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        挖掘“數(shù)學(xué)廣角”中的數(shù)學(xué)思想方法

        2024-05-12 09:35:29高惠珠
        新課程·上旬 2024年4期
        關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)廣角植樹香蕉

        一、背景

        新課標(biāo)強調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容要能反映現(xiàn)實需要,凸顯數(shù)學(xué)學(xué)科特點?!皵?shù)學(xué)廣角”中涉及的數(shù)學(xué)知識,與學(xué)生前幾個單元所學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容緊密相關(guān),而其中問題解決的方法又蘊含多重數(shù)學(xué)思想。所以用好數(shù)學(xué)廣角,重視思想方法挖掘,可促進(jìn)學(xué)生知識理解與思想方法應(yīng)用融會貫通,是提高數(shù)學(xué)育人效果的重要一環(huán)。

        植樹問題作為數(shù)學(xué)教材中的經(jīng)典問題,可演化為多種問題形式,其中還蘊含了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)學(xué)建模等多元思維方法。用好數(shù)學(xué)廣角,將數(shù)學(xué)知識與思想方法有機(jī)結(jié)合,是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)創(chuàng)新意識,推動學(xué)生實踐創(chuàng)新,加強學(xué)以致用的重要一環(huán)?,F(xiàn)以植樹問題為例,探索“數(shù)學(xué)廣角”中蘊含的豐富思想方法,激發(fā)學(xué)生體會數(shù)學(xué)與現(xiàn)實之間的緊密關(guān)聯(lián)性。

        二、目標(biāo)分析

        “數(shù)學(xué)廣角”作為數(shù)學(xué)教材中的一個特色模塊,不以知識傳授為主要目標(biāo),重在啟發(fā)學(xué)生感悟思想精髓,推進(jìn)實踐應(yīng)用?!皵?shù)學(xué)廣角”的內(nèi)容靈活度高,是需要讓學(xué)生自主探究、合作對話、實踐應(yīng)用有效掌握的特色模塊。植樹問題在生活中的應(yīng)用非常廣泛,與學(xué)生日常生活緊密相關(guān),如花盆的擺放、廣場上插紅旗問題以及路燈問題都屬于植樹問題的一些生活化演變。結(jié)合植樹問題,讓學(xué)生有效探究,要對棵樹和間隔數(shù)建立模型意識。對應(yīng)每一個問題,都要構(gòu)建直觀化的數(shù)學(xué)模型,并應(yīng)用類比、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、模型等思想方法,實現(xiàn)問題的針對性解答。學(xué)習(xí)植樹問題,重在讓學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,在準(zhǔn)確理解植樹規(guī)律的前提下解決一些實際性問題。

        三、教法研究

        植樹問題是數(shù)學(xué)中的經(jīng)典問題,其中蘊含了豐富的數(shù)學(xué)思想方法,教師要以問題提出為明線,以數(shù)學(xué)思想方法探究為暗線,讓學(xué)生獲得豐富的學(xué)習(xí)體驗,把握數(shù)學(xué)思想方法的精髓。教師可以先帶領(lǐng)學(xué)生從簡單的問題入手,通過模型轉(zhuǎn)化,由易到難實現(xiàn)一些復(fù)雜問題的針對性引導(dǎo),提高教學(xué)效率。在問題呈現(xiàn)的同時,教師要引導(dǎo)學(xué)生數(shù)形結(jié)合,突破知識重難點,使學(xué)生的思維更加敏捷。同時,教師要引導(dǎo)學(xué)生不斷比較,發(fā)現(xiàn)其中的相同點和差異點。通過數(shù)形互補,助力學(xué)生理解數(shù)學(xué)思維規(guī)律。結(jié)合一些綜合問題,有效構(gòu)建模型抽象,提煉求解模型,結(jié)果驗證,從而實現(xiàn)對植樹類問題的綜合性解決,助力學(xué)生理解數(shù)學(xué)思維本質(zhì),領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法,實現(xiàn)對植樹問題的深度理解。

        四、教學(xué)過程

        植樹問題蘊含的內(nèi)容豐富多元,要想讓學(xué)生深度領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思維本質(zhì),教師要在課堂上穿針引線,為學(xué)生提供任務(wù)指引。還以植樹活動為例,將一些典型問題,讓學(xué)生合作探究,參悟其中的精髓。所以,整個教學(xué)過程以問題為主導(dǎo),以學(xué)生探究為主線,教師對各個環(huán)節(jié)整體把控。

