａ由參數(shù)ｒ和ａ決定．先后有很多研究通過非線性調(diào)整參數(shù)ａ來修正Ａ，如：ｍＧＷＯ是文獻(xiàn)［２］利用指數(shù)衰減函數(shù)改善勘探與開發(fā)之間的平衡；文獻(xiàn)［３］新開發(fā)的灰狼算法（ＳＧＷＡ），對非線性行為的雙層網(wǎng)格優(yōu)化問題進(jìn)行了探討，提出一種高效的優(yōu)化算法來實(shí)現(xiàn)優(yōu)化任務(wù)；文獻(xiàn)［４］通過用于對齊多個(gè)分子序列的并行ＧＷＯ技術(shù)，縮短了算法的計(jì)算時(shí)間；文獻(xiàn)［５］提出了基于模糊的ＧＷＯ和聚合算法以及基于模糊的改進(jìn)離散ＧＷＯ和聚合（ＦＭＤＧＷＯＡ）算法，通過局部信息聚合實(shí)現(xiàn)圖像分割等；文獻(xiàn)［６］引入準(zhǔn)對立灰狼優(yōu)化算法解決電力系統(tǒng)的負(fù)荷頻率控制問題（ＬＦＣ），加快了收斂速度并且降低了計(jì)算的復(fù)雜程度．

３）修改位置更新公式．傳統(tǒng)ＧＷＯ算法后期個(gè)體靠近頭狼所在最優(yōu)區(qū)域，缺乏其他信息支撐而只能自主搜索，易陷入局部早熟收斂．為此，有研究提出位置更新公式修改策略，如：文獻(xiàn)［７］通過ＧＷＯ與增加的變異和交叉算子雜交以提高性能，解決了４個(gè)經(jīng)濟(jì)調(diào)度問題，提高了收斂速度；文獻(xiàn)［８］通過采用包括有效的正弦截?cái)嗪瘮?shù)和基于對立的學(xué)習(xí)概念２種數(shù)學(xué)框架，提升了算法的開發(fā)性和探索；文獻(xiàn)［９］提出了一種具有拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的灰狼優(yōu)化器，每只狼都有自己的拓?fù)溧従?，灰狼之間的交互僅限于他們的鄰居，且鄰居間的重疊信息擴(kuò)散機(jī)制可以讓種群多樣性維持更長時(shí)間．

本文提出非線性控制參數(shù)和位置更新混合改進(jìn)灰狼優(yōu)化算法（ＥＧ-ＧＷＯ）．新的非線性控制參數(shù)為算法迭代提供了一種新的搜索方式，提高了算法的搜索能力；新的位置更新方程通過賦予新的權(quán)重及結(jié)合群體最優(yōu)和個(gè)體最優(yōu)的方式，從而平衡算法的勘探和開發(fā)能力，以達(dá)到避免陷入局部最優(yōu)的效果．

通過多組數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，ＥＧＧＷＯ可有效改善ＧＷＯ收斂慢、精度低等缺陷，并將結(jié)果與近３年來ＧＷＯ系變體算法如ＲＷＧＷＯ［１０］、Ｉ-ＧＷＯ［１１］和ＳＯ-ＧＷＯ［１２］作對比，結(jié)果表明ＥＧ-ＧＷＯ算法的性能優(yōu)于其他同類型算法．此外，將新提出的調(diào)整策略與其他群體智能算法如粒子群優(yōu)化算法（ＰＳＯ）［１３］、差分進(jìn)化算法（ＤＥ）［１４］、鯨魚優(yōu)化算法（ＷＯＡ）［１５］和麻雀搜索算法（ＳＳＡ）［１６］進(jìn)行比較，ＥＧＧＷＯ算法同樣更具有優(yōu)勢．最后ＥＧＧＷＯ算法用來解決壓力容器設(shè)計(jì)優(yōu)化這一工程問題，仍有很好的表現(xiàn)．

