摘要：研究一類帶加性噪聲的隨機(jī)偏微分方程在不同相空間中的中心流形的存在性．通過引入隨機(jī)變換的方法處理噪聲項(xiàng)，得到隨機(jī)偏微分方程的解，生成隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)，再通過Ｌｙａｐｕｎｏｖ-Ｐｅｒｒｏｎ方法證明中心流形的存在性．

關(guān)鍵詞：隨機(jī)偏微分方程；隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)；隨機(jī)中心流形；加性噪聲

中圖分類號(hào)：Ｏ１７５．２９ 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：Ａ 文章編號(hào)：１００１-８３９５（２０２４）０４-０５５５-０７

ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１-８３９５．２０２４．０４．０１３

０ 引言

本文研究一類帶加性噪聲的隨機(jī)偏微分方程

其中，Ａε，０＜ε≤ε０（ε０是一個(gè)常數(shù)）是一簇稠定、自伴，在可分的實(shí)Ｈｉｌｂｅｒｔ空間上有緊預(yù)解的線性算子；Ｆε（ｖε）是一簇從Ｘε到它自身的非線性算子；ｈε（ｘ）是Ｘε中的一個(gè)元素，并且ｈε（０）＝０．相空間Ｘε隨著ε改變而改變．

不變流形對(duì)描述和理解非線性動(dòng)力系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為起著十分重要的作用，已經(jīng)被廣泛用于研究無(wú)窮維確定動(dòng)力系統(tǒng)．Ｈａｄａｍａｒｄ［１］最早提出確定動(dòng)力系統(tǒng)的不變流形理論，然后Ｌｙａｐｕｎｏｖ［２］和Ｐｅｒｒｏｎ［３］使用了不同的方法進(jìn)行研究．其中Ｈａｄａｍａｒｄ的圖變換方法是一種幾何方法，而ＬｙａｐｕｎｏｖＰｅｒｒｏｎ方法是一種解析方法．從那時(shí)起，產(chǎn)生了大量研究有限維和無(wú)限維確定動(dòng)力系統(tǒng)的不變流形的文獻(xiàn)［４１１］．本文將通過解析方法研究在不同的相空間中，帶加性噪聲的隨機(jī)偏微分方程的中心流形的存在性．

Ｈａｌｅ等［１２］把確定動(dòng)力系統(tǒng)的研究推廣到了薄域上，建立了一類反應(yīng)擴(kuò)散方程，他們研究了從二維薄域崩潰到一維區(qū)域時(shí)慣性流形的持久性．此后，他們的結(jié)果被用于研究各種問題［２１８］．最近，Ａｒｒｉｅｔａ等［１３］針對(duì)處理一類帶有奇異擾動(dòng)的確定發(fā)展方程建立了一個(gè)基本框架，并建立了慣性流形的收斂．

對(duì)于隨機(jī)常微分方程（有限維隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)）的不變流形理論已經(jīng)被廣泛研究［１９２１］，但是，對(duì)于隨機(jī)偏微分方程的研究仍然處于早期階段．最近，對(duì)帶加性噪聲或者乘性噪聲的隨機(jī)偏微分方程的不變流形理論的研究已經(jīng)有一些成果［２２２９］．此外，文獻(xiàn)［３０］證明了帶非線性乘性噪聲的隨機(jī)波動(dòng)方程的不變流形的存在性，文獻(xiàn)［３１３２］研究了隨機(jī)微分方程的中心流形收斂于其ＷｏｎｇＺａｋａｉ近似方程的中心流形，文獻(xiàn)［３３３４］討論了帶乘性噪聲的隨機(jī)偏微分方程的不變流形的近似行為．

１ 預(yù)備知識(shí)

參考文獻(xiàn)［１９］給出隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的基本概念，參考文獻(xiàn)［２３］介紹在Ｈｉｌｂｅｒｔ空間中的線性算子Ａε和非線性算子Ｆε及其性質(zhì)．

１．１ 隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)

設(shè)（Ω，Ｆ，Ｐ）是一個(gè)概率空間，Ｘ是一個(gè)可分的Ｈｉｌｂｅｒｔ空間，其范數(shù)為‖·‖．分別使用Ｂ（Ｒ）、Ｂ（Ｒ＋）和Ｂ（Ｘ）表示在Ｒ、Ｒ＋和Ｘ上的Ｂｏｒｅｌ集．

參考文獻(xiàn)

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（編輯 鄭月蓉）

基金項(xiàng)目：四川省科技廳應(yīng)用基礎(chǔ)計(jì)劃（２０１６ＪＹ０２０４）