楊曉曼,周 鑫,2

(1.伊犁師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,新疆 伊寧 835000;2.伊犁師范大學應(yīng)用數(shù)學研究所,新疆 伊寧 835000)

0 引言

1965年,ZADEH[1]引入了模糊集的概念,標志著模糊數(shù)學的誕生.1986年,NANDA[2]給出了模糊域以及模糊線性空間的定義.1989年,BISWAS[3]重新給出了由NANDA定義的模糊域以及模糊線性空間,這種定義更為合理.1990至1991年,NANDA[4]討論了模糊域上的模糊代數(shù)的概念,并給出了模糊理想的概念.NANDA[5]進一步引入了任意值域上的模糊線性空間中的一些概念,如凸模糊集等.1993年,GU等[6]指出NANDA對模糊域的定義是不合理的,因此模糊域上模糊代數(shù)的定義也是不合理的;且重新定義了模糊域和模糊代數(shù);在沒有任何限制的情況下,證明了模糊代數(shù)的同態(tài)像是模糊代數(shù).1996年,黨發(fā)寧[7]更深入地探討了模糊代數(shù)以及模糊理想的性質(zhì),定義了模糊商代數(shù),并證明了代數(shù)Y關(guān)于代數(shù)Z的同態(tài)核f-1[Oz]的模糊商代數(shù)與代數(shù)Z同構(gòu)等性質(zhì).2002年,孫紹權(quán)等[8]定義了模糊商代數(shù),給出了模糊代數(shù)的同態(tài)基本定理.同年,姚炳學等[9]重新定義了模糊域上的模糊商代數(shù),研究了模糊域上的模糊代數(shù)與模糊理想的性質(zhì),并給出了模糊商代數(shù)的同構(gòu)定理.2019年,魏曉偉等[10]引入了模糊集上模糊泛代數(shù)的概念,研究了商代數(shù)、同余關(guān)系等概念.2021年,ADDIS[11]引入了L-值模糊代數(shù)的概念,并討論了模糊陪集的結(jié)構(gòu).

本文基于以上模糊代數(shù)的研究內(nèi)容,首先,給出了模糊結(jié)合代數(shù)的概念,在此基礎(chǔ)上定義了模糊結(jié)合代數(shù)之間的模糊同態(tài)、模糊單同態(tài)、模糊滿同態(tài)以及模糊同構(gòu).其次,證明了模糊同態(tài)的復(fù)合仍然是模糊同態(tài).然后,引出了模糊結(jié)合代數(shù)中模糊理想的概念,利用模糊理想構(gòu)造了模糊結(jié)合代數(shù)的商結(jié)構(gòu).最后,在上述定義的基礎(chǔ)上證明了模糊結(jié)合代數(shù)的同態(tài)定理.

1 預(yù)備知識

定義1[12]設(shè)(L,≤)為偏序集,若任意a,b∈L,均存在最小上界sup{a,b}和最大下界inf{a,b},則稱偏序集(L,≤)為格,簡記為L.

在L中定義∨和∧兩種運算,對于任意a,b∈L,a∨b=sup{a,b},a∧b=inf{a,b}.若格L的每一個子集S均有最小上界和最大下界,則稱L為完備格.

定義2[13]設(shè)X是一個非空集合,L為完備格,映射χ:X→L稱為集合X的模糊子集,其中χ稱為模糊子集的隸屬函數(shù).對于任意x∈X,χ(x)稱為x對χ的隸屬度.用FL(X)={χ|χ:X→L}表示X上所有隸屬函數(shù)的族.

2 主要結(jié)論

本文中代數(shù)均指具有單位元e的結(jié)合代數(shù).

定義3 設(shè)A是數(shù)域F上的一個代數(shù),L為完備格.若χA∈FL(A),任意a1,a2∈A,k∈F,滿足:

(1)χA(a1)∧χA(a2)≤χA(a1+a2),

(2)χA(a1)∧χA(a2)≤χA(a1·a2),

(3)χA(a1)≤χA(k·a1),

(4)χA(e)=1.

