雷桂英,宋軍鋒

(陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,陜西 西安 710119)

0 引言

微分不變量是非線性系統(tǒng)的重要應(yīng)用方面,也是不變量經(jīng)典理論的組成部分,而不變量是抽象代數(shù)的一部分.微分不變量用于求解不變微分方程和變分問題[1-2],確定其顯示解和守恒律的基本構(gòu)件.子流形的等價(jià)性、對(duì)稱性[3]和剛性都由它們的微分不變量決定.此外,微分不變量在微分幾何和相對(duì)論、偏微分方程組特解的構(gòu)造[4-5]、計(jì)算機(jī)視覺中的物體識(shí)別[6]、可積系統(tǒng)、幾何數(shù)值積分[7]、經(jīng)典不變量理論、不變流以及許多其他純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域[8-12]中的應(yīng)用比比皆是.

考慮廣義的Whitham-Broer-Kaup-Like(WBKL)方程組[13]:

其中,u(x,t)和v(x,t)表示待定函數(shù),a,b,c為任意常數(shù).

該方程組可用于描述長波在淺水波中的雙向傳播,這是一個(gè)非常重要的物理模型.該系統(tǒng)包含許多大家熟知的非線性演化方程,當(dāng)參數(shù)取不同值時(shí),該方程組可導(dǎo)出許多著名的非線性演化方程.廣義的WBKL方程組已被許多學(xué)者以各種方法進(jìn)行了深入研究. GUO等[14]應(yīng)用推廣的(G′/G)展開法,得到了WBKL方程的具有雙曲函數(shù)、三角函數(shù)、有理函數(shù)形式的行波解.MING等[15]利用分歧方法和動(dòng)力系統(tǒng)定性理論得到了WBKL方程的扭結(jié)解、爆破解、周期爆破解和孤立波解.LI等[16]應(yīng)用簡(jiǎn)化了的齊次平衡法,借助線性方程組解的非線性變換得到了WBKL方程的許多精確解.

考慮廣義的Hirota-Satsuma耦合KdV方程[17]:

此方程是Hirota-Satsuma耦合KdV方程的可積推廣.許多學(xué)者已經(jīng)對(duì)廣義的HS-KdV方程進(jìn)行了大量研究.ENGUI[18]應(yīng)用擴(kuò)展的tanh函數(shù)法獲得了方程新的孤子解.YU等[19]使用推廣的Jacobi橢圓函數(shù)法得到了方程更一般的解,該通解不但包含了已有的Jacobi橢圓函數(shù)展開法求得的解,還包含了許多新的顯式解.YONG等[20]使用改進(jìn)的投影Riccati方程法得到了方程的許多精確解.

本文以廣義的WBKL方程組和廣義的HS-KdV方程組為研究對(duì)象,運(yùn)用最新的等變活動(dòng)標(biāo)架理論[21-24],選擇合適的群軌道橫截面,并對(duì)其進(jìn)行規(guī)范化以獲得活動(dòng)標(biāo)架,進(jìn)而產(chǎn)生基本的微分不變量,再利用Gr?bner基算法計(jì)算微分不變量代數(shù)的基本結(jié)構(gòu),借助符號(hào)計(jì)算軟件Maple,切實(shí)有效地求得廣義的WBKL方程和廣義的Hirota-Satsuma耦合KdV方程的微分不變量、微分不變量代數(shù)和微分不變方程．

1 基礎(chǔ)知識(shí)

下面給出等變活動(dòng)標(biāo)架理論和微分不變量的相關(guān)定義和定理.