        ◆第一步,情境創(chuàng)設(shè),引出新課

        結(jié)合教材中出現(xiàn)的植樹插圖,教師可以與學(xué)生一起回顧植樹節(jié)期間,學(xué)校組織的植樹活動,讓學(xué)生說一說,自己在植樹節(jié)種了幾棵樹,它們是如何排列的,植樹有哪些意義,以討論的方式引出話題,讓學(xué)生回顧自己真實的植樹經(jīng)驗,接著畫面切換展示一個具體問題,讓學(xué)生探索應(yīng)如何用數(shù)學(xué)的思維方法解答。

        問題一:一條全長100米的小路,每隔5米栽一棵樹,兩端都要栽,一共需要多少棵樹苗?

        結(jié)合這一問題,引導(dǎo)學(xué)生先圈畫關(guān)鍵信息:“全長100米”“間隔5米”“兩端都要栽”。然后讓學(xué)生想一想,這些詞語分別是什么意思?“間隔”應(yīng)該怎么解釋?“兩端都要栽”是強調(diào)的哪個部分?教師可進(jìn)一步結(jié)合“香蕉、蘋果、香蕉、蘋果、香蕉、蘋果”的排列方式,讓學(xué)生理解間隔的意義。如果已知有20個水果,讓學(xué)生試著說一說香蕉有幾個,蘋果有幾個,進(jìn)而對間隔排列有更直觀的理解。

        在這個部分,還有一個核心詞匯“兩端”。如何理解兩端,還是以“香蕉、蘋果、香蕉、蘋果……香蕉”為例,進(jìn)一步讓學(xué)生觀察,如果兩端都是香蕉,那么香蕉和蘋果的數(shù)量之間有什么關(guān)系?學(xué)生很容易就能發(fā)現(xiàn):香蕉數(shù)量=蘋果數(shù)量+1。無論這一排有多長,如果兩端都是香蕉,那么香蕉一定比蘋果多1個。

        回歸最開始的植樹問題,在這100米長的小路旁邊植樹,如果兩端都栽,那么樹之間間隔的距離就是間距,兩端都栽,就代表這條小路的兩端都要種樹。再讓學(xué)生用畫圖的方式呈現(xiàn)植樹后的效果:用線段表示間隔,用小點表示一棵樹,進(jìn)而找到問題解決的方案:100÷5=20,然后再加1。也就是在這個問題解答的過程中,兩端都栽的數(shù)量=間隔數(shù)+1。這樣轉(zhuǎn)化后,植樹問題與前面學(xué)生所學(xué)的平均分問題比較相似,只需要把握好兩端的處理方式即可。

        設(shè)計思路:在解答數(shù)學(xué)問題的過程中,讀題是關(guān)鍵的一步。讀題不是簡單的文字閱讀,而是要抓取題目中的關(guān)鍵信息,頭腦中還要建立初步的模型意識,找到解決問題的關(guān)鍵,并套用已經(jīng)學(xué)習(xí)的知識實現(xiàn)問題模型的化繁為簡。教師穿針引線,結(jié)合對數(shù)與形轉(zhuǎn)化規(guī)律的分析,幫助學(xué)生找到答題的切入點,就能實現(xiàn)一些復(fù)雜問題的簡單化,學(xué)生學(xué)習(xí)自然事半功倍。

        ◆第二步,小組合作,規(guī)律探索

        植樹問題涵蓋的類型多種多樣,教師帶領(lǐng)學(xué)生探索一個類型后,就可以將學(xué)生分成不同的小組,讓他們套用引導(dǎo)過程中所采用的方法進(jìn)行各類不同問題模型的提煉,將數(shù)學(xué)的語言有效分析,整合提煉為直觀模型,進(jìn)一步探索問題解決的一般規(guī)律,并將植樹問題適用范圍有效擴(kuò)大,讓學(xué)生在細(xì)致觀察的前提下合作探尋,豐富嘗試,真正通過提煉、思考、碰壁、探究、合作、解答、驗證,深入理解植樹問題的本質(zhì),對多種不同形式理性區(qū)分。教師將需要探究的問題,通過大屏幕呈現(xiàn),讓學(xué)生對各種不同情況進(jìn)行有效探究。

        問題二:在一條200米的公路一邊植樹,每隔5米栽一棵,如果兩端都不栽,總共需要多少棵樹苗?

