廣東省江門市新會尚雅學(xué)校(529100) 馮悅嬌

2023 年廣東省中考數(shù)學(xué)試卷(簡稱廣東卷)導(dǎo)向鮮明、梯度明顯、反套路化、區(qū)分度高,注重挖掘數(shù)學(xué)思維本質(zhì),考察數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的達(dá)成,具有明顯的選拔作用.試題保持了7: 2: 1 的難度結(jié)構(gòu),題目源于教材,高于教材,符合2022 版新課標(biāo)立德樹人的理念,使得人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育,不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展,同時更具有基礎(chǔ)性、文化性、應(yīng)用性、探究性與選拔性,起到了較好的教學(xué)導(dǎo)向作用.

1 基本情況分析

1.1 結(jié)構(gòu)分析

2023 年廣東卷有選擇題、填空題、解答題三種類型,全卷共23 題120 分,限時90 分鐘.其中選擇題有10 題30 分,填空題有5 題15 分,解答題有8 題75 分.從試卷分值分布(見表1)來看,重點考查“數(shù)與代數(shù)”、“圖形與幾何”、“統(tǒng)計與概率”、“實踐與綜合運用”領(lǐng)域的核心知識點.

表1 2023 年廣東卷知識分值及權(quán)重

1.2 難度分析

廣東卷總體難度適中,客觀題與主觀題的難度分別都是層層遞進(jìn).簡單送分題主要考查考生的基礎(chǔ)知識和基本技能, 體現(xiàn)了義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)性、普及性, 符合雙減的需求.如選擇題第1～9 題,填空題第11～14 題,解答題第16～21 題.中檔綜合探究題考查考生基本數(shù)學(xué)思想(數(shù)形結(jié)合思想、整體思想、方程思想等)與基本活動經(jīng)驗,如客觀題小壓軸第10、15 題,解答題壓軸第22、23 題,讓具備一定思維能力的考生能夠展示學(xué)業(yè)水平,讓高水平層次的學(xué)生能夠充分發(fā)揮數(shù)學(xué)思維與能力,通過解題脫穎而出.

2 試卷亮點評析

2.1 立足基礎(chǔ),緊扣教材,關(guān)注全體

廣東卷特別關(guān)注義務(wù)教育初中學(xué)段應(yīng)知必會的數(shù)學(xué)基本知識與基本技能,在“雙減”背景下,緊緊圍繞教材,重視對教材中通式通法的直接考查.

例1 我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾為普及優(yōu)選法作出重要貢獻(xiàn).優(yōu)選法中有一種0.618 法應(yīng)用了( )

A.黃金分割數(shù) B.平均數(shù) C.眾數(shù) D.中位數(shù)

評析: 本題直接引用人教版九年級上冊P18 閱讀與思考的材料,材料介紹了黃金分割數(shù)的概念,了解著名數(shù)學(xué)家華羅庚去世前幾個小時依然堅持作報告講解優(yōu)選法的感人事跡.既考查了學(xué)生對黃金分割數(shù)的了解,又能通過名人事跡引導(dǎo)學(xué)生增強(qiáng)民族自豪感與文化自信, 提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣,有利于學(xué)生樹立適合未來發(fā)展的正確價值觀.

例2 某蓄電池的電壓為48V, 使用此蓄電池時, 電流I(單位:A)與電阻R(單位: ?)的函數(shù)表達(dá)式為,當(dāng)R=12? 時,I的值為____A.

評析: 本題以物理的電流、電阻與電壓的數(shù)量關(guān)系為背景, 主要考查數(shù)學(xué)中反比例函數(shù)的概念與求函數(shù)值的方法.跨學(xué)科融合問題能培養(yǎng)學(xué)生主動建立不同學(xué)科的聯(lián)系,靈活運用數(shù)學(xué)概念、原理、方法解釋或解決跨學(xué)科的現(xiàn)象、規(guī)律與問題,有意識地培養(yǎng)了學(xué)生的運算能力、創(chuàng)新意識、應(yīng)用意識.