給定微分方程組:

Δv(x,u(n))=0,

(3)

其中,x=(x1,…,xp)表示p個(gè)自變量,u=(u1,…,uq)表示q個(gè)因變量.z=(x,u)是全空間M上的局部坐標(biāo),M是m=p+q維的流形,SΔ={Δ(x,u(n))=0}?Jn(M,p)是全空間M上p維子流形的n階Jet叢的子簇.

n階延拓向量場(chǎng)為:

其中,DJ=Dxj1,…,Dxjk,J=(j1,…,jk),1≤jv≤p表示相應(yīng)的迭代全微分,延拓系數(shù)為:

v(n)(Δv)=0,v=1,2,…,k.(4)

在SΔ上展開(4)式,關(guān)于向量場(chǎng)v的系數(shù)ξi和φα滿足的齊次線性偏微分方程組:

系統(tǒng)的提升水平余標(biāo)架如下:

(6)

其中,dH表示水平微分,Dj=Dxj表示全微分.

一旦一個(gè)活動(dòng)標(biāo)架被固定,可誘導(dǎo)出不變量化過程ι,將Jn(M,p)上的微分函數(shù)、微分形式、微分算子映射到微分不變量、不變微分形式、不變微分算子.不變量是通過用它們的活動(dòng)標(biāo)架歸一化來替換變換對(duì)象中的群參數(shù).因此,不變量化過程為:

ι:F(x,u(n))I(x,u(n))=F(ρ(n)(x,u(n))·(x,u(n))).

將微分函數(shù)F(x,u(n))映射到微分不變量I=ι(F).從幾何角度來講,不變量化是把函數(shù)限制在橫截面上,并且要求其沿著偽群軌道是恒定的.因此,ι定義了一個(gè)代數(shù)態(tài)射,將微分函數(shù)的代數(shù)投影到微分不變量的代數(shù)上.特別地,由活動(dòng)標(biāo)架誘導(dǎo)的正規(guī)化微分不變量是通過對(duì)n階Jet坐標(biāo)(x,u(n))不變量化得到的.

(7)

xiXi,uα

定理3不變性的Maurer-Cartan形式滿足不變性的決定方程:

定理4正規(guī)化微分不變量(7)之間的遞推公式為:

2 廣義的Whitham-Broer-Kaup-Like(WBKL)方程組

運(yùn)用最新的等變活動(dòng)標(biāo)架理論計(jì)算方程組(1)的微分不變量、微分不變量代數(shù)以及微分不變方程.

方程組(1)的全空間M=4的坐標(biāo)為(t,x,u,v),其向量場(chǎng)為:

方程組(1)對(duì)應(yīng)的無窮小決定方程可約化為:

上述方程組的通解為:

(8)

定義四維廣義的WBKL方程的對(duì)稱代數(shù),其基為:

通過指數(shù)映射,得到對(duì)應(yīng)的李偽群:

其中,λ1,λ2,λ3,λ4是群參數(shù).

根據(jù)(6)式可得方程組(1)的水平余標(biāo)架:

dHT=(Tt+Tuut+Tvvt)dt+(Tx+Tuux+Tvvx)dx=eλ4dt,

(9)

(10)

和對(duì)偶的隱式全微分算子:

(11)

構(gòu)造廣義的WBKL方程的活動(dòng)標(biāo)架,選取群軌道的坐標(biāo)截面,得到四個(gè)歸一化方程:

X=0,T=0,U=0,V=1.

解得群參數(shù):

λ1=-t,λ2=-x,λ3=-u,λ4=lnv.

(13)

將(13)式代入(12)式,得到幻影微分不變量:

和函數(shù)獨(dú)立的正規(guī)化微分不變量的完整系統(tǒng):

將式(13)代入式(9)、(10)式,得到不變量化的水平余標(biāo)架,并且不變量化的水平1-形式ω1,ω2滿足結(jié)構(gòu)方程:

(14)

再將式(13)代入式(11),得到不變的微分算子:

(15)

通過對(duì)偶性,由式(14)可得不變微分算子的交換關(guān)系:

根據(jù)定理2和定理3可得不變量化的Maurer-Cartan形式滿足的方程:

(16)

根據(jù)式(8),設(shè)無窮小生成子的一般形式為:

其中,c1,c2,c3,c4是常參數(shù),延拓系數(shù)為:

(17)

對(duì)式(17)不變量化可得如下的遞推公式:

根據(jù)定理4可得:

