王其泉

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確指出，數(shù)學(xué)教學(xué)要重視學(xué)生直接經(jīng)驗的形成，處理好直接經(jīng)驗與間接經(jīng)驗的關(guān)系。其中，直接經(jīng)驗是指學(xué)生通過親身實(shí)踐、動手操作所獲得的經(jīng)驗，間接經(jīng)驗是指學(xué)生從書本或他人的經(jīng)驗中獲得的經(jīng)驗，兩者相輔相成，能夠豐富學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的完整過程，促進(jìn)他們不斷思考，深入理解知識內(nèi)容，進(jìn)而培養(yǎng)他們的核心素養(yǎng)。

在日常的數(shù)學(xué)課堂上，筆者發(fā)現(xiàn)部分教師往往過于依賴教材的設(shè)計，習(xí)慣引導(dǎo)學(xué)生按照既定的步驟進(jìn)行操作，忽略了讓他們“走彎路”的重要性。這樣的教學(xué)方式看似高效，卻不利于幫助學(xué)生獲得寶貴的直接經(jīng)驗，久而久之，容易使其養(yǎng)成惰性思維。本文中，筆者以部編版五年級上冊第六單元《三角形的面積》一課為例，具體說明數(shù)學(xué)教師應(yīng)如何幫助學(xué)生吸納直接經(jīng)驗與間接經(jīng)驗。

利用間接經(jīng)驗，保障探究活動嚴(yán)謹(jǐn)性

學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)和經(jīng)驗積累，是他們理解和掌握新知識的重要基石。因此，筆者在教學(xué)《三角形的面積》一課前，首先帶領(lǐng)學(xué)生回顧了之前學(xué)過的面積推導(dǎo)方法。例如，在探究長方形面積的過程中教授的數(shù)方格法，即將不滿格的面積單位轉(zhuǎn)化為滿格的標(biāo)準(zhǔn)面積單位，這樣，通過計算標(biāo)準(zhǔn)面積單位的數(shù)量即可算得長方形面積。又如，在推導(dǎo)平行四邊形面積時教授的轉(zhuǎn)化法（割補(bǔ)法），學(xué)生通過觀察，最終發(fā)現(xiàn)可沿著三角形兩邊中點(diǎn)的連線進(jìn)行分割，即可將其拼成一個平行四邊形。復(fù)習(xí)已學(xué)圖形的推導(dǎo)方法，不僅可以讓他們對計算公式和其中滲透的轉(zhuǎn)化思想理解得更深刻，也有利于他們后續(xù)推導(dǎo)三角形的面積公式。

此外，在學(xué)習(xí)《三角形的認(rèn)識》一課時，學(xué)生們已對三角形的分類有了清晰的認(rèn)識。他們知道，根據(jù)角的大小，將三角形分為直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形。這些從教材中習(xí)得的間接經(jīng)驗，成為他們探究三角形面積公式的重要參考?；谏鲜鼋?jīng)驗積累，筆者鼓勵學(xué)生分門別類進(jìn)行研究，根據(jù)不同圖形的特點(diǎn)選擇合適的計算策略，以保障探究活動的嚴(yán)謹(jǐn)性。

利用直接經(jīng)驗，思考新問題的解答路徑

依照思維的慣性，有部分學(xué)生立刻提出想嘗試?yán)酶钛a(bǔ)法求取三角形的面積。他們認(rèn)為，這種方法可以快速規(guī)整圖形，從而簡化計算過程。于是，筆者引導(dǎo)他們進(jìn)行小組討論，共同探討這一方法是否可行。

學(xué)生將不同類型的三角形沿高剪開，再改變它們的相對位置，將其拼接在一起。幾次試驗后發(fā)現(xiàn)，這種方法適用于等腰三角形面積的計算，但不適用于計算其他類型的三角形的面積。這讓他們意識到，割補(bǔ)法并不是萬能的，于是開始思考不同類型的三角形應(yīng)采用的策略。在此過程中，有學(xué)生發(fā)現(xiàn)，兩個完全一樣的三角形可以拼成一個平行四邊形，于是想到是否可以先計算平行四邊形的面積，再將計算結(jié)果除以2來獲得答案。

這次嘗試不僅使學(xué)生進(jìn)一步了解了拼合法的“由來”，還讓他們體驗了思考新問題的方法路徑，學(xué)會了如何分析已有經(jīng)驗，篩選恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ蝗绾卧诔醪絿L試后進(jìn)行反思和總結(jié)，根據(jù)經(jīng)驗教訓(xùn)調(diào)整方向；如何再次進(jìn)行操作驗證，發(fā)現(xiàn)普遍規(guī)律。這一系列過程不僅鍛煉了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和實(shí)踐能力，也為他們未來的學(xué)習(xí)和生活奠定了堅實(shí)的基礎(chǔ)。