１ 灰狼優(yōu)化器

灰狼優(yōu)化器（ＧＷＯ）來自灰狼的等級和狩獵制度的啟發(fā)，是一種群體智能進(jìn)化算法．在算法的整個(gè)結(jié)構(gòu)中，會根據(jù)狼的體力和領(lǐng)導(dǎo)力等因素，把狼群中的個(gè)體分為４個(gè)等級（如圖１所示），也即初始種群有４種灰狼，自上而下分別為α、β、δ和ω，其中α狼是第一個(gè)最優(yōu)解，β和δ分別為第二個(gè)和第三個(gè)最佳解決方案，其余的每個(gè)個(gè)體為ω狼，自上而下優(yōu)勢逐次遞減．在ＧＷＯ算法中主要包括３個(gè)步驟：包圍、狩獵和攻擊．

灰狼在狩獵過程中，首先判斷灰狼與獵物之間的距離，計(jì)算公式為

Ｄ ＝｜ＣＸｐ（ｔ）－Ｘ（ｔ）｜， （１）

其中，Ｄ為灰狼與獵物之間的距離，Ｃ為系數(shù)向量，ｔ為當(dāng)前迭代次數(shù)，Ｘｐ（ｔ）為獵物的位置向量，Ｘ（ｔ）為灰狼的位置向量．

灰狼判斷出與獵物之間的距離后，根據(jù)距離按照（２）式對自己的位置更新，即

Ｘ（ｔ＋１）＝Ｘｐ（ｔ）－ＡＤ， （２）

其中，Ａ為系數(shù)向量，Ｘ（ｔ＋１）為灰狼位置更新后的位置向量．Ａ用來判斷ＧＷＯ算法是進(jìn)行全局搜索還是局部搜索：當(dāng)｜Ａ｜＜１時(shí)，灰狼會選擇攻擊獵物；當(dāng)｜Ａ｜＞１時(shí)，灰狼會放棄攻擊當(dāng)前目標(biāo)，繼續(xù)搜索其他目標(biāo)．Ｃ為獵物提供隨機(jī)權(quán)重，進(jìn)而模擬自然界中灰狼捕獵的障礙，防止灰狼過早接近獵物．同時(shí)，它使灰狼在一定范圍內(nèi)進(jìn)行隨機(jī)搜索，避免ＧＷＯ算法陷入局部最優(yōu)，向量Ａ和Ｃ的計(jì)算表達(dá)式如下：

其中，ｒ１和ｒ２為［０，１］中的隨機(jī)向量，ａ∈［０，１］為灰狼的攻擊范圍，Ｔ為迭代的總次數(shù)．

灰狼有能力識別獵物并將其包圍進(jìn)行狩獵．狩獵通常由α狼領(lǐng)導(dǎo)，β和δ也可能參與．然而在抽象的搜索空間中，我們并不知道最佳獵物的位置，于是為了數(shù)學(xué)形式上模擬灰狼的狩獵，假設(shè)α為最佳候選解，β和δ對獵物的位置有更好的定位．因此，保存了到目前為止獲得的前３個(gè)最優(yōu)解，并指引ω狼估計(jì)獵物的位置，然后使整個(gè)狼群向獵物接近，從而狩獵成功．計(jì)算步驟如下：

其中，Ｄα、Ｄβ和Ｄδ分別表示當(dāng)前α、β和δ灰狼中個(gè)體與之間的距離，Ｃ１、Ｃ２和Ｃ３分別表示當(dāng)前α、β和δ的搜索范圍，Ａ１、Ａ２和Ａ３為系數(shù)，Ｘ１、Ｘ２和Ｘ３分別表示灰狼個(gè)體受α、β和δ影響后的移動．

２ 改進(jìn)的灰狼算法（ＥＧＧＷＯ）

種群多樣性是指種群中各個(gè)體之間的差異性，對算法的探索能力和開發(fā)能力具有重要影響．通常，種群多樣性的缺失會造成過度開發(fā)，引發(fā)早熟收斂問題；而過量的種群多樣性又會造成過度探索，從而導(dǎo)致停滯問題．從種群多樣性的角度來說，較高的種群多樣性可以防止早熟收斂，而較低的種群多樣性可以防止停滯［１７］．在經(jīng)典的ＧＷＯ算法中，每個(gè)個(gè)體灰狼ω會向領(lǐng)頭狼α、β和δ狼移動，它們的移動沒有其他信息作為支撐，就無法判斷是否陷入局部最優(yōu)，同時(shí)也使算法在迭代過程中失去多樣性［１８］，這樣也降低了算法的收斂速度，因此會導(dǎo)致算法過早收斂．為使算法在保持種群多樣性的同時(shí)保證算法收斂速度和精度，改進(jìn)的非線性控制參數(shù)策略使算法在尋找全局最優(yōu)時(shí)種群多樣性得到保證；改進(jìn)的位置更新方程可使算法在快速收斂的同時(shí)保證收斂精度．本節(jié)詳細(xì)介紹了本文提出的ＥＧＧＷＯ算法．