0=dHH1=ω1+α,0=dHH2=ω2+β,

(18)

由式(18)解得:

將上述結(jié)果代入式(18),再根據(jù)定理4,整理使得等式兩邊ω1,ω2的系數(shù)相等,得到微分不變量的遞推公式:

(19)

由式(19)可知,每一個(gè)正規(guī)化微分不變量都可以由這4個(gè)基本的微分不變量:

根據(jù)Gr?bner基算法,由式(15)和(19)可得到廣義的WBKL方程微分不變量代數(shù)的基本關(guān)系:

根據(jù)等變活動(dòng)標(biāo)架理論可得方程組(1)的微分不變方程為:

3 廣義的Hirota-Satsuma耦合KdV方程

運(yùn)用最新的等變活動(dòng)標(biāo)架理論計(jì)算方程組(2)的微分不變量、微分不變量代數(shù)以及微分不變方程.

方程組(2)的全空間M=5的坐標(biāo)為(t,x,u,v,w),其向量場(chǎng)為:

方程組(2)對(duì)應(yīng)的無窮小決定方程可約化為:

上述方程組的通解為:

(20)

定義四維廣義的Hirota-Satsuma耦合KdV方程的對(duì)稱代數(shù),其基為:

通過指數(shù)映射,得到對(duì)應(yīng)的李偽群為:

其中,λ1,λ2,λ3,λ4是群參數(shù).

根據(jù)式(6)可得方程組(2)的水平余標(biāo)架:

(21)

dHT=(Tt+Tuut+Tvvt+Twwt)dt+(Tx+Tuux+Tvvx+Twwx)dx=eλ4dt,

(22)

和對(duì)偶的隱式全微分算子:

(23)

構(gòu)造廣義的Hirota-Satsuma耦合KdV方程的活動(dòng)標(biāo)架,選取群軌道的坐標(biāo)截面,得到4個(gè)歸一化方程:

T=0,X=0,U=1,V=1.

解得群參數(shù):

(25)

將式(25)代入式(24)得到幻影微分不變量:

和函數(shù)獨(dú)立的正規(guī)化微分不變量的完整系統(tǒng):

將式(25)代入式(21)、(22)得到不變量化的水平余標(biāo)架,并且不變量化的水平1-形式ω1,ω2滿足結(jié)構(gòu)方程:

(26)

再將式(25)代入式(23)得到不變的微分算子:

(27)

通過對(duì)偶性,由式(26)可得不變微分算子的交換關(guān)系:

根據(jù)定理2和定理3可知,不變量化的Maurer-Cartan形式滿足的方程:

(28)

根據(jù)式(20)設(shè)無窮小生成子的一般形式為:

其中,c1,c2,c3,c4是常參數(shù),延拓系數(shù)為:

(29)

對(duì)式(29)不變量化,可得如下的遞推公式:

(30)

根據(jù)定理4可得:

由式(31)解得:

將上述結(jié)果代入式(30),再根據(jù)定理4,整理使得等式兩邊ω1,ω2的系數(shù)相等,得到微分不變量的遞推公式:

(32)

由式(32)可知,每一個(gè)正規(guī)化微分不變量都可以由6個(gè)基本的微分不變量:

根據(jù)Gr?bner基算法,由式(27)和式(32)可得到廣義的Hirota-Satsuma耦合KdV方程微分不變量代數(shù)的基本關(guān)系:

根據(jù)最新的等變活動(dòng)標(biāo)架理論可得方程組(2)的微分不變方程為:

4 結(jié)語

本文基于最新的等變活動(dòng)標(biāo)架理論,選取合適的偽群軌道截面,構(gòu)造方程的活動(dòng)標(biāo)架,借助數(shù)學(xué)軟件,有效求得了廣義的WBKL方程組和廣義的HS-KdV方程組的微分不變量、微分不變量代數(shù)以及微分不變方程.這一結(jié)果可作為利用微分不變量求解方程的不變解和有關(guān)不變量問題的重要工具.