田載今

研究問題時需要關(guān)注各種相關(guān)信息，這些信息通常以數(shù)字形式呈現(xiàn)，即統(tǒng)計中所稱的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)不僅能簡潔地表達(dá)信息，而且能定量地刻畫信息，便于我們科學(xué)地分析信息，因而數(shù)據(jù)是研究問題的重要依據(jù)，隨著計算機和云計算的迅速發(fā)展，大數(shù)據(jù)時代已經(jīng)到來，海量數(shù)據(jù)的處理得到越來越廣泛的應(yīng)用．

統(tǒng)計學(xué)是研究數(shù)據(jù)處理的學(xué)科，統(tǒng)計的全過程包括：收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)（發(fā)現(xiàn)并研究數(shù)據(jù)的分布特征），并依此推斷、評判已發(fā)生的事或預(yù)測將發(fā)生的事，在統(tǒng)計過程中，已收集到而未進一步處理的數(shù)據(jù)叫作原始數(shù)據(jù)．一般情況下，直接面對一組未經(jīng)整理的原始數(shù)據(jù)，難以發(fā)現(xiàn)其分布特征．因此，通常需要對原始數(shù)據(jù)進一步加工整理，使其分布狀況變得清晰．從中得出相應(yīng)的特征值作為數(shù)據(jù)代表，再從研究數(shù)據(jù)代表人手，深入研究相關(guān)問題．

一組數(shù)據(jù)的分布特征可以從不同方面進行分析，下面從數(shù)據(jù)分布的集中趨勢和離散程度兩方面，討論統(tǒng)計中常用的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和方差等數(shù)據(jù)代表．

一、描述集中趨勢的數(shù)據(jù)代表

“一組數(shù)據(jù)圍繞哪個中心數(shù)值分布？”這是分析數(shù)據(jù)時通常關(guān)注的一個問題．它關(guān)系到一組數(shù)據(jù)的平均水平或一般情況，對統(tǒng)計推斷有重要參考價值．在統(tǒng)計學(xué)中，把一組數(shù)據(jù)向某一中心數(shù)值靠攏的情形，稱為這組數(shù)據(jù)的集中趨勢．在描述數(shù)據(jù)的集中趨勢時，常從平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)中選擇合適的數(shù)據(jù)代表．

如果以一組數(shù)據(jù)大小的平均水平描述集中趨勢，則可用平均數(shù)作為數(shù)據(jù)代表．平均數(shù)由全部原始數(shù)據(jù)計算得出．如果以一組數(shù)據(jù)大小的中間水平描述集中趨勢，則可用中位數(shù)作為數(shù)據(jù)代表．一組數(shù)據(jù)按大小排列時，中位數(shù)在居中位置．如果以一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)描述集中趨勢，則可用眾數(shù)作為數(shù)據(jù)代表，眾數(shù)是一組原始數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)．一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能有一個，也可能有多個，還可能一個也沒有，平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各有各的作用，分別適合從不同角度分析數(shù)據(jù)的集中趨勢．

平均數(shù)是最常用的一個數(shù)據(jù)代表，它反映了一組數(shù)據(jù)大小的平均水平．需要注意的是，如果一組數(shù)據(jù)中有極端數(shù)據(jù)，即與多數(shù)數(shù)據(jù)相比過大或過小的個別數(shù)據(jù)，則它會使平均數(shù)的值與多數(shù)數(shù)據(jù)存在較大差距．如仍以平均數(shù)代表該組數(shù)據(jù)的中心數(shù)值，則不能恰如其分地反映這組數(shù)據(jù)的分布狀態(tài)．這種情形下，選擇中位數(shù)或眾數(shù)作為數(shù)據(jù)代表，能更好地反映一組數(shù)據(jù)的集中趨勢．

例1 表1為一條自動包裝線某月每天包裝物品的數(shù)量及相應(yīng)的天數(shù)．

（l）分別求出表中數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)．

（2）用平均數(shù)作為數(shù)據(jù)代表，能客觀反映這個月每天包裝物品數(shù)量的一般情況嗎？

解：（1）通過計算加權(quán)平均數(shù)，得表中數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

（20+2355×10+2360×4+2365×14+2370）÷30=2283.

表中共有30天的數(shù)據(jù)，這30個數(shù)據(jù)從小到大排列時，處于正中間位置的第15和第16兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為（2360+2365）÷2=2362.5．因此2362.5是該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．

30個數(shù)據(jù)中，2365出現(xiàn)14次，出現(xiàn)次數(shù)最多，因此2365是該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．

（2）觀察表中數(shù)據(jù)不難發(fā)現(xiàn)，30天中有29天的數(shù)據(jù)都不小于2355，它們都大于平均數(shù)，且與平均數(shù)的差都不小于72．這30天中有1天的數(shù)據(jù)20遠(yuǎn)小于平均數(shù)2283，這可能是某一天自動包裝線有突發(fā)故障造成的反常結(jié)果，顯然，20這個極端數(shù)據(jù)，使得正常情況下應(yīng)有的平均數(shù)的值變?。绻砸云骄鶖?shù)2283作為數(shù)據(jù)代表，則與自動包裝線每天工作的一般狀況差距較大．而以中位數(shù)2362.5或眾數(shù)2365作為數(shù)據(jù)代表，則能較客觀地反映一般情形下包裝物品數(shù)量的實際情況．因此，此問題不宜用平均數(shù)作為數(shù)據(jù)代表描述數(shù)據(jù)的集中趨勢．

