趙司軍,王 輝,2

(1.伊犁師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,新疆 伊寧 835000; 2.伊犁師范大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所,新疆 伊寧 835000)

0 引言

在生態(tài)系統(tǒng)中,捕食關(guān)系被視為生物種群之間最主要的關(guān)系之一,是指一個(gè)生物種群捕食另一個(gè)生物種群以獲取所需的能量和營養(yǎng)物質(zhì).捕食關(guān)系對(duì)于生態(tài)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和功能具有重要影響,能夠調(diào)節(jié)生物種群的數(shù)量和分布,保持生態(tài)系統(tǒng)的平衡和穩(wěn)定.1987年KAREVIA和ODELL[1]提出了以下模型:

(1)

其中,u(x,t)和w(x,t)分別代表捕食者和食餌的密度.常數(shù)d和D分別表示捕食者和食餌的擴(kuò)散速率,d,D>0;-χ?·(u?w)表示捕食者對(duì)食餌的趨向性;γ表示從食餌到捕食者的轉(zhuǎn)換率;函數(shù)h(u)和f(w)表示種內(nèi)相互作用,uF(w)表示種間相互作用.

許多學(xué)者都對(duì)模型(1)進(jìn)行了研究,得到了模型解的動(dòng)力學(xué)的研究結(jié)果,如全局存在性[2-5]、一致有界性[4,6]和漸近行為[6]等.在模型(1)單個(gè)捕食者的基礎(chǔ)上,也有研究人員考慮了以下雙捕食者的情形:

其中,u(x,t)和v(x,t)代表兩類捕食者的密度,w(x,t)代表食餌的密度.

ZHENG[7]成功證明了在二維有界區(qū)域中模型(2)存在唯一的全局經(jīng)典解.同時(shí),針對(duì)β1=β2=0的情形,ZHENG也研究了模型(2)的常值穩(wěn)態(tài)解的全局漸進(jìn)穩(wěn)定性.鑒于自然界中捕食者朝著食餌的運(yùn)動(dòng)遠(yuǎn)不是模型(2)所描述的那么簡(jiǎn)單,在文獻(xiàn)[7]的研究基礎(chǔ)之上,本文考慮以下帶有競(jìng)爭(zhēng)機(jī)制的非線性捕食者-食餌模型:

定理1假設(shè)γ1,γ2,θ1,θ2和μ都是正常數(shù),β1,β2則為非負(fù)常數(shù).如果條件:

αi<1,i=1,2

1 預(yù)備知識(shí)

首先簡(jiǎn)述一下模型(3)經(jīng)典解的局部存在性結(jié)果.

引理1.1 假設(shè)定理1中的條件成立,則存在最大存在時(shí)間Tmax∈(0,∞],使得滿足:

的唯一的三元函數(shù)組(u,v,w)是模型(3)在Ω×(0,Tmax)中的經(jīng)典解.同時(shí)可知,

u(x,t),v(x,t)>0,0

進(jìn)一步地,若Tmax<+∞,則有

(5)

在證明定理1時(shí),除了局部存在性外,還需要借助以下結(jié)論,詳細(xì)的證明過程可參閱文獻(xiàn)[7]和[8].

引理1.2 假設(shè)定理1中的條件成立,則對(duì)任意t∈(0,Tmax),存在某個(gè)常數(shù)C>0,使得

2 定理1的證明

從估計(jì)模型(3)解的第三個(gè)分量w開始討論.

引理2.1 假設(shè)定理1中的條件成立,則存在一個(gè)常數(shù)C>0,使得對(duì)于任意t∈(0,Tmax),有

證明 利用模型(3)中的第三個(gè)方程,由Young不等式計(jì)算可以得到:

根據(jù)u和v的非負(fù)性,可以推出:

從而引理2.1得證.

根據(jù)引理2.1, 立即得到以下推論.

推論2.1 假設(shè)定理1中的條件成立,則存在一個(gè)常數(shù)C>0,使得對(duì)于任意t∈(0,Tmax-τ),有

受到CAO等[9]所使用的試驗(yàn)函數(shù)的啟發(fā),接下來將使用加權(quán)積分的方法來獲得Lp有界性.

引理2.2 假設(shè)定理1中的條件成立,則對(duì)任意p∈(1,∞),對(duì)任意t∈(0,Tmax),存在某個(gè)常數(shù)C>0滿足:

和

因?yàn)棣?<1,利用Young不等式,可以找到常數(shù)C1,C2>0,使得對(duì)于任意s>0,有下列不等式成立:

(13)

和

(14)

結(jié)合(3)中第一個(gè)和第三個(gè)方程,對(duì)任意t∈(0,Tmax),可以得到:

(16)

進(jìn)一步地,將(16)中右邊最后四項(xiàng)分別記作I1,I2,I3,I4.首先,通過Cauchy-Schwarz不等式得到:

再次使用Cauchy-Schwarz不等式,聯(lián)立(11)和(13)可以得到:

(18)

類似地,聯(lián)立(11)和(14)可以得到:

(19)

對(duì)于I4,記C3∶=μKη+γ1Kp+1,由式(6)、式(11)、Gagliardo-Nirenberg不等式和Young不等式可以推導(dǎo)出,存在常數(shù)C4>0和C5>0使得:

(20)

綜合上述估計(jì),將(17)～(20)一起代入(16),結(jié)合(12),對(duì)任意t∈(0,Tmax),可以得到:

(21)

其中,c6∶=C1p(p-1)+pησηC2.

聯(lián)立引理1.3和推論2.1,對(duì)任意t∈(0,Tmax),存在C7>0滿足:

根據(jù)(11)有φ(w)≥σ-η.在(22)兩邊同時(shí)乘以ση,可以證明(9)成立,其中C∶=σηC7.類似地,也可以證明式(10)成立.至此,引理2.2得證.

定理1的證明在引理2.2結(jié)論的基礎(chǔ)上,根據(jù)拋物方程的正則性理論,對(duì)任意t∈(0,Tmax),存在一個(gè)常數(shù)C>0滿足:

‖w(·,t)‖W1,∞(Ω)≤C.

此外,利用Moser-Alikakos迭代技巧[10],對(duì)任意t∈(0,Tmax),可以得到:

‖u(·,t)‖L∞(Ω)+‖v(·,t)‖L∞(Ω)≤C,

其中,C也是一個(gè)常數(shù),C>0.

結(jié)合引理1.1,由此完成了定理1的證明.