耿 征

(徐州市第十三中學,江蘇 徐州 221006)

《義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》指出,學生要會用數(shù)學的語言表達和描述現(xiàn)實世界.在這種理念的指導下,筆者先對兩個案例進行分析,指出學生學習幾何符號語言存在的困難,再針對困難從宏觀和微觀兩個方面給出解決策略.

1 案例分析

例1 如圖1,在△ABC中,∠ACB=90°,AE是角平分線,CD是高,AE、CD相交于點F.求證：∠CFE=∠CEF.

圖1 例1題圖

由此可以看出,在證明幾何命題時,學生需根據(jù)已知條件和所證結論選擇合適的幾何定理作為推理的依據(jù),并將幾何定理或概念用符號語言表示出來,這是學生學習幾何符號語言的第一個困難.

例2 如圖2,在四邊形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,M、N分別是AC、BD的中點,連接BM,DM,MN.求證：MN⊥BD.

圖2 例2題圖

解析根據(jù)已知條件∠ABD=∠ADC=90°,易得△ABD和△ADC都是直角三角形.根據(jù)圖形結構特征,BD是△ABD的斜邊,AC是△ABC的斜邊.又因為M、N分別是AC、BD的中點,根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)可得BM=AM=MC,DM=AM=MC,所以BM=DM,即△BMD是等腰三角形.由等腰三角形“三線合一”性質(zhì)可知MN⊥BD.

顯然,本題主要考查直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)和等腰三角形“三線合一”的性質(zhì),這是《義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》規(guī)定的最基礎最核心的內(nèi)容,是學生必須掌握的基礎知識.從圖形方面來看,本題涉及直角三角形和等腰三角形,這學生最常見的基本圖形.學生見到這個圖形很多遍了,但是仍然存在困難,不知道該如何下手.為什么會這樣呢?筆者認為,符號語言的學習,歸根結底就是對每個定理的符號語言的學習.符號語言表達能力的訓練,本質(zhì)上是對文字語言的理解,就是用圖形和符號理解幾何命題.而符號語言表達的本質(zhì),就是圖形和符號的聯(lián)想,即由圖形想到相應的符號語言.由此可以看出,學生缺少文字語言和圖形語言、符號語言之間的互相轉化的能力,是幾何符號語言學習的第二個困難,是影響學生幾何推理能力的關鍵.

2 解決策略

2.1 從宏觀方面而言,需建構知識體系

學生對幾何圖形的認識,是一個由簡單到復雜的過程.先是認識點、線,再到形、體;先是每種圖形的定義、表示方法,再到每種圖形的性質(zhì)和判定;先是孤立學習每個圖形,再到圖形之間的聯(lián)系和結合.

2.1.1建立圖形體系

對于點而言,初中階段僅僅認識其表示方法;對于線而言,包括直線、射線和線段,根據(jù)直線的位置關系,有相交線和平行線兩種,而相交線又會產(chǎn)生角;對于形而言,初中階段主要研究三角形、四邊形和圓三種圖形,如圖3所示.

圖3 基本幾何圖形體系圖

2.1.2建立圖形性質(zhì)和判定體系

以四邊形為例,初中階段主要從旋轉角度研究特殊的四邊形,包括平行四邊形、矩形、菱形、正方形,而每一種圖形的性質(zhì)和判定研究的過程又很相似,具體見表1和圖4.

表1 特殊四邊形性質(zhì)判定體系表

2.2 從微觀上而言,需建立不同語言相互轉化的橋梁

數(shù)學語言包括文字語言、圖形語言和符號語言.在初中數(shù)學學習中,所有的數(shù)學問題基本是通過這三種語言來描述的,許多數(shù)學問題的解決也是依靠數(shù)學語言之間的轉換實現(xiàn)的[1].

2.2.1明確每個命題的本質(zhì)——條件和結論

在學習“三角形內(nèi)角和定理”時,教師可提出問題：你能將其改寫為“如果…,那么…”的形式嗎?學生思考并回答：如果一個圖形是三角形,那么它的三個內(nèi)角的和是180°.教師總結,此命題的條件就是“一個三角形”,結論就是“三個內(nèi)角的是180°”.教師由此引導根據(jù)條件畫出幾何圖形,并根據(jù)條件和結論,用符號語言描述這個命題,然后利用所學知識進行證明.學生完成后,教師總結,得到三角形內(nèi)角和定理,如表2所示.

表2 三角形內(nèi)角和定理三種語言表

每個命題都是由條件和結論組成的,而這也正是每個命題的本質(zhì),明確了條件和結論,學生就不會再出現(xiàn)條件和結論分離的情況.因此,每個命題的學習,都需先引導學生明確條件和結論.

2.2.2有意識強化三種語言之間的聯(lián)系

對于每一個命題,文字語言、圖形語言和符號語言是不可分割的.在初中數(shù)學教學中,教師需有意識引導學生強化三種語言之間的相互轉化.

例3 如圖5,在△ABC中,AC=5,BC=4,AB的垂直平分線DE分別交AB、AC于點E、D.求△BCD的周長.

圖5 例3題圖

解析根據(jù)已知條件可知DE是線段AB的垂直平分線,由線段垂直平分線的性質(zhì)可知DA=DB.從而△BCD的周長為BC+CD+DB=BC+CD+AD=BC+AC=9.

顯然,本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì),即線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.解決本題的關鍵是實現(xiàn)文字語言、圖形語言、符號語言之間的相互轉化,從而建立已知條件與所求結論之間的邏輯關系,為問題解決創(chuàng)造條件.在解決本題時,教師可引導學生在圖5中標注已知條件中的垂直平分線,并根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)表達推理過程.即“因為ED垂直平分AB,所以DA=DB”.顯然,當學生在圖形中標注垂直平分線時,就自然能夠寫出相應的符號語言.

因此,對學生而言,每一道幾何命題都是強化訓練的一次機會.每遇到一個問題,教師都要引導學生借助關鍵詞找到相應的圖形.這樣就能夠將文字語言、圖形語言和符號語言緊緊聯(lián)系在一起.

3 結束語

在日常教學中,有意識地從宏觀方面構建幾何圖形體系,從微觀方面關注每個定理三種語言之間的轉化,可以有效提高學生幾何符號語言表達能力,從而提高學生運用所學知識分析問題和解決問題的能力,提升學生的幾何推理能力.