        問題三:在一條200米的小路一邊植樹,每隔5米栽一棵,如果只有一端栽,另一端不栽,需要多少棵樹苗?

        問題四:一個湖泊已知周長為100米,在湖的四周栽樹,每隔5米栽一棵,請問需要多少棵樹苗?

        問題五:在一條全長100米的小路兩邊植樹,每隔5米栽一棵,兩端都栽,總共需要多少棵樹苗?

        這些問題基本囊括了植樹問題的所有案例,教師引導(dǎo)學(xué)生以小組為單位,一個一個探究、運用、轉(zhuǎn)化,結(jié)合模型思想總結(jié)發(fā)現(xiàn),將自己所得的結(jié)果在小組內(nèi)部進(jìn)行有效交流,并引導(dǎo)學(xué)生抽象出棵數(shù)、間隔數(shù)與總長度之間的一般化數(shù)學(xué)模型,為下一步遷移應(yīng)用奠定良好的基礎(chǔ)。

        在小組討論的前提下,教師還要讓各個小組積極匯報自己的學(xué)習(xí)成果。通過組與組之間的展示交流,發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思維盲點,助力學(xué)生對數(shù)學(xué)模型方法深度掌握。跳出一般的問題性解答,讓學(xué)生學(xué)會根據(jù)問題構(gòu)建模型,對兩端都栽、一端栽一端不栽、兩端都不栽、兩邊栽、環(huán)形栽等多種情況進(jìn)行深刻理解。通過合作討論,學(xué)生對棵數(shù)與端數(shù)之間的關(guān)系真正理解,這樣學(xué)生在遇到一些其他問題時,也會理清模型,探索問題解決的一般方法。

        設(shè)計思路:數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建,需要學(xué)生對問題進(jìn)行有效提煉,還可以結(jié)合圖形的繪制,綜合將直線栽樹、環(huán)形栽樹、兩邊栽樹等各種情況進(jìn)行有效的轉(zhuǎn)化。通過小組合作,學(xué)生對比思考,將一些易錯問題集中呈現(xiàn),將數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系深刻理解,也能通過直觀易懂的方式幫助學(xué)生突破知識重難點。加上小組競技,分析展示,還能鍛煉學(xué)生語言表達(dá)能力,讓學(xué)生嘗試將自己頭腦中的理解用清晰的語言闡述,防止學(xué)生出現(xiàn)理解了,但是不會說、不會用的情況。小組合作,分類探究,尊重學(xué)生的主體性價值,可以避免對植樹問題的生硬記憶,也能通過一些變式練習(xí),引導(dǎo)學(xué)生舉一反三,方法遷移。

        ◆第三步,當(dāng)堂學(xué)練,鞏固提升

        如果植樹問題只能解決與植樹相關(guān)的問題,那么就會讓學(xué)生感覺學(xué)習(xí)過程非??菰?,為了給學(xué)生帶來更多學(xué)習(xí)挑戰(zhàn)感,提高學(xué)生思維的縝密性,在學(xué)習(xí)植樹問題的過程中,教師還要同步為學(xué)生設(shè)計一些衍生問題,進(jìn)一步提高學(xué)生思維的靈活性。

        練習(xí)1:32棵樹平均栽成4行,每行能夠栽幾棵樹?

        這個問題雖然也屬于植樹問題,但是它并不屬于前面幾種探究案例,屬于平均分的問題。而且這里不需要考慮一端栽、兩端栽的情況,主要考慮在植樹過程中數(shù)量的分配,主要涉及將總的平均分成幾個部分的問題。

        練習(xí)2:如果將一根木頭鋸成5段,每鋸下一段需要8分鐘,那么鋸?fù)赀@根木頭總共需要多少分鐘?

