一、案例背景

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》對高中數(shù)學(xué)教學(xué)提出了新的要求和標(biāo)準(zhǔn)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維成為教育的重中之重。創(chuàng)造性思維并非孤立存在，它與日常思維緊密相連，卻又獨具特色。“圓與圓的位置關(guān)系”是蘇教版高二選擇性必修第一冊第2章“圓與方程”第3課時的內(nèi)容，是高中數(shù)學(xué)中一個重要的知識點，它涉及平面直角坐標(biāo)系中圓的方程以及圓的幾何性質(zhì)等多個方面。通過學(xué)習(xí)這一內(nèi)容，學(xué)生可以進(jìn)一步掌握解析幾何的基本思想和方法，提高數(shù)學(xué)思維能力。在本課的學(xué)習(xí)中，學(xué)生將類比直線的研究方法，自主探究圓的方程和幾何性質(zhì)，并理解圓與圓之間的各種位置關(guān)系，包括內(nèi)含、內(nèi)切、相交、外切、外離。同時，學(xué)生還將多維度、多層面地體會數(shù)形結(jié)合的思想。

二、案例描述

（一）破冰之旅：引入話題，啟發(fā)思考

教師（微笑）：同學(xué)們，你們平時在生活中有沒有注意到哪些物體是圓形的呢？

學(xué)生（興奮）：籃球和足球都是圓的！

學(xué)生（思考）：還有太陽。它看起來也是圓圓的。

學(xué)生（補充）：還有水杯的蓋子，也是圓形的。

教師（點頭）：你們觀察得很仔細(xì)。那么，在數(shù)學(xué)中，圓是如何定義的呢？它有哪些獨特的性質(zhì)呢？

學(xué)生：它是由定點和定長確定的平面圖形！

教師（鼓勵）：很好，那我們就來深入探討一下這個神奇的圖形吧！

（二）探索之路：定義與方程的建立

教師（認(rèn)真）：在平面直角坐標(biāo)系中，圓是如何表示的呢？

學(xué)生（毫不猶豫）：使用方程！

教師（微笑）：非常正確。在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常使用方程來表示圖形。那么，你們能嘗試寫出圓心在原點，半徑為5的圓的方程嗎？

學(xué)生（思考片刻）：是不是x2+y2=25？

教師（點頭）：完全正確！這個方程確實表示了一個圓心在原點，半徑為5的圓。那么，你們能告訴我這個方程的含義嗎？

學(xué)生（積極回答）：這個方程表示圓上所有點到原點的距離都是5！

教師（贊許）：非常棒！你理解得很透徹。這個方程確實表示了圓上所有點到圓心的距離都是固定的，也就是半徑的長度。那么，你們能理解為什么這個方程可以用來表示圓嗎？

學(xué)生（疑惑）：是不是因為x和y表示圓上的點，而方程表示這些點到圓心的距離是固定的？

教師（點頭）：很好，你理解得很到位。這個方程確實是通過點到圓心的距離來描述圓的。那么，你們能嘗試寫出圓心在（3，4），半徑為5的圓的方程嗎？

學(xué)生（思考后回答）：是不是（x-3）2+（y-4）2=25？

教師（微笑）：非常正確！這個方程確實表示了一個圓心在（3，4），半徑為5的圓。通過調(diào)整這個方程，我們可以輕松地改變圓的位置和大小?，F(xiàn)在我們已經(jīng)理解了如何使用方程來表示圓，接下來我們將進(jìn)一步探索圓與圓的位置關(guān)系。

（三）創(chuàng)意之源：位置關(guān)系的發(fā)現(xiàn)

1.幾何法

教師（引導(dǎo)）：同學(xué)們，今天我們將深入探討一個有趣的數(shù)學(xué)問題——兩個圓之間的位置關(guān)系。現(xiàn)在，請大家先思考一下，如何判斷兩個圓的位置關(guān)系呢？

學(xué)生（思考）：老師，是不是可以通過比較兩個圓的圓心距和半徑來判斷它們的關(guān)系？

教師（贊許）：非常好！你的思路是對的。確實，通過比較圓心距和兩圓半徑的大小，我們可以確定它們的位置關(guān)系。那么，具體怎樣來進(jìn)行呢？

學(xué)生（思考）：如果圓心距大于兩圓半徑之和，它們是外離關(guān)系;如果圓心距等于兩圓半徑之和，它們是外切關(guān)系;如果圓心距小于兩圓半徑之和且大于兩圓半徑之差，它們是相交關(guān)系;如果圓心距等于兩圓半徑之差，它們是內(nèi)切關(guān)系;如果圓心距小于兩圓半徑之差，它們是內(nèi)含關(guān)系。

教師（贊許）：非常準(zhǔn)確！你總結(jié)得非常好。這就是我們通過幾何法來判斷兩個圓的位置關(guān)系的依據(jù)。見表1。其中，r1和r2分別為兩個圓的半徑，d為兩圓的圓心距。那么，除了幾何法，還有其他方法嗎？