則稱χA是A上的模糊結(jié)合代數(shù),簡稱模糊代數(shù),記為(A,χA).

定義4 設(shè)(A,χA),(B,χB)為模糊代數(shù),α:A→B為A到B的同態(tài).若任意a∈A,滿足:

χA(a)≤χB(α(a)),

則稱映射α:(A,χA)→(B,χB)為(A,χA)到(B,χB)的模糊同態(tài).

若模糊同態(tài)α為單射,則稱α:(A,χA)→(B,χB)為(A,χA)到(B,χB)的模糊單同態(tài).

若模糊同態(tài)α為滿射,則稱α:(A,χA)→(B,χB)為(A,χA)到(B,χB)的模糊滿同態(tài).

若模糊同態(tài)α為雙射,則稱α:(A,χA)→(B,χB)為(A,χA)到(B,χB)的模糊同構(gòu).

注1 (1)任意a∈A,若α:(A,χA)→(B,χB)為模糊同態(tài),則χB(α(a))=∨χA(α-1(α(a))).

(2)任意a∈A,若α:(A,χA)→(B,χB)為模糊同構(gòu),則χB(α(a))=χA(a).

定理1設(shè)(A,χA),(B,χB),(C,χC)為模糊代數(shù),α:(A,χA)→(B,χB)為(A,χA)到(B,χB)的模糊同態(tài),β:(B,χB)→(C,χC)為(B,χB)到(C,χC)的模糊同態(tài),則復(fù)合β°α:(A,χA)→(C,χC)為(A,χA)到(C,χC)的模糊同態(tài).

證明 設(shè)a∈A,α(a)=b,β(b)=c,則(β°α)(a)=c.

由模糊同態(tài)的定義可知,χA(a)≤χB(α(a)),χB(b)≤χC(β(b)),則有:

χA(a)≤χB(α(a))=χB(b)≤χC(β(b))=χC(c)=χC((β°α)(a)),

即χA(a)≤χC((β°α)(a)),故復(fù)合β°α為(A,χA)到(C,χC)的模糊同態(tài).

定義5 設(shè)(A,χA),(B,χB)為模糊代數(shù),α,β為(A,χA)到(B,χB)的模糊同態(tài).若任意a∈A,α(a)=β(a)均成立,則稱模糊同態(tài)α與β相等,記為α=β.

定義6 設(shè)A是代數(shù),R為A的子代數(shù),L為完備格,χR∶R→L.

(1)若a∈A,b∈R,有χR(a·b)≥χR(b),則稱(R,χR)是(A,χA)的模糊左理想;

(2)若a∈R,b∈A,有χR(a·b)≥χR(a),則稱(R,χR)是(A,χA)的模糊右理想;

(3)若a,b∈R,有χR(a·b)≥χR(a)∨χR(b),則稱(R,χR)是(A,χA)的模糊理想.

定義7 設(shè)(A,χA)為模糊代數(shù),(R,χR)是(A,χA)的模糊理想.任意a,b∈A,k∈F,在A/R上可以定義運算:

(1)加法:(a·R)+(b·R)=(a+b)·R;

(2)乘法:(a·R)·(b·R)=(a·b)·R;

(3)數(shù)乘:k(a·R)=(ka)·R.

定理2設(shè)(A,χA)為模糊代數(shù)且存在a∈A,使得χA(a)=1,(R,χR)是(A,χA)的模糊理想,定義:

則(A/R,χA/R)為模糊代數(shù),稱(A/R,χA/R)為(A,χA)的模糊商代數(shù).

證明 先驗證乘法運算下結(jié)論是否成立.

(1)假設(shè)a1,a2∈R,則

χA/R((a1·R)·(a2·R))=χA/R((a1·a2)·R)=1,

故χA/R(a1·R)∧χA/R(a2·R)≤χA/R((a1·R)·(a2·R)).