2.2 重在運用,關(guān)注基本思想與方法的滲透

廣東卷命題突出對數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化化歸、演繹推理等主要數(shù)學(xué)思想的考查,以具體的問題或?qū)嶋H情境為背景提出數(shù)學(xué)問題,讓學(xué)生有意識地靈活運用數(shù)學(xué)思想與方法解決問題,是提升數(shù)學(xué)抽象能力、運算能力、推理能力、模型觀念、應(yīng)用意識與創(chuàng)新意識的重要途徑.

例3 如題10 圖,拋物線y=ax2+c經(jīng)過正方形OABC的三個頂點A,B,C,點B在y軸上,則ac的值為( )

A.-1 B.-2 C.-3 D.-4

評析: 我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生說,形缺數(shù)時難入微,數(shù)缺形時少直觀.廣東卷第10題考查二次函數(shù)與正方形的小綜合, 重點考查了學(xué)生觀察二次函數(shù)y=ax2+c圖象的對稱軸及對稱性與正方形的性質(zhì)的聯(lián)系,滲透數(shù)形結(jié)合思想、培養(yǎng)抽象能力.

考題設(shè)問新穎,最大的亮點是題目沒有給出具體的點坐標(biāo)或數(shù)據(jù),卻要求系數(shù)ac的值,是本題的難點.突破的關(guān)鍵是連接AC,因為BO⊥AC,A、C關(guān)于y軸對稱.水平較高的學(xué)生會用根據(jù)正方形的的性質(zhì),設(shè)參法表示點A(m,m)、B(0,2m)坐標(biāo)或C(-m,m),B(0,2m)坐標(biāo)(m ?= 0), 然后運用待定系數(shù)法用m表示a、c.水平一般的學(xué)生也能巧用客觀題解題技巧——特殊值法, 根據(jù)幾何直觀直接設(shè)點A(1,1),B(0,2),也能求到正解.因此本題設(shè)置巧妙,立意明確,不同人有不同的思考與解法,同時培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合觀察分析能力、抽象能力、運算能力、推理能力.

思考: 問題變式, 其一: 刪圖, 變?yōu)闊o圖題, 其他不變,根據(jù)拋物線y=ax2+c的圖象特點, 由于開口方向不確定, 需要分類討論, 但是ac結(jié)果不變; 其二: 改拋物線為“y=a(x-h)2”,拋物線經(jīng)過正方形ABCD的三個頂點A,B,C,點A在y軸上,點B在x軸上,則ah的值為____.變式二解析: 根據(jù)拋物線解析式的特征,頂點在x軸上,因此點B為頂點,但對于開口方向與對稱軸位置并無確定,此題需要分類討論, 具體根據(jù)開方方向及對稱軸位置分四種情況,同理根據(jù)拋物線對稱性及正方形的性質(zhì),設(shè)點坐后運用待定系數(shù)法運算得ah=±1.

2.3 拓展思維,發(fā)展素養(yǎng),突出探究,選拔創(chuàng)新

初中數(shù)學(xué)的全等變換包括圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱.廣東卷最后兩道壓軸題突破傳統(tǒng)命題模式,大膽將特殊的平行四邊形、圓與軸對稱、旋轉(zhuǎn)相結(jié),類似于2021 年廣東卷第24題把梯形與圓結(jié)合,立意鮮明,導(dǎo)向教學(xué),具備很強(qiáng)的人才選拔功能.要求學(xué)生具備扎實的基礎(chǔ)知識與基本技能,靈活運用數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化思想等分析問題.

廣東卷的綜合探究、綜合運用題把數(shù)學(xué)幾何演變過程以多幅圖進(jìn)行直觀演示,最大的亮點在于是命題者把幾何演變的某個瞬間作為條件,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行猜想與證明,把幾何直觀與邏輯推理有機(jī)地整合,使推理論證成為學(xué)生觀察、猜想、探究后的自然延續(xù), 注重發(fā)展學(xué)生的合情推理和演繹推理,關(guān)注輔助線建構(gòu)幾何模型,感悟動態(tài)幾何的研究價值——以不變應(yīng)萬變,感受圖形與幾何的魅力,逐步形成空間觀念、抽象能力、幾何直觀、邏輯推理、創(chuàng)新意識等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

例4 綜合探究如題22-1 圖,在矩形ABCD中(AB>AD),對角線AC,BD相交于點O,點A關(guān)于BD的對稱點為A′.連接AA′交BD于點B,連接CA.