２．１ 基于指數(shù)函數(shù)的非線性控制參數(shù)

在群體智能算法中，探索能力是指在解空間中搜索各種未知區(qū)域以確定全局最優(yōu)解的能力．開發(fā)能力指的是應(yīng)用先前令人滿意的解決方案的知識來找到更好的解決方案［１９］．通過種群多樣性的保持和控制來平衡探索能力和開發(fā)能力已成為智能算法改進(jìn)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)［１９２０］，并且這種平衡對于優(yōu)化算法尤其重要．在標(biāo)準(zhǔn)ＧＷＯ算法中，通過調(diào)整控制參數(shù)ａ的取值來平衡算法的探索能力和開發(fā)能力，具體做法是在迭代過程中，ａ的值由２線性減少到０．在迭代早期，較大的ａ能夠獲得較大的搜索步長，有助于提升算法的全局探索能力，避免算法過早收斂［１］．在迭代后期，較小的ａ能夠使灰狼的搜索范圍更集中，提升算法的開發(fā)能力，可以使算法更快收斂．但由于ＧＷＯ算法的搜索過程是非線性的且極其復(fù)雜，因此ａ的線性遞減不能真正反映算法的實(shí)際搜索過程．本文提出一種新的非線性調(diào)整策略，將控制參數(shù)ａ的值定義為

其中，ａｂ和ａｅ表示控制參數(shù)ａ的初始值和終止值，ａｂ＝２，ａｅ＝０，ｔ表示當(dāng)前迭代次數(shù)，Ｔ表示最大迭代次數(shù)．

在經(jīng)典的ＧＷＯ算法中，迭代次數(shù)的一半用于最優(yōu)解的探索階段，另一半用于最優(yōu)解的開發(fā)階段．但是過量的種群多樣性又會造成過度探索，從而導(dǎo)致停滯，于是就不會獲得滿意的優(yōu)化結(jié)果．然而，對搜索空間的過度開發(fā)可以提升找到最優(yōu)解的概率，并加快收斂速度（如圖２所示）．這里，使用指數(shù)函數(shù)來降低ａ的值，在迭代過程中，用于探索階段和開發(fā)階段的迭代次數(shù)分別占總次數(shù)的４１．５％和５８．５％．

２．２ 位置更新方程

通過經(jīng)典的ＧＷＯ算法中灰狼位置更新方程的表達(dá)式，不難看出ＧＷＯ算法位置更新方程僅考慮了個(gè)體當(dāng)前位置信息和群體歷史最優(yōu)位置信息，并且由群體歷史最優(yōu)位置Ｘα（ｔ）進(jìn)行引導(dǎo)搜索．因此，標(biāo)準(zhǔn)ＧＷＯ算法具有較好的開發(fā)能力，但忽略了其全局探索能力，在進(jìn)行多峰值優(yōu)化問題求解時(shí)易陷入局部最優(yōu)．另外，可以看出無論Ｘ１、Ｘ２和Ｘ３取值如何，都在均勻影響著ω的位置更新．但事實(shí)上，α、β和δ的體力、領(lǐng)導(dǎo)力等因素各不相同，其產(chǎn)生的影響力也應(yīng)該不同．基于以上原因，本文對位置更新方程定義為

其中，ｂ１和ｂ２分別表示灰狼群體最優(yōu)位置和灰狼個(gè)體最優(yōu)位置系數(shù)，由系統(tǒng)隨機(jī)生成，且ｂ１，ｂ２∈（０，１］；ｒ１和ｒ２表示［０，１］中的隨機(jī)向量；Ｘｂｅｓｔ表示灰狼個(gè)體的最佳位置；Ｘｉ表示灰狼中隨機(jī)選擇的灰狼個(gè)體的位置向量．