二、描述離散程度的數(shù)據(jù)代表

“一組數(shù)據(jù)中，各個數(shù)據(jù)與這組數(shù)據(jù)的中心數(shù)值（例如平均數(shù)）的偏離程度有多大？”這是分析數(shù)據(jù)時通常關(guān)注的另一個問題，在統(tǒng)計學(xué)中，把這種偏離程度稱為這組數(shù)據(jù)的離散程度（或離中程度），它反映了一組數(shù)據(jù)大小的波動狀態(tài)．我們結(jié)合下面的問題對數(shù)據(jù)離散程度予以說明．

表2是某一周內(nèi)甲、乙兩個書店接待顧客人數(shù)的記錄．

計算可知，甲、乙兩個書店該周內(nèi)平均每天接待顧客人數(shù)分別約為146.9和147.1．兩者非常接近，我們再考慮兩組數(shù)據(jù)的波動狀態(tài)．先觀察數(shù)據(jù)散點圖，圖1和圖2中的點分別表示甲、乙兩個書店的顧客數(shù)量，各點的橫坐標(biāo)為時間（星期一到星期日），縱坐標(biāo)為顧客人數(shù)．圖中的水平線與縱軸交點的縱坐標(biāo)是7個數(shù)據(jù)的平均數(shù)．

比較兩圖，直觀上可以發(fā)現(xiàn)：圖1中各數(shù)據(jù)點分布較緊密，波動較小，即總體上看各點與平均值對應(yīng)的水平線的偏離度較?。簣D2中各數(shù)據(jù)點分布較松散，波動較大，即總體上看各點與平均值對應(yīng)的水平線的偏離度較大．這里的偏離度是對7個點偏離度的平均水平而言，是根據(jù)各數(shù)據(jù)點與平均數(shù)直線的距離大小而得出的．盡管與平均數(shù)直線相比，有些數(shù)據(jù)點高，有些數(shù)據(jù)點低，但各點與直線的距離都是非負(fù)的值．即高度差的絕對值，兩組數(shù)據(jù)相比，甲店數(shù)據(jù)的離散程度較小，乙店數(shù)據(jù)的離散程度較大．

統(tǒng)計學(xué)中常用方差對一組數(shù)據(jù)的波動情況（即各數(shù)據(jù)與平均數(shù)的偏離狀態(tài)）作定量的刻畫，描述數(shù)據(jù)的離散程度．計算方差的方法為：（1）計算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；（2）計算各數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差的平方和；（3）用所得平方和除以這組數(shù)據(jù)的個數(shù)．設(shè)一組數(shù)據(jù)為x1，x2，…，xn（共n個），記其平均數(shù)為x，方差為s2．則

例2 分別計算上面問題中甲、乙兩個書店某一周接待顧客人數(shù)的方差．南所得方差你能看出哪種可能性？

解：由以上所述可知，甲、乙兩個書店某一周平均每天接待顧客人數(shù)分別為146.9和147.1（保留到0.1）．計算兩組數(shù)據(jù)的方差，得甲店數(shù)據(jù)的方差s2甲=32.1，乙店數(shù)據(jù)的方差sz=272.1．比較兩個方差，得S2甲．

為什么計算方差要用各數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差的平方和，而不直接把各數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差相加呢？一般情形下，一組數(shù)據(jù)中可能有些數(shù)據(jù)比平均數(shù)大，有些數(shù)據(jù)比平均數(shù)小．它們與平均數(shù)之差會有正有負(fù)，如果直接把這些差相加，就會出現(xiàn)正負(fù)相抵．例如，一組數(shù)據(jù)為1，2，3，4，5，平均數(shù)為3，各數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差分別為-2，一1，0，1，2．這些差之和為0，但這并不意味著這組數(shù)據(jù)都是緊靠著平均數(shù)的，用各數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差的平方和，則利用了平方的非負(fù)性，防止出現(xiàn)做加法時正負(fù)相抵而隱藏了相關(guān)數(shù)據(jù)對平均數(shù)的偏離，方差名稱中的“方”正是“平方”的簡稱．

對方差的算式進行恒等變形：

這給出了方差的另一種算法：各數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減各數(shù)據(jù)平均數(shù)的平方．

從上面幾例可以看出，得出平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和方差這四種常用數(shù)據(jù)代表的方法不同，這些數(shù)據(jù)代表所表示的意義也不同，在反映一組數(shù)據(jù)的分布特征時，它們有各自的側(cè)重點．根據(jù)實際問題的需要，選取合適的數(shù)據(jù)代表來認(rèn)識一組數(shù)據(jù)的集中趨勢與離散程度，是分析數(shù)據(jù)的常用做法．