(1)求證:AA′⊥CA′;(關(guān)鍵問題)

(2)以點O為圓心,OE為半徑作圓.

①如題22-2圖,⊙O與CD相切,求證:

②如題22-3 圖,⊙O與CA′相切,AD= 1,求⊙O的面積.

點撥與評析: 本題是廣東卷第22 題,以矩形ABCD與點A與A′對稱關(guān)于BD對稱(折疊)為主線,探究以O(shè)E為半徑的圓O分別與矩形一邊CD、直角三角形直角邊A′C相切為條件的證明與求解問題,具體考查了矩形的性質(zhì),切線的性質(zhì),全等三角形的判定,等腰直角三角形的判定與性質(zhì),特殊角的銳角三角函數(shù),勾股定理列方程,滲透了數(shù)形結(jié)合思想、方程思想,轉(zhuǎn)化思想,整體思想.

本題設(shè)問由淺入深、環(huán)環(huán)相扣、由表及里,符合幾何圖形演變的自然生長過程:

第(1)問關(guān)鍵是運用軸對稱的性質(zhì)、中位線的判定與性質(zhì)證明AA′⊥CA′;

盡管本題屬于幾何動態(tài)演變問題,試題中圖形較多,但是設(shè)問意圖明確,本題入口寬,方法多樣,考查了不同層次學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì), 最大的亮點在于第(2)問第②小問, 與第①問緊密關(guān)聯(lián),解題思維遞進(jìn),打破慣性思維,運用整體思想求圓的面積,深入淺出,基礎(chǔ)扎實且能力較強(qiáng)的學(xué)生“跳一跳”能解決,考場中也給不同層次的學(xué)生以不同的選擇,體現(xiàn)了中考試題的選拔性要求,對數(shù)學(xué)思維本質(zhì)和學(xué)科素養(yǎng)的考查非常到位,是一道很好的考題.

例5 綜合應(yīng)用如題23-1 圖,在平面直角坐標(biāo)系中,正方形OABC的頂點A在x軸的正半軸上.如題23-2 圖,將正方形OABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α<45°),AB交直線y=x于點E,BC交y軸于點F.

(1)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角∠COF為多少度時,OE=OF; (直接寫出結(jié)果,不要求寫解答過程);

(2)若點A(4,3),求FC的長;

(3) 如題23-3 圖, 對角線AC交y軸于點M, 交直線y=x于點N,連接FN.將?OFN與?OCF的面積分別記為S1與S2,設(shè)S=S1-S2,AN=n,求S關(guān)于n的函數(shù)表達(dá)式.

點撥與評析: 本題是廣東卷最后第23 題,以直角坐標(biāo)系中有一個頂點在原點O的正方形旋轉(zhuǎn)問題為背景,主要探究求角度問題、求線段長問題,求函數(shù)表達(dá)式的方法,考查了正比例函數(shù)y=x的圖象性質(zhì),全等三角形的判定性質(zhì),正方形的性質(zhì),四點共圓證明及運用,等腰直角三角形性質(zhì),三角形面積問題等積及作差轉(zhuǎn)化, 相似三角形的判定與性質(zhì)等,問題符合新課標(biāo)要求,意圖明確,層次豐富,綜合性強(qiáng),難度不斷攀升,區(qū)分度很高.同時蘊含了PISA 理念,要求學(xué)生具備較高對現(xiàn)實問題的分析和解決能力、對題干信息的處理能力,體現(xiàn)了對幾何直觀、抽象能力、邏輯推理、運算能力、創(chuàng)新意識、應(yīng)用意識等核心素養(yǎng)的考查.

本題價值在于學(xué)生在想象正方形旋轉(zhuǎn)過程中, 能夠感悟動態(tài)幾何模型變與不變, 建構(gòu)輔助線搭建常見幾何模型——以線顯形,以靜制動,窺探數(shù)學(xué)現(xiàn)象的本質(zhì):

第(1)問關(guān)鍵是根據(jù)條件y=x得∠EOF= 45°,根據(jù)OE=OF、AO=CO證明Rt?OAE= Rt?OCF, 易得∠COF=22.5°,比較簡單;

