廣東省東莞市松山湖北區(qū)學校(523808) 張海營

隨著中考制度改革,廣東省中考全省統(tǒng)一命題呼聲越來越高.2023 年3 月8 日,廣東省教育廳發(fā)布了《關(guān)于公開征求深化高中階段學校考試招生制度改革實施意見》的公告,擬從2024 年起初中學業(yè)水平數(shù)學考試將由省級統(tǒng)一命題,筆者結(jié)合20 余年一線教學工作經(jīng)驗,就廣州、深圳中考自主命題和省卷作對比研究, 發(fā)現(xiàn)代數(shù)推理在試題中占較大比重,如2021 年廣東省中考第25 題、2023 年廣州市中考第24 題、2023 年重慶市中考第18 題等,此類代數(shù)推理題型蘊含演繹推理、情境推理、歸納推理和條件推理等思想方法,極可能成為下一階段廣東省統(tǒng)一試卷命題的熱點方向.

推理是數(shù)學的基本思維方式,也是人們學習和生活中經(jīng)常使用的思維方式.代數(shù)推理題是以代數(shù)知識為主或以代數(shù)變形技巧為主的一類數(shù)學問題,推理過程是從條件出發(fā),由代數(shù)定義、代數(shù)公式、運算法則和運算律得到結(jié)論(特定的目標結(jié)構(gòu)或關(guān)系)的一種變形和轉(zhuǎn)化[2].

1 演繹推理題

推理既包括合情推理,也包括演繹推理,因此特殊化和一般化也應成為代數(shù)推理的一項基本技能.演繹推理則是從已有的事實(包括定義、公理、定理等)出發(fā),按照規(guī)定的法則(包括邏輯和運算)證明結(jié)論,這種推理嚴密到滴水不漏,演繹推理要求盡量還是循序漸進,中考考查及評卷嚴謹,歷年考查主要突出推理能力及運算能力[3].

2 情境推理題

情境推理題解題時,往往會從題干信息中找到答案,合理篩選出有效信息,排出干擾信息,挖掘潛在信息進行類比遷移.2023 年各省市數(shù)學中考特別突出對新情境下數(shù)學知識的考查,突出“無情境、不命題”的命題思路,引導一線教師從具體情境中抽象出數(shù)學符號的過程及用代數(shù)式進行表述的方法例,逐漸形成推理能力,培養(yǎng)學生的科學精神.

例2.1 (2023 重慶市中考第18 題)對于一個四位自然數(shù)M,若它的千位數(shù)比個位數(shù)多6,百位數(shù)比十位數(shù)多2,則稱M為“天真數(shù)”,如: 四位數(shù)7311,∵7-1 = 6,3-1 = 2,∴7311 是“天真數(shù)”; 一個“天真數(shù)”M的千位數(shù)為a, 百位數(shù)為b,十位數(shù)為c,個位數(shù)為d,記P(M) = 2(a+b)+c+d,Q(M)=a-5,若能被10 整除,則滿足條件M的最大值為.

3 歸納推理題

3.1 等差規(guī)律

例3.1.1 (2019 年廣東省中考第16 題) 如圖1 所示的圖形是一個軸對稱圖形,且每個角都是直角,長度如圖所示,小明按圖2 所示方法玩拼圖游戲,兩兩相扣,相互間不留空隙, 那么小明用9 個這樣的圖形拼出來的圖形的總長度是____(結(jié)果用含a、b代數(shù)式表示).

圖1

圖2

解析 由題意,第1 個圖形的總長是a+0·b=a;第2 個圖形是a+1·b=a+b;第3 個個圖形是a+2·b=a+2b;第4 個圖形是a+3·b=a+3b;第5 個圖形是a+4·b=a+4b;……因此圖形變化規(guī)律是a+(n-1)b;故第9 個圖形拼出來的總長度為:a+(9-1)b=a+8b.

點評 數(shù)列問題是高中學習重點內(nèi)容,也是初高中知識銜接的橋梁.本題屬于簡單常規(guī)題型,通過基本數(shù)字變化規(guī)律可得到答案.通過對一些基礎(chǔ)的知識點或數(shù)學概念進行變形,給學生以一定規(guī)律排列的數(shù),但其中至少缺少一項或是給幾個圖形規(guī)律最后轉(zhuǎn)化待到數(shù)字規(guī)律,要求學生仔細觀察規(guī)律,主要考查同學們的抽象思維和邏輯推理的能力.

