劉京成

情境教學(xué)法通過將抽象的知識融入具體的情境中，幫助學(xué)生更好地理解和應(yīng)用這些知識。本文以湘教版數(shù)學(xué)高一必修第二冊“解三角形”中“余弦定理”的教學(xué)為例，探討如何運(yùn)用情境教學(xué)法促進(jìn)高中生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

【教材分析】

“解三角形”是在初中平面幾何和三角函數(shù)知識的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步深化對三角形性質(zhì)和關(guān)系的研究的內(nèi)容。這一部分內(nèi)容對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生的幾何直觀和邏輯推理能力具有重要意義。在本部分內(nèi)容中，學(xué)生需要學(xué)習(xí)余弦定理的概念、掌握余弦定理的兩種表示形式以及證明余弦定理的向量方法，學(xué)會運(yùn)用余弦定理來解決基本的解三角形問題。

【學(xué)情分析】

高中生在“解三角形”這一部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)上存在一定的認(rèn)知難度?！敖馊切巍鄙婕暗闹R點(diǎn)較為抽象，學(xué)生在理解及應(yīng)用上可能存在困難。另外，雖然學(xué)生在學(xué)習(xí)解三角形之前已經(jīng)具備了一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，如三角函數(shù)、平面幾何等，然而如何將這些知識運(yùn)用到解三角形的問題中，對學(xué)生來說是一個新的挑戰(zhàn)。因此，為了更好地促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展，教師可以通過創(chuàng)設(shè)與解三角形相關(guān)的實(shí)際情境，引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考、實(shí)踐和總結(jié)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的鍛煉和提升。

【核心素養(yǎng)目標(biāo)】

1.掌握解三角形的基本原理和方法。

2.能夠運(yùn)用余弦定理解決與三角形相關(guān)的問題。

3.培養(yǎng)學(xué)生主動探究和解決問題的能力。

4.訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和邏輯推理能力，提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。

5.在解決問題的過程中體驗(yàn)數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。

6.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)。

【教學(xué)重難點(diǎn)】

教學(xué)重點(diǎn)：

1.掌握解三角形的基本原理和方法。

2.運(yùn)用余弦定理解決與三角形相關(guān)的問題。

教學(xué)難點(diǎn)：

1.如何運(yùn)用情境教學(xué)法引導(dǎo)學(xué)生深入理解三角形的基本原理。

2.如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和解決問題的能力，促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)和探究能力的提升。

想要解決這些重點(diǎn)和難點(diǎn)，教師需要運(yùn)用多種教學(xué)方法，如案例分析、小組討論、實(shí)驗(yàn)探究等。同時，注重學(xué)生的自主學(xué)習(xí)和探究能力的培養(yǎng)，鼓勵學(xué)生主動參與課堂活動，積極思考和解決問題。

【教學(xué)過程】

◆引入環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

教師：同學(xué)們，你們好！今天我想和大家探討一個有趣的話題——解三角形。但在此之前，我想問大家一個問題：你們覺得，在日常生活中，哪些地方可能會涉及三角形的知識呢？

學(xué)生：橋梁設(shè)計(jì)、建筑物的穩(wěn)定性。

學(xué)生：測量角度、距離。

學(xué)生：衛(wèi)星軌道計(jì)算。

教師：非常好，看來大家對三角形的應(yīng)用有一定的了解。那么，你們想過沒有，為什么這些實(shí)際問題的解決會涉及三角形？三角形又為何如此神奇？

學(xué)生：三角形具有穩(wěn)定性。

教師：是的，三角形是一個非常特殊的圖形，它的一些性質(zhì)使我們能夠利用它來解決很多實(shí)際問題。如圖1所示，A，B分別是兩個山峰的頂點(diǎn)，在山腳下任意選擇一點(diǎn)C，然后使用測量儀得出AC，BC以及∠ACB的大小。你能根據(jù)這三個量求出AB的距離嗎？

◆主體環(huán)節(jié)：探究新知，解決問題

教師：首先，我們來了解一下余弦定理的基本概念。三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。即a2=b2+c2-2bcosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC。

學(xué)生：這個公式看起來好復(fù)雜啊！

教師：確實(shí)，初看起來這個公式可能有些復(fù)雜，但我們可以一步步來理解它。首先，我們知道勾股定理，也就是直角三角形中斜邊的平方等于兩直角邊平方的和。余弦定理實(shí)際上是勾股定理的延伸，它描述了任意三角形邊長和角度之間的關(guān)系。

學(xué)生：哦，原來余弦定理和勾股定理是有關(guān)聯(lián)的！

教師：是的，通過勾股定理，我們可以推導(dǎo)出余弦定理。想象一下，如果我們有一個直角三角形，那么我們可以將其視為一個特殊的銳角三角形，其中一個角為90度。因此，我們可以利用勾股定理來計(jì)算其中一條直角邊的平方，然后再利用余弦定理來計(jì)算其他邊的長度。