允許學(xué)生“走彎路”，加深引領(lǐng)深度思考

美國著名教育學(xué)家拉爾夫·泰勒在其著作《課程與教學(xué)的基本原理》中提出，數(shù)學(xué)教學(xué)中存在一個普遍現(xiàn)象，即教師常常將學(xué)習(xí)所需的所有事實(shí)直接傳授給學(xué)生，導(dǎo)致學(xué)生只會按模式運(yùn)算。然而，當(dāng)這些學(xué)生需要自己探索某些事實(shí)時，往往就會感到迷茫，不知道需要哪些事實(shí)，以及從哪里可以找到這些事實(shí)。相關(guān)實(shí)驗還表明，那些曾在怎樣確定所需事實(shí)以及如何獲取這些事實(shí)方面接受過專門訓(xùn)練的學(xué)生，在解決問題時往往能有更好的表現(xiàn)。

在本節(jié)課中，盡管學(xué)生們對于既有方法經(jīng)驗的探索，并未直接幫助他們得出三角形面積的計算方法，但筆者認(rèn)為，這一探究過程具有不可忽視的價值?！白邚澛贰钡慕虒W(xué)設(shè)計并不是在浪費(fèi)課堂時間，在這個過程中，學(xué)生不單能進(jìn)一步思考面積計算的本質(zhì)，也可以加深對于面積公式推理與計算的認(rèn)識。同時，這也能夠使他們認(rèn)識到，數(shù)學(xué)問題的解決往往需要經(jīng)歷一段曲折的探索過程。

此外，在引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用割補(bǔ)法求解答案的同時，筆者還向他們介紹了古代數(shù)學(xué)家劉徽總結(jié)的“出入相補(bǔ)”法，為他們提供了新的思考角度，帶來了新的啟發(fā)。

為了加深學(xué)生對于本課內(nèi)容的思考，筆者帶領(lǐng)他們開展了多輪交流匯報。在第一輪交流匯報中，筆者鼓勵他們思考是否所有類型的三角形都符合“兩個完全一樣的三角形可以拼成一個平行四邊形”的規(guī)律，隨后帶領(lǐng)他們利用手中不同類型的三角形進(jìn)行第二輪探究，嘗試各種不同的拼接方式，而后開展第二輪交流匯報，最終總結(jié)出三角形面積的計算方法。學(xué)生欣喜地發(fā)現(xiàn)，計算底和高的乘積再除以2，可以得到任何類型三角形的面積。

設(shè)計探究活動，檢驗掌握情況

教學(xué)成果的檢驗是衡量教學(xué)成效的重要手段，也是提高教育質(zhì)量的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。為了進(jìn)一步檢驗學(xué)生對三角形面積計算方法的掌握情況，激發(fā)他們對數(shù)學(xué)問題的探究興趣，筆者設(shè)計了一次小組探究活動，引導(dǎo)他們探究梯形面積的計算方法。

在這次活動中，筆者僅給學(xué)生提供了幾張方格紙，讓他們通過繪制草圖、涂色、裁剪等操作進(jìn)行自主探究，旨在讓他們在親身實(shí)踐的過程中獲得直接經(jīng)驗。他們在組內(nèi)互相交流思路，嘗試運(yùn)用不同的探究方法。有的小組發(fā)現(xiàn)，可以將梯形圖紙沿兩腰中點(diǎn)連線剪開，再將其拼合成熟悉的平行四邊形，進(jìn)而求取梯形的面積；還有小組提出，可以沿著梯形的某條對角線將其剪為兩個三角形，然后分別計算這兩個三角形的面積并相加。

在這樣的探究過程中，學(xué)生們不僅學(xué)會了如何運(yùn)用既有方法求解梯形面積，還深入理解了梯形與之前所得圖形之間的聯(lián)系。

總而言之，數(shù)學(xué)教學(xué)需要讓學(xué)生在親身體驗中轉(zhuǎn)化直接經(jīng)驗，并在學(xué)習(xí)與討論中汲取間接經(jīng)驗。作為數(shù)學(xué)教師，我們應(yīng)該根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況和教學(xué)內(nèi)容需要，精心設(shè)計教學(xué)活動，讓他們在獲得直接經(jīng)驗的同時，也能夠充分領(lǐng)會間接經(jīng)驗。只有這樣，才能夠真正促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升，讓他們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的道路上越走越穩(wěn)。與此同時，我們也應(yīng)不斷反思并改進(jìn)自己的教學(xué)方法，以適應(yīng)隨時代發(fā)展變化的教育需要和學(xué)生需求，為學(xué)生的全面發(fā)展提供有力的支持。