3.2 等比規(guī)律

例3.2.1 (2016 廣東省中考第21 題)如圖3,Rt?ABC中,∠B= 30°,∠ACB= 90°,CD⊥AB交AB于D,以CD為較短的直角邊向?CDB的 同 側(cè) 作Rt?DEC, 滿 足∠E= 30°,∠DCE= 90°,再用同樣的方法作Rt?FGC,∠FCG= 90°, 繼續(xù)用同樣的方法作Rt?HCI, ∠HCI=90°,若AC=a,求CI的長.

圖3

圖4

點評 該類題型在近幾年中考經(jīng)常出現(xiàn),如2018 年廣東省中考第16 題反比例函數(shù)與等邊三角形規(guī)律問題,此類題型重在發(fā)展學生的符號意識,理解、運用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律,使用符號可以進行運算和推理,得到的結(jié)論具有一般性.

4 條件推理題

條件推理題就是將題目中給出的已知條件進行一些變形,挖掘題干中隱含的條件,從而為成功解題做好準備.此類題型中題干所給的條件一般都比較簡單,因此如何能夠從中發(fā)現(xiàn)有用的條件就是解題的關(guān)鍵,特別是隱性條件推理題型是近年中考的重要考查方向[4].

4.1 隱性條件推理題

例4.1.1 (2020 年廣東省中考第17 題) 有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑, 一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠, 等待與老鼠距離最小時撲捉.把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內(nèi)的線或點, 模型如圖,∠ABC= 90°,點M,N分別在射線BA,BC上,MN長度始終保持不變,MN= 4,E為MN的中點, 點D到BA,BC的距離分別為4 和2.在此滑動過程中,貓與老鼠的距離DE的最小值為____.

點評 隱性條件的代數(shù)推理題是中考的難點, 和近年考查熱點“隱圓”能力要求類似, 要求學生構(gòu)造解題模型,特別是2023 年廣東省中考第23 題體現(xiàn)更加明顯.此類題型解題關(guān)鍵在于梯子下滑過程中MN= 4 不變,即點E到點B距離保持不變,因此可確定點E在⊙B上運動,構(gòu)造出“一箭穿心”模型,解決線段最值問題.

5 綜合推理題

5.1 純二次函數(shù)推理題

例5.1.1 (2023 廣州中考第24 題) 點P(m,n) 在函數(shù)的圖象上.

(1)若m=-2,求n的值;

(2)拋物線y=(x-m)(x-n)與x軸交于M,N(M在N的左邊),與y軸交于點G,記拋物線的頂點為E.

①m為何值時,點E到達最高處;

②設(shè)?GMN的外接圓圓心為C,圓C與y軸的另一個交點為F,當m+n ?=0 時,是否存在四邊形FGEC為平行四邊形? 若存在,求此時頂點E的坐標;如不存在,請說明理由.

解析 (1)n=-1;

(2) ①如圖5, 不妨設(shè)M(m,0),N(n,0), 其中m

圖5

點評 二次函數(shù)在初中數(shù)學課程占有重要比例,同時也是與高中數(shù)學知識銜接的重要部分.類似無圖二次函數(shù)壓軸題,在廣州、深圳等地較為流行,本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用,涉及到二次函數(shù),考查了平行四邊形的存在性問題,分類討論是解題關(guān)鍵,體現(xiàn)新中考背景下數(shù)學抽象思維、代數(shù)推理能力的要求.

在初中數(shù)學人教版教材中, 代數(shù)推理貫穿始終,既存在于規(guī)律性問題的代數(shù)純理論證明, 也存在在幾何圖形特點的代數(shù)證明.近年來廣東省中考數(shù)學加強了對代數(shù)推理及相關(guān)知識點的考查,由于現(xiàn)在更加注重對初高中數(shù)學思維和解題方式的銜接,題型也更加創(chuàng)新和靈活,代數(shù)推理是一項需要長期培養(yǎng)的能力,需要教師在一線課堂教學中對學生持續(xù)引導和滲透.