        這個問題看似和植樹問題毫不相關(guān),但是在這個問題解答的過程中,每次鋸的段數(shù),恰好符合栽樹過程中的間隔問題,而且鋸木頭的過程兩端都不需要鋸,所以這個問題是植樹過程中的兩端都不栽的情況。學(xué)生如果能夠結(jié)合問題來畫出圖像,就能快速找到這個問題的解答思路。

        練習(xí)3:在一條總長度為3000米的道路兩旁,需要架設(shè)電線桿,已知相鄰兩根電線桿之間的距離為200米。請問這段路總共需要架設(shè)多少根電線桿?

        這個問題一出現(xiàn),學(xué)生就知道這屬于兩邊都栽的植樹問題,而且為了讓電線兩頭不落地,電線桿架設(shè)中也需要兩端都要架,問題解決的難度顯著降低。不過,這里需要考慮兩邊都需要架設(shè)電線桿,所以最后的結(jié)果還要乘以2。這也是學(xué)生容易忽略的一個易錯點。

        練習(xí)4:元旦期間,需要在一個圓形的廣場周邊裝上路燈照明,已知廣場的周長為280米,如果每隔7米裝一盞路燈,請問廣場周圍需要安裝多少路燈照明?

        這個問題屬于植樹問題中的環(huán)形封閉植樹問題,結(jié)合前期學(xué)生所理解的總長度、間隔數(shù)和棵數(shù)的關(guān)系,也能很容易獲得這一問題的答案。

        五、教法提煉

        植樹問題作為數(shù)學(xué)綜合實踐過程中的典型問題,與實際問題的關(guān)聯(lián)非常緊密,而且植樹問題的轉(zhuǎn)化非常靈活。在教學(xué)這部分內(nèi)容時,教師不宜過度為學(xué)生進(jìn)行模型講解和規(guī)律提煉,而是要給予學(xué)生充分的探究空間,鼓勵學(xué)生在理解主題的前提下動手實踐,在問題轉(zhuǎn)化中實現(xiàn)有效的模型構(gòu)建。為了讓學(xué)生有輕松、樂觀的學(xué)習(xí)心態(tài),教師可探索從以下幾個角度增強育人魅力。

        首先,引導(dǎo)學(xué)生化繁為簡,把握問題內(nèi)涵。解答植樹問題,先要讓學(xué)生進(jìn)行問題的探究,通過數(shù)形結(jié)合思想,將復(fù)雜的文字轉(zhuǎn)化為簡單直觀的模型,重點分析這一模型下兩端應(yīng)該如何處理,把握問題的核心內(nèi)涵后,再進(jìn)行模型構(gòu)建,列式解答,一些煩瑣問題就能迎刃而解。

        其次,在動手實踐中,領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合思想精髓。數(shù)學(xué)問題的解答不僅需要進(jìn)行準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)運算,還需要構(gòu)建直觀的數(shù)據(jù)模型,所以在數(shù)學(xué)問題解答的過程中,教師需要將數(shù)形結(jié)合思想貫穿其中,通過數(shù)與形的有效融合,促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)量關(guān)系,把握答題切入點。在植樹問題解答過程中,教師要引導(dǎo)學(xué)生對每一個問題都繪制直觀圖片,提煉問題模型,對間隔數(shù)與兩端情況進(jìn)行針對性分析。通過直觀圖形的呈現(xiàn),讓學(xué)生在頭腦中構(gòu)建實物模型,進(jìn)行植樹模擬,驗證自身結(jié)論。

        最后,對比觀察,促進(jìn)學(xué)生舉一反三。植樹問題是小學(xué)數(shù)學(xué)的典型問題,植樹問題涵蓋的知識點較多,應(yīng)用過程中也比較靈活。為了防止學(xué)生出現(xiàn)眼高手低的問題,在分析植樹問題的過程中,教師要讓學(xué)生進(jìn)行有效的觀察,通過一一對應(yīng),有效比對,找到恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型。只有學(xué)生真正領(lǐng)悟了植樹問題的模型,掌握了樹苗和間隔之間的對應(yīng)關(guān)系,才能嫻熟應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法,靈活應(yīng)對各類變式。

        (作者單位:漳州市龍海區(qū)浮宮鎮(zhèn)美山小學(xué))

        編輯:溫雪蓮

        作者簡介:高惠珠(1977—),女,漢族,福建漳州人,大專,一級教師,研究方向:小學(xué)數(shù)學(xué)。

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