學(xué)生：我明白了，通過勾股定理，我們可以推導(dǎo)出余弦定理，這樣我們就可以求解任意三角形的邊長了！

教師：同學(xué)們，接下來我們通過勾股定理來驗(yàn)證一下。仍以上面的題為例。

如圖2所示：

當(dāng)A為銳角時，在△ABC中，

教師：已知AB=c，AC=b和∠A，作CD⊥AB，則CD=bsinA，BD=c-bcosA。

∴a2=CD2+BD2

=（bsinA）2+（c-bcosA）2

=b2sin2A+c2+b2cos2A-2bccosA

=b2+c2-2bccosA

當(dāng)A為直角時：由勾股定理a2=b2+c2，又cosA=0

∴a2=b2+c2-2bccosA成立

當(dāng)A為鈍角時，同理可證。

教師：同學(xué)們，對于這道題，你們有什么想法？

學(xué)生：余弦定理是一個非常重要的數(shù)學(xué)定理，它可以幫助我們解決很多與三角形相關(guān)的問題。

教師：沒錯！余弦定理是一個非常有用的工具，它可以用來解決三角形中的很多問題。除了基本的余弦定理外，我們還可以對余弦定理進(jìn)行一些變形，以便更好地解決實(shí)際問題。接下來，我將介紹一種對余弦定理的變形，它可以幫助我們解決一類特定的問題。

學(xué)生：變形？什么意思呢？

教師：簡單來說，就是對余弦定理的公式進(jìn)行一些調(diào)整或轉(zhuǎn)化，以便更好地適應(yīng)解決問題的需求。通過對余弦定理進(jìn)行變形，我們可以得到一些新的公式或表達(dá)式，這些公式或表達(dá)式在解決某些特定問題時更加方便和高效。

學(xué)生：原來是這樣啊！

教師：根據(jù)我們剛才得到的公式，可以得到下面這三個公式：

教師：同學(xué)們，我們還可以利用余弦定理的變形判定角，在△ABC中，c2＝a2＋b2？圳∠C為直角；c2>a2＋b2？圳∠C為鈍角；c2

教師：利用上述公式就可由三角形的三條邊計(jì)算出三角形的三個內(nèi)角。同學(xué)們，讓我們看看下面這道題。

已知△ABC，根據(jù)下列條件解三角形：

◆鞏固環(huán)節(jié)：鞏固練習(xí)，拓展提高

教師：通過前面的學(xué)習(xí)，我們深入探討了余弦定理，并了解了一些變形的形式。接下來，我們將通過一些練習(xí)題來鞏固和加深對余弦定理的理解。

首先，我們來看一些題目，如圖3所示，海上A，B兩個小島相距10海里，從A島望C島和B島成60°的視角，A，C兩島相距20海里，則B島與C島間的距離是________．

教師：同學(xué)們，這道題，我們要如何解呢？

學(xué)生：已知在△ABC中，AB=10，AC=20，∠BAC=60°，我們已經(jīng)知道兩邊和兩邊的夾角，利用余弦定理求解就可以。

教師：非常好，你能說說具體如何解嗎？

學(xué)生：好的，由已知的條件設(shè)公式

教師：非常棒。

【教學(xué)總結(jié)】

在本次教學(xué)中，我們深入探討了余弦定理及其在解決三角形問題中的應(yīng)用。通過情境教學(xué)法的運(yùn)用，我引導(dǎo)學(xué)生積極參與，激發(fā)了學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣和熱情。情境教學(xué)法的運(yùn)用使抽象的數(shù)學(xué)概念變得生動有趣。通過引入實(shí)際情境和問題，學(xué)生能夠更好地理解余弦定理的意義和應(yīng)用，加深對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)識。另外，情境教學(xué)法促進(jìn)了學(xué)生的主動思考和數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。在解決實(shí)際問題的過程中，學(xué)生需要運(yùn)用所學(xué)知識進(jìn)行推理、分析和創(chuàng)新，這有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和解決問題的能力。

總的來說，情境教學(xué)法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮了積極的作用。它不僅激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和熱情，還促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。在今后的教學(xué)中，我將繼續(xù)運(yùn)用情境教學(xué)法，結(jié)合其他教學(xué)方法和手段，提高教學(xué)質(zhì)量和效果。同時，我也會不斷反思和總結(jié)自己的教學(xué)，不斷完善和改進(jìn)教學(xué)方法，以更好地滿足學(xué)生的學(xué)習(xí)和發(fā)展需要。

（作者單位：甘肅省玉門市第一中學(xué)）

編輯：常超波