第(2) 問關(guān)鍵是過點A作垂線段, 構(gòu)造Rt?AHO,根據(jù)A(4,3) 得OA= 5, 根據(jù)同角的余角相等易證Rt?AHORt?FCO, 得, 代入AH= 3,OH=4,CO=5 求得,難度中等;

(4)本題關(guān)鍵在于證明FN⊥NO,如題23-3-1 圖

第一,證FN⊥NO方法可運用

得到點C、O、N、F四點共圓, 然后易得∠FNO= 180°-∠FCO=90°;

圖23-3-1

廣東卷第23 題第(3)問思維難度大, 主要體現(xiàn)在該問題敢于打破常規(guī), 設(shè)問新穎, 傳統(tǒng)方法不輕易解決問題, 也不能再單純地運用解析幾何法求三角形面積的函數(shù)解析式, 而是要求學(xué)生能夠通過深入思考發(fā)掘AN與三角形面積之差S的關(guān)系,在考場時間有限的情況下對學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)、思維能力及心理素質(zhì)提出更高的要求.該題作為初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)考試的壓軸題,區(qū)分度高,符合2022 版新課標(biāo)第六點課程實施的評價建議中關(guān)于學(xué)業(yè)水平考試命題原則,為高一級學(xué)校招生錄取提供重要依據(jù),也符合新課標(biāo)的要求,關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì),關(guān)注通性通法,避免套路化,反對題海戰(zhàn)術(shù),著重素養(yǎng)立意,育人導(dǎo)向.

3 教學(xué)啟示

3.1 教學(xué)應(yīng)重視通式通法的傳授

教師的主要教學(xué)任務(wù)必須是幫助學(xué)生夯實基礎(chǔ)知識,教學(xué)中滲透基本思想,教會學(xué)生形成基本技能和基本活動經(jīng)驗.同時要善于運用微專題進(jìn)行能力提升,微專題需精準(zhǔn)把握問題,把點連成線,線連成網(wǎng),使學(xué)生形成較強(qiáng)的解決實際問題的能力.課堂中,教師要特別關(guān)注巧妙設(shè)問,加強(qiáng)與學(xué)生的互動,科學(xué)精準(zhǔn)提問,逐步引導(dǎo),多一些鼓勵和放手,多一些思考和交流,創(chuàng)建生本智慧高效課堂.

3.2 中考復(fù)習(xí)去模式化,重視探究、應(yīng)用與創(chuàng)新

中考復(fù)習(xí)最關(guān)鍵的是,要建立初中數(shù)學(xué)每個領(lǐng)域中以主干知識為支柱的知識網(wǎng)絡(luò),同時也要敢于打破不同知識領(lǐng)域知識的壁壘,敢于創(chuàng)新,互相融合.如在代數(shù)的復(fù)習(xí)中要融入圖形與幾何問題;在圖形與幾何的復(fù)習(xí)中加入函數(shù)、方程與不等式等代數(shù)推理方法,擴(kuò)大知識與方法的聯(lián)系點.中考備考時必須多角度、多方向地研究分析,而不是讓學(xué)生去做大量模仿式、死記硬背的習(xí)題.

3.3 備考培優(yōu)指向素養(yǎng),在精在變,在歸納在反思

中考具備立德樹人、服務(wù)選才、導(dǎo)向教學(xué)的功能,2023 年廣東卷的命題充分顯示了義務(wù)教育課程的教育目標(biāo),體現(xiàn)先進(jìn)的教育理念與國家意志,培養(yǎng)社會主義建設(shè)者和接班人.

因此今后中考培優(yōu)備考在精在變,課堂以典型問題為載體,設(shè)置培優(yōu)微專題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行回顧與反思,充分發(fā)揮問題的價值.從多角度啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行解題聯(lián)想,要重視一題多解,更要重視一題多問、一題多變;設(shè)置開放性問題、條件或結(jié)論探索問題,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

另外解題后要及時復(fù)盤,通過錯題本收集錯因與改正筆記,有針對性進(jìn)行總結(jié)歸納,進(jìn)行個性化的解題技巧、方法、模型的總結(jié).教師更要培養(yǎng)學(xué)生閱讀理解、獲取信息、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)表達(dá)與推理等方面的能力,培養(yǎng)學(xué)生會用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實世界,會用數(shù)學(xué)的思想思考現(xiàn)實世界,會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界.