2.代數(shù)法

學(xué)生（思考）：老師，我們還可以通過解方程組的方法來判斷。設(shè)由兩圓的方程組成的方程組為C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0。我們將兩個圓的方程聯(lián)立起來組成一個二元二次方程組，然后解這個方程組。如果有一組解，說明兩圓相切;有兩對相等的實數(shù)解，說明兩圓相交;如果沒有實數(shù)解，說明兩圓相離。見表2。

教師（欣喜）：非常好！你提出了另一種判斷方法——代數(shù)法。通過解方程組來判斷兩個圓的位置關(guān)系，這是一個很有創(chuàng)意的想法。這種方法不僅可以判斷兩個圓的位置關(guān)系，還可以進(jìn)一步確定兩個圓的交點個數(shù)和切點個數(shù)。

教師（深入引導(dǎo)）：現(xiàn)在我們來具體探討一下這兩種方法的應(yīng)用。首先，利用幾何法判斷兩個圓的位置關(guān)系，我們可以直接比較兩個圓的圓心距和半徑。這種方法直觀、易懂，對于一些較為簡單的情況非常適用。

教師（展示示例）：現(xiàn)在我們來看一個具體的例子。假設(shè)我們有兩個圓，方程分別為（x-1）2+（y-1）2=1和（x-3）2+（y-3）2=9。那么，我們應(yīng)該如何判定這兩個圓之間的關(guān)系呢？

學(xué)生：我們可以先計算出它們的圓心距，即d==2。然后比較d與r1+r2的大小，可以判斷出這兩個圓是相交的。

教師：沒錯，你們分析得很對。

教師（總結(jié)方法）：通過以上分析，我們可以總結(jié)出判斷兩圓位置關(guān)系的幾何法步驟：首先計算出兩圓的圓心距d;然后比較d與r1+r2、r1-r2的大小關(guān)系;最后根據(jù)大小關(guān)系判斷出兩圓的位置關(guān)系是相交、相切還是相離。

教師（引導(dǎo)）：除了幾何法，我們還可以利用代數(shù)法來判斷兩個圓的位置關(guān)系。通過代數(shù)法判斷兩個圓的位置關(guān)系是一種更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆椒āＫ梢源_保我們得到的結(jié)果是準(zhǔn)確的，并且在處理復(fù)雜情況時更加可靠?，F(xiàn)在我們舉一個具體的例子，假設(shè)我們有兩個圓的方程為（x-1）2+（y-1）2=1和（x-3）2+（y-3）2=9。那么，這兩個圓是什么位置關(guān)系呢？

學(xué)生：我們將這兩個方程聯(lián)立起來組成一個二元二次方程組，然后通過解這個方程組得到兩個實數(shù)解，可以判定這兩個圓是相交的。

教師（總結(jié)）：通過以上分析，我們可以總結(jié)出判斷兩圓位置關(guān)系的代數(shù)法步驟：首先將兩個圓的方程聯(lián)立起來組成一個二元二次方程組，然后解這個方程組，最后根據(jù)解的情況判斷兩圓的位置關(guān)系是相交、相切還是相離。這種方法雖然較為煩瑣，但對于一些需要精確結(jié)果的情況非常適用。

教師（鼓勵）：同學(xué)們，今天我們深入探討了如何利用幾何法和代數(shù)法判斷兩個圓的位置關(guān)系。希望大家能夠在解題中靈活運用這些方法。同時，也希望大家能夠繼續(xù)探索數(shù)學(xué)的世界，發(fā)現(xiàn)更多有趣的數(shù)學(xué)問題。

（四）總結(jié)與延伸：回顧過去，展望未來

教師：同學(xué)們，今天我們學(xué)習(xí)了圓與圓的位置關(guān)系，有誰可以總結(jié)一下判斷圓與圓位置關(guān)系的方法？

學(xué)生：我們可以根據(jù)圓心距和兩圓半徑的大小關(guān)系來判斷兩圓是外離、外切、內(nèi)切、內(nèi)含還是相交。

學(xué)生：也可以將兩個圓的方程聯(lián)立起來求解，判斷圓與圓的位置關(guān)系。

教師：非常好，你們總結(jié)得很好。那么，大家有沒有思考過，如何運用今天學(xué)到的知識解決實際問題呢？

學(xué)生：我們可以利用圓與圓的位置關(guān)系來判斷物體在空間中的位置，如判斷兩輛汽車在不同道路上的行駛關(guān)系。

教師：數(shù)學(xué)知識在生活中有著廣泛的應(yīng)用。希望同學(xué)們在今后的學(xué)習(xí)和生活中，能夠用今天學(xué)到的數(shù)學(xué)思維去解決實際問題，繼續(xù)努力探索數(shù)學(xué)的奧秘。