(2)假設(shè)a1∈R,a2?R,則

由于χA/R(a1·R)=1,則

χA/R(a1·R)∧χA/R(a2·R)=χA/R(a2·R),

故χA/R(a1·R)∧χA/R(a2·R)≤χA/R((a1·R)·(a2·R)).

因此,在乘法運算下結(jié)論成立.加法運算、數(shù)乘運算的證明同理可得,且χA/R(e)=1.

綜上所述,(A/R,χA/R)為模糊代數(shù).

定理3設(shè)(A,χA)為模糊代數(shù)且存在a∈A,使得χA(a)=1,(R,χR)是(A,χA)的模糊理想,(A/R,χA/R)為(A,χA)的模糊商代數(shù).對于任意a′∈A,定義映射:

ν∶(A,χA)→(A/R,χA/R),ν(a′)=a′·R,

則ν為模糊同態(tài).

證明 先驗證乘法運算下結(jié)論是否成立.

(1)假設(shè)a1,a2∈R,則

χA/R((a1·R)·(a2·R))=χA/R((a1·a2)·R)=1,

故χA(a1)∧χA(a2)≤χA/R((a1·R)·(a2·R)).

(2)假設(shè)a1∈R,a2?R,則

即χA(a1)∧χA(a2)≤χA/R((a1·R)·(a2·R)).

因此,在乘法運算下結(jié)論成立.加法運算、數(shù)乘運算的證明同理可得,零元運算的結(jié)論顯然成立.

綜上所述,ν為模糊同態(tài).

定理4設(shè)(A,χA)為模糊代數(shù)且存在a∈A,使得χA(a)=1,α是(A,χA)到(B,χB)的模糊滿同態(tài),(R,χR)是(A,χA)的模糊理想,(A/R,χA/R)為(A,χA)的模糊商代數(shù).其中,

當a′∈R時,χB(α(a′))=1.ν:(A,χA)→(A/R,χA/R)為模糊同態(tài),且對于任意a′∈A,有ν(a′)=a′·R,則存在唯一的模糊同態(tài):

β∶(A/R,χA/R)→(B,χB),

使得圖1交換.

圖1 交換圖

證明 (i)存在性.對于任意a′∈A,令映射β:(A/R,χA/R)→(B,χB),β(a′·R)=α(a′),則β是A/R到B的同態(tài),且β°ν(a′)=β(a′·R)=α(a′),即β°ν=α.

下證χA/R((a1·a2)·R)≤χB(β((a1·a2)·R)).

先驗證乘法運算下結(jié)論是否成立.

(1)假設(shè)a1,a2∈R,則

χB(β((a1·a2)·R))=χB(α(a1·a2))=1=χA/R((a1·a2)·R).

(2)假設(shè)a1∈R,a2?R,則

任意a1,a2∈A,因為

χB(α(a1·a2))=∨χA(α-1(α(a1·a2)))≥χA(a1)∧χA(a2),

故

χA/R((a1·a2)·R)≤χB(β((a1·a2)·R)).

因此,在乘法運算下結(jié)論成立.加法運算、數(shù)乘運算的證明同理可得,零元運算的結(jié)論顯然成立.

(ii)唯一性.假設(shè)存在同態(tài)β′:A/R→B同樣滿足上述條件,即對于任意a′∈A,有β′°ν(a′)=α(a′),可推出對于任意a′∈A,有β′°ν(a′)=β°ν(a′)均成立,又由于ν為滿同態(tài),則可推出β′=β.由經(jīng)典交換圖(圖2)中β的唯一性可知,交換圖(圖1)中的β唯一存在.

圖2 經(jīng)典交換圖

3 結(jié)語

本文主要研究了模糊結(jié)合代數(shù)的理想以及商等相關(guān)性質(zhì),證明了模糊結(jié)合代數(shù)的同態(tài)定理.文中的定理、結(jié)論有助于更好地理解其他具體的模糊代數(shù)結(jié)構(gòu),并且為研究其他模糊代數(shù)結(jié)構(gòu)提供了理論支撐.