由（１４）式可以看出，方程等號右邊第１項(xiàng)的權(quán)重系數(shù)發(fā)生了變化，可根據(jù)α、β和δ的能力大小對位置產(chǎn)生不同程度的影響并賦予不同的權(quán)重；其次，增加了等式右邊第２項(xiàng)中的個(gè)體最佳位置信息，并隨機(jī)賦予權(quán)重，其目的是模擬最優(yōu)灰狼在靠近獵物時(shí)，隨機(jī)判斷與獵物之間位置并提供下一步行動的趨勢，也即進(jìn)一步增強(qiáng)算法的開發(fā)能力；最后，通過ｂ１和ｂ２進(jìn)行算法的全局探索能力和開發(fā)能力的平衡調(diào)節(jié)，避免過早收斂或陷入局部最優(yōu)．下面分別給出ＥＧＧＷＯ算法的流程圖（圖３）和執(zhí)行偽碼．

算法１ ＥＧＧＷＯ算法

Ｉｎｐｕｔ：種群規(guī)模Ｎ，維度Ｄｉｍ，最大的代次數(shù)Ｔ，隨機(jī)初始化灰狼種群．

１）隨機(jī)初始化灰狼種群；

２）初始化Ａ、Ｃ和ａ；

３）計(jì)算灰狼個(gè)體適應(yīng)度；

４）尋找首個(gè)Ｘα（ｔ）、Ｘβ（ｔ）和Ｘδ（ｔ）；

５）ｗｈｉｌｅ（ｔ＜Ｔ）；

６）計(jì)算每個(gè)種群的適應(yīng)度函數(shù)值；

７）ｆｏｒ１：Ｎ；

８）由（１３）式更新參數(shù)ａ

９）由（３）和（４）式更新參數(shù)Ａ和Ｃ；

１０）更新最優(yōu)Ｘα（ｔ）、Ｘβ（ｔ）和Ｘδ（ｔ）；

１１）由（１４）式更新灰狼位置；

１２）ｅｎｄｆｏｒ；

１３）ｔ＝ｔ＋１；

１４）ｅｎｄｗｈｉｌｅ．

Ｏｕｔｐｕｔ：最優(yōu)解Ｘｂｅｓｔ，最優(yōu)適應(yīng)度ｆ（Ｘｂｅｓｔ）．

３ 實(shí)驗(yàn)與驗(yàn)證分析

３．１ 基準(zhǔn)函數(shù)和測試算法

為測試本文提出的改進(jìn)算法的有效性，本節(jié)在維度為１０、３０和１００的基準(zhǔn)函數(shù)上分別進(jìn)行測試．等比例選取常用的８個(gè)測試函數(shù)進(jìn)行測試，其中：單峰函數(shù)Ｓｐｈｅｒｅ、Ｓｃｈｗｅｆｅｌ’ｓＰｒｏｂｌｅｍ、Ｓｃｈｗｅｆｅｌ’ｓＰｒｏｂｌｅｍ２．２１和ＱｕａｒｔｉｃＦｕｎｃｔｉｏｎｉ．ｅ．Ｎｏｉｓｅ，后文分別簡稱為Ｆ１、Ｆ２、Ｆ３ 和Ｆ４；多峰函數(shù)ＧｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＲａｓｔｒｉｇｉｎ、Ａｃｋｌｅｙ、ＧｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＧｒｉｅｗａｎｋ和ＧｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＰｅｎａｌ-ｉｚｅｄ，后文分別簡稱為Ｆ５、Ｆ６、Ｆ７ 和Ｆ８．將本文提出的ＥＧ-ＧＷＯ算法與近幾年開發(fā)的ＧＷＯ系改進(jìn)算法進(jìn)行對比．同時(shí)，與應(yīng)用廣泛的經(jīng)典智能算法，如：ＧＷＯ、ＰＳＯ、ＷＯＡ、ＤＥ和ＳＳＡ進(jìn)行對比．基準(zhǔn)函數(shù)如表１所示．