三、案例小結(jié)

本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容分為四個部分：破冰之旅、探索之路、創(chuàng)意之源和總結(jié)與延伸。從引入話題到深入探討，再到實際應(yīng)用，教學(xué)內(nèi)容層層遞進(jìn)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。同時，教學(xué)內(nèi)容涵蓋了圓的基本概念、方程表示方法和圓與圓位置關(guān)系的判斷方法，為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)幾何知識打下了基礎(chǔ)。

就教學(xué)方法與手段而言，本節(jié)課采用了啟發(fā)式教學(xué)法，引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)和探究數(shù)學(xué)知識。在教學(xué)過程中，我通過提問、討論等方式激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生主動思考問題。這種教學(xué)方法有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和解決問題的能力。另外，本節(jié)課運用了多媒體教學(xué)手段，通過展示圓的圖形、方程和位置關(guān)系判斷圓與圓的位置關(guān)系，幫助學(xué)生形象地理解抽象的數(shù)學(xué)概念。

就學(xué)生的學(xué)習(xí)情況來說，本節(jié)課中，學(xué)生表現(xiàn)出較高的學(xué)習(xí)積極性，積極參與討論，思考問題。在我的引導(dǎo)下，學(xué)生能夠主動發(fā)現(xiàn)和探究數(shù)學(xué)知識，展示了良好的學(xué)習(xí)態(tài)度和數(shù)學(xué)思維能力。另外，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生掌握了圓的定義、方程表示方法以及圓與圓的位置關(guān)系的判斷方法。在教學(xué)過程中，學(xué)生能夠運用所學(xué)知識解決實際問題，說明學(xué)生對所學(xué)知識的掌握程度較好。

就教學(xué)過程而言，我對本節(jié)課的教學(xué)節(jié)奏把握得當(dāng)，話題引入自然，探討環(huán)節(jié)有針對性，循序漸進(jìn)，符合學(xué)生對知識的認(rèn)知與內(nèi)化過程。但在教學(xué)過程中，部分環(huán)節(jié)的時間安排略顯緊張，導(dǎo)致學(xué)生在討論和思考問題時稍顯倉促。另外，雖然本節(jié)課中學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性較高，但部分學(xué)生在討論和思考問題時仍顯得有些拘束，思維不夠開闊。

通過本節(jié)課的教學(xué)，學(xué)生掌握了圓的定義、方程、表示方法以及圓與圓的位置關(guān)系的判斷方法。在教學(xué)過程中，學(xué)生積極參與討論，思考問題，展示了良好的學(xué)習(xí)態(tài)度和數(shù)學(xué)思維能力。一定程度而言，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)基本實現(xiàn)。但是這一系列教學(xué)活動的實施也存在一些問題需要改進(jìn)。具體包括以下方面：（1）加強課堂互動。為了提高學(xué)生的參與度，我們應(yīng)加強課堂互動，鼓勵學(xué)生積極提問和回答問題。同時，應(yīng)注意傾聽學(xué)生的意見，及時給予反饋，調(diào)整教學(xué)策略。（2）注重學(xué)生個體差異。學(xué)生之間存在明顯的個體差異，教師應(yīng)采用不同的方式激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的參與度。例如，對于學(xué)習(xí)能力較強的學(xué)生，我們可以提出更高層次的問題或者挑戰(zhàn)任務(wù)，引導(dǎo)他們進(jìn)行深入思考;對于學(xué)習(xí)能力較弱的學(xué)生，我們應(yīng)給予更多的關(guān)心和幫助，鼓勵他們克服困難，提高學(xué)習(xí)效果。（3）合理安排教學(xué)時間。我應(yīng)更加注重把握教學(xué)節(jié)奏，確保學(xué)生有足夠的時間進(jìn)行思考和討論。具體而言，可以適當(dāng)調(diào)整教學(xué)環(huán)節(jié)的時間安排，確保教學(xué)過程既緊湊又不失輕松。（4）結(jié)合實際生活案例展開教學(xué)。為了提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和應(yīng)用能力，我們應(yīng)多結(jié)合實際生活案例進(jìn)行教學(xué)，通過讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識在生活中的應(yīng)用價值，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。

總之，教師在教學(xué)過程中要注重啟發(fā)式教學(xué)法的運用，關(guān)注學(xué)生的個體差異，加強課堂互動，合理安排教學(xué)時間，結(jié)合生活案例進(jìn)行教學(xué)等。我相信通過不斷改進(jìn)教學(xué)方法和手段，能夠進(jìn)一步提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)效果，引導(dǎo)學(xué)生走進(jìn)更廣闊、多彩的數(shù)學(xué)世界。

（作者單位：泗洪縣第一高級中學(xué)）

編輯：常超波

作者簡介：王科學(xué)（1981—），男，漢族，安徽淮北人，中學(xué)一級教師，研究方向：高中數(shù)學(xué)。