郝建英 宋旭華

（宣化科技職業(yè)學(xué)院 河北 宣化 075100）

數(shù)學(xué)作為一門抽象的學(xué)科，極限思想一直是其核心內(nèi)容之一，其為數(shù)學(xué)的推理提供重要的依據(jù)。學(xué)習(xí)極限思想不僅能夠培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和解決問題的能力，也能夠幫助學(xué)生深入掌握和理解高職數(shù)學(xué)的有關(guān)概念，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

1 極限函數(shù)的性質(zhì)

數(shù)學(xué)極限思想推動了數(shù)學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展，通過極限，數(shù)學(xué)家們能夠解決更加復(fù)雜的問題，拓展了數(shù)學(xué)的邊界。學(xué)習(xí)和理解極限的過程培養(yǎng)了學(xué)生抽象思維和邏輯推理能力，這種能力不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有所幫助，在解決生活中的問題時也有著啟發(fā)性，更是貫穿于自然科學(xué)和工程技術(shù)的重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，為現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)和理論研究提供了堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和思維方式，因此，在高職數(shù)學(xué)教學(xué)中有廣泛的應(yīng)用。極限描述了函數(shù)或數(shù)列在自變量趨近某個值時的行為，是微積分、數(shù)學(xué)分析等數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的基礎(chǔ)性概念之一，也是理解導(dǎo)數(shù)、積分等概念的基石，為這些概念提供了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。極限具有以下重要性質(zhì)：第一，極限的唯一性：如果一個函數(shù)或數(shù)列在某點(diǎn)存在極限，那么該極限是唯一的。第二，極限的保號性：如果函數(shù)或數(shù)列的極限為正數(shù)(負(fù)數(shù))，那么在該點(diǎn)附近的函數(shù)值或數(shù)列元素也大于(小于)零。第三，極限的四則運(yùn)算：極限滿足加法、減法、乘法和除法的運(yùn)算法則。

2 函數(shù)極限的應(yīng)用

2.1 函數(shù)的連續(xù)性。函數(shù)的連續(xù)性是指函數(shù)在整個定義域上沒有斷點(diǎn)或跳躍，可以被繪制成一條連續(xù)的曲線，沒有突變或間斷的情況。具體來說，如果函數(shù)在某個點(diǎn)上存在極限，并且該極限與函數(shù)在該點(diǎn)的取值相等，那么我們稱該函數(shù)在該點(diǎn)是連續(xù)的。函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的充要條件是該點(diǎn)的左極限等于右極限，并且等于該點(diǎn)的函數(shù)值。連續(xù)函數(shù)在數(shù)學(xué)和應(yīng)用領(lǐng)域中具有廣泛的應(yīng)用。極限思想為準(zhǔn)確描述和處理連續(xù)性、無窮小量等概念提供了數(shù)學(xué)工具，使得數(shù)學(xué)描述更為嚴(yán)謹(jǐn)和精確。

2.2 泰勒級數(shù)的推導(dǎo)。泰勒級數(shù)是一種用多項(xiàng)式來近似表示函數(shù)的方法。它通過在某一點(diǎn)處對函數(shù)進(jìn)行無窮次求導(dǎo)，并將求導(dǎo)后的結(jié)果通過系數(shù)和冪次的組合構(gòu)成多項(xiàng)式，從而得到了函數(shù)在該點(diǎn)附近的近似表達(dá)式。在物理學(xué)、工程學(xué)等自然科學(xué)領(lǐng)域也有著重要的地位，在解析物體運(yùn)動、電路理論等問題時，極限思想提供了重要的數(shù)學(xué)工具。對于特定的函數(shù)和近似點(diǎn)，可以通過求導(dǎo)和計(jì)算相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值來推導(dǎo)得到泰勒級數(shù)的具體表達(dá)式。常見的泰勒級數(shù)包括正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的級數(shù)展開。需要注意的是，泰勒級數(shù)通常只在近似點(diǎn)附近有效，隨著距離近似點(diǎn)的增加，級數(shù)展開可能不再準(zhǔn)確。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，需要根據(jù)實(shí)際選擇合適的近似點(diǎn)和級數(shù)階數(shù)來進(jìn)行逼近計(jì)算。

2.3 探究函數(shù)的增減性和凹凸性。函數(shù)的增減性和凹凸性是描述函數(shù)曲線特征的重要概念。它們提供了關(guān)于函數(shù)在不同區(qū)間的變化趨勢和曲率信息。函數(shù)的增減性和凹凸性不僅提供了對函數(shù)曲線形狀的直觀理解，而且在數(shù)學(xué)和應(yīng)用領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。它們能夠幫助我們分析函數(shù)的性質(zhì)、求解最值問題、確定曲線的拐點(diǎn)和區(qū)間的凸凹性等，對于優(yōu)化問題、最優(yōu)化理論以及微積分等領(lǐng)域都有重要的作用。通過分析函數(shù)在不同區(qū)間上的極限值和函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，可以推斷函數(shù)的增減性和凹凸性。

3 數(shù)列極限的應(yīng)用

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中數(shù)列極限對于經(jīng)濟(jì)學(xué)中的平均值、邊際收益等概念具有重要影響，能夠幫助經(jīng)濟(jì)學(xué)家進(jìn)行有效的宏觀經(jīng)濟(jì)分析。在物理學(xué)中數(shù)列極限可以用于描述物體運(yùn)動趨勢，比如自由落體運(yùn)動的速度極限、加速度極限等。在統(tǒng)計(jì)學(xué)中數(shù)列極限對于概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)具有重要意義，通過對數(shù)列極限研究，可以推導(dǎo)出一些概率和統(tǒng)計(jì)的定理。在工程學(xué)中數(shù)列極限可以應(yīng)用于信號處理、電路分析、系統(tǒng)控制等領(lǐng)域，為工程師提供精確的數(shù)學(xué)工具和方法。