實(shí)驗(yàn)環(huán)境：６４位Ｗｉｎ１０操作系統(tǒng)、Ｉｎｔｅｌ（Ｒ）Ｃｏｒｅ（ＴＭ）ｉ７６７００ＨＱＣＰＵ＠ ２．６０ＧＨｚ在８ＧＢ內(nèi)存上執(zhí)行．實(shí)驗(yàn)平臺：Ｐｙｔｈｏｎ３．１０．通用實(shí)驗(yàn)條件設(shè)置為：空間維度３０，種群規(guī)模３０，最大迭代次數(shù)１０００，獨(dú)立運(yùn)行次數(shù)２０．

３．２ ＥＧＧＷＯ與ＧＷＯ系改進(jìn)算法對比試驗(yàn)

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文提出的兩個(gè)調(diào)整策略對ＧＷＯ算法性能改善的效果，以灰狼算法和其改進(jìn)算法（ＲＷ-ＧＷＯ、Ｉ-ＧＷＯ、ＳＯ-ＧＷＯ）為對比進(jìn)行實(shí)驗(yàn)．對比算法的結(jié)果數(shù)據(jù)均取自于相應(yīng)文獻(xiàn)，并且根據(jù)相應(yīng)文獻(xiàn)參數(shù)設(shè)計(jì)代碼進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，最終得到對比的測試實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（表２）．

分析表２可知，在算法對測試函數(shù)的優(yōu)化過程中，單峰函數(shù)中：ＥＧ-ＧＷＯ無論是在平均值還是標(biāo)準(zhǔn)差的對比中，其收斂精度均高于ＲＷ-ＧＷＯ、Ｉ-ＧＷＯ和ＳＯ-ＧＷＯ，同時(shí)最接近函數(shù)的理論最優(yōu)值．多峰函數(shù)中：對于Ｆ５ 和Ｆ７，ＥＧ-ＧＷＯ、ＲＷ-ＧＷＯ、Ｉ-ＧＷＯ和ＳＯ-ＧＷＯ均能夠收斂至理論最優(yōu)值．本文提出的改進(jìn)算法的尋優(yōu)速度和精度明顯有效且對于經(jīng)典ＧＷＯ算法有所改善，同時(shí)ＥＧ-ＧＷＯ與其余３種最新的改進(jìn)算法均能跳出局部干擾并精準(zhǔn)捕獲全局最優(yōu)值．對于Ｆ６，ＥＧ-ＧＷＯ的求解精度相比ＧＷＯ有了較大的提升．對于Ｆ８，ＥＧ-ＧＷＯ無論是平均值還是標(biāo)準(zhǔn)差同比ＧＷＯ均提升較大，且在同類型的優(yōu)化算法中都具有較大的優(yōu)勢，尤其最接近理論最優(yōu)值．以上結(jié)果表明，２種策略組合形成的ＥＧ-ＧＷＯ對單／多峰函數(shù)均有較強(qiáng)的處理能力，增強(qiáng)了原始算法的搜索效率和提升了逃逸局部最優(yōu)的概率，且在有限適應(yīng)度評估次數(shù)內(nèi)在同系改進(jìn)算法中具有競爭力．

３．３ ＥＧＧＷＯ與其他元啟發(fā)式算法對比實(shí)驗(yàn)

選取灰狼優(yōu)化算法（ＧＷＯ）、粒子群優(yōu)化算法（ＰＳＯ）、麻雀搜索算法（ＳＳＡ）、鯨魚優(yōu)化算法（ＷＯＡ）和差分進(jìn)化算法（ＤＥ）從３種維度進(jìn)行仿真對比實(shí)驗(yàn)．算法參數(shù)設(shè)置參照文獻(xiàn)［１，１３-１４，１６］，具體設(shè)置如表３所示．不同維度情形下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果見表４．

由表４可知，在不同維度下，每個(gè)算法對測試函數(shù)的優(yōu)化效果都有各自的特點(diǎn)，但本文提出的ＥＧ-ＧＷＯ算法在多數(shù)測試函數(shù)上性能較為優(yōu)異，說明ＥＧ-ＧＷＯ的普適性勝過對比算法．同時(shí)，隨著搜索空間擴(kuò)張，５種算法求解精度均有不同程度損失，而ＥＧ-ＧＷＯ有效地克服了空間復(fù)雜度增加帶來的搜索難問題，仍維持較高的尋優(yōu)精度，表明ＥＧ-ＧＷＯ局部極值規(guī)避和全局探索能力總體強(qiáng)于對比算法，兼?zhèn)涓呔S可擴(kuò)展性．

３．４ ＥＧ-ＧＷＯ收斂性分析

本節(jié)在３０維搜索空間中追蹤并記錄６種算法每次迭代后獲得的最優(yōu)適應(yīng)度，通過對比變化曲線分析其收斂性能，圖４展示了２０次實(shí)驗(yàn)的平均收斂曲線．對于單峰函數(shù)，ＥＧ-ＧＷＯ能高速搜尋解空間且在中后期捕捉到最優(yōu)解；對于多峰函數(shù)，ＥＧＧＷＯ前期仍保持快速探索，后期成功逃逸個(gè)別局部極值收斂至比其他算法更優(yōu)的目標(biāo)值．總體表現(xiàn)說明，ＥＧ-ＧＷＯ較好地兼顧了收斂速度和收斂精度，并且有效緩解了早熟收斂問題．

４ 壓力容器設(shè)計(jì)優(yōu)化應(yīng)用

壓力容器設(shè)計(jì)（ｐｒｅｓｓｕｒｅｖｅｓｓｅｌｄｅｓｉｇｎ，ＰＶＤ），其目的旨在滿足生產(chǎn)需求的同時(shí)使其總費(fèi)用（目標(biāo)函數(shù)）最少．圖５為壓力容器的設(shè)計(jì)示意圖及所需考慮的參數(shù)，其中４個(gè)設(shè)計(jì)變量分別為：ｘ１表示內(nèi)半徑（Ｒ）、ｘ２表示忽略頭部的圓柱形截面長度（Ｌ）、ｘ３表示外殼厚度（Ｔｓ），ｘ４ 表示封頭厚度（Ｔｈ）．?dāng)?shù)學(xué)模型［２１２２］為：

ｍｉｎｆ（ｘ）＝０．６２２４ｘ１ｘ３ｘ４ ＋１．７７８１ｘ２ｘ２３＋３．１６６１ｘ２１ｘ４ ＋１９．８４ｘ２１ｘ３，

為了驗(yàn)證本文提出的改進(jìn)算法對壓力容器設(shè)計(jì)問題的應(yīng)用性能，將ＥＧ-ＧＷＯ算法對壓力容器優(yōu)化得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與該優(yōu)化問題已有數(shù)據(jù)進(jìn)行比對，為盡量保證對比實(shí)驗(yàn)的客觀性，其中部分?jǐn)?shù)據(jù)來自文獻(xiàn)［２１２２］．

觀察表５可知，ＥＧＧＷＯ算法在眾多的算法中有明顯的優(yōu)勢，在解決壓力容器設(shè)計(jì)優(yōu)化問題中能得到更優(yōu)的解，也即從工程算例這一角度驗(yàn)證了ＥＧＧＷＯ算法的可行性和有效性．

５ 結(jié)論

本文在前人的基礎(chǔ)上提出了一種改進(jìn)的灰狼算法，即非線性調(diào)整策略的灰狼算法．該方法通過對控制參數(shù)和位置更新方程的調(diào)整，來實(shí)現(xiàn)對算法的改進(jìn)．采用各類基準(zhǔn)測試函數(shù)對比，發(fā)現(xiàn)該算法在探索、開發(fā)、避免局部最優(yōu)和收斂方面的性能相較于前人開發(fā)的群體智能算法具有高度的競爭力．首先，對比了單峰函數(shù)，展現(xiàn)出ＥＧＧＷＯ算法的優(yōu)越性；其次，通過對多模態(tài)函數(shù)實(shí)際測試，結(jié)果證實(shí)了ＥＧＧＷＯ算法的探索能力．

最后，對ＥＧＧＷＯ算法的收斂性進(jìn)行了分析，并應(yīng)用于工程問題，也證實(shí)了該算法擁有較高的收斂精度和較快的收斂速度，具有較好的工程應(yīng)用前景．

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（編輯 陶志寧）

基金項(xiàng)目：四川省科技創(chuàng)新苗子工程資助項(xiàng)目（２０２２０３４）和成都市國際合作項(xiàng)目（２０２０-ＧＨ０２-０００２３-ＨＺ）