李春林

(天水市第九中學(xué),甘肅 天水 741020)

(河南、山西、江西、安徽、甘肅、青海、內(nèi)蒙古、黑龍江、吉林、寧夏、新疆、陜西)

第Ⅰ卷(選擇題)

一、選擇題：本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.

1.已知集合A={x|x2<4},B={x|y=lg(1-x)},則A∩B=( ).

A.(-2,1] B.(1,2] C.(-2,1) D.(0,2)

A.1 B.-1 C.i D.-i

3.已知平面向量a,b和實數(shù)λ,則“a=λb”是“a與b共線”的( ).

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

4.已知函數(shù)f(x)=(x+a-2)(x2+a-1)為奇函數(shù),則f(a)的值是( ).

A.0 B.-12 C.12 D.10

6.已知圓C:x2+y2+2x-2y=0,直線l的橫縱截距相等且與圓C相切﹐則滿足條件的直線l有( )條.

A.1 B.2 C.3 D.4

圖1 ICME-7會徽圖案 圖2 第7題示意圖

A.8 B.9 C.10 D.11

二、多選題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.

9.下列說法正確的是( ).

A.線性回歸方程中,若線性相關(guān)系數(shù)r越大,則兩個變量的線性相關(guān)性越強

B.數(shù)據(jù)1,3,4,5,7,9,11,16的第75百分位數(shù)為10

C.根據(jù)分類變量X與Y的成對樣本數(shù)據(jù),計算得到χ2=3.937,根據(jù)小概率值α=0.05的獨立性檢驗(x0.05=3.841),可判斷X與Y有關(guān)聯(lián),此推斷犯錯誤的概率不大于0.05

D.某校共有男女學(xué)生1 500人,現(xiàn)按性別采用分層抽樣的方法抽取容量為100人的樣本,若樣本中男生有55人,則該校女生人數(shù)是675

C.排氣20分鐘后,人可以安全進入車庫

D.排氣24分鐘后,人可以安全進入車庫

11.已知函數(shù)f(x)=(x2-x+1)ex,則( ).

A.f(x)有兩個極值點

B.f(x)在x=1處的切線方程為y=2ex-e

C.f(x)在[-1,1]上的值域為[3e-1,e]

D.當(dāng)a<1時,方程f(x)=a有且僅有一解

第Ⅱ卷(非選擇題)

三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.

12.從一顆骰子的六個面中任意選取三個面,其中恰有兩個面平行的不同選法共有____種(用數(shù)字作答).

四、解答題：本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

(1)求∠A;

16.如圖3,四棱臺ABCD-A1B1C1D1中,上、下底面均是正方形,且側(cè)面是全等的等腰梯形,AB=2A1B1=4,E,F分別為DC,BC的中點,上下底面中心的連線O1O垂直于上下底面,且O1O與側(cè)棱所在直線所成的角為45°.

圖3 第16題圖

(1)求證:BD1∥平面C1EF;

(2)求點A1到平面C1EF的距離;

17.已知函數(shù)f(x)=ex-sinx-cosx,f′(x)為其導(dǎo)函數(shù).

(1)求f(x)在[-π,+∞)上極值點的個數(shù);

(2)若f′(x)≥ax+2-2cosx(a∈R)對?x∈[-π,+∞)恒成立,求a的值.

18.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a1=1,Sn+1-2Sn=1(n∈N*).

(1)求數(shù)列{an}的通項公式;

(1)求橢圓Γ的方程;

參考答案

1.由題意得A={x|-2

故選A

3.若a=λb,則a與b共線,可知充分性成立;

若a與b共線,例如a≠0,b=0,則a=λb不成立,可知必要性不成立;

所以“a=λb”是“a與b共線”的充分不必要條件.

故選A.

4.因為函數(shù)f(x)=(x+a-2)(x2+a-1)為奇函數(shù),所以f(0)=0.

即(a-2)(a-1)=0.即a=2或a=1.

顯然函數(shù)f(x)=(x+a-2)(x2+a-1)的定義域為R關(guān)于原點對稱,且當(dāng)a=2時,f(x)=x(x2+1).

從而有f(-x)=-x(x2+1)=-f(x).

當(dāng)a=1時,有f(x)=x2(x-1),但f(-1)=-2≠-f(1)=0,所以a=2,即f(x)=x(x2+1).

所以f(a)=f(2)=2×(22+1)=10.

故選D.

圖4 第5題解析圖

|PF2|=|F1F2|.

即3c4+2a2c2-a4≥0.

故選D.

6.由圓C:(x+1)2+(y-1)2=2,

解得k=1.此時l:y=x.

解得a=±2.此時l:x+y±2=0.

綜上,如圖5,共有3條滿足條件的直線l.

圖5 第6題解析圖

故選C

7.由OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5=A5A6=A6A7=A7A8=…=2,

故選C.

故選B.

9.對于A,相關(guān)系數(shù)|r|≤1,且|r|越接近于1,相關(guān)程度越大,反之兩個變量的線性相關(guān)性越弱,當(dāng)-1≤r<0時,線性相關(guān)系數(shù)r越大,|r|則越小,線性相關(guān)性越弱,故選項A錯誤;

對于C:因為χ2=3.937>3.841=x0.05,所以有95%的把握可判斷分類變量X與Y有關(guān)聯(lián),此推斷犯錯誤的概率不大于0.05,故選項C正確;

故選BCD.

10.由題意可設(shè)f(t)=abt(ab≠0),

故A正確,B錯誤.

由于log32∈(0,1),故排氣24分鐘后,人可以安全進入車庫,則C錯誤,D正確.

故選AD.

11.因為f(x)=(x2-x+1)ex定義域為R,且f′(x)=(x2+x)ex=x(x+1)ex,

令f′(x)>0,解得x<-1或x>0.

令f′(x)<0,解得-1

所以f(x)在(-∞,-1),(0,+∞)上單調(diào)遞增,在(-1,0)上單調(diào)遞減.

則f(x)在x=-1處取得極大值,在x=0處取得極小值,即f(x)有兩個極值點,故A正確;

又f(1)=e,f′(1)=2e,所以f(x)在x=1處的切線方程為y-e=2e(x-1),即y=2ex-e,故B正確;

因為f(-1)=3e-1>1,f(0)=1,f(1)=e,所以f(x)在[-1,1]上的值域為[1,e],故C錯誤;

方程f(x)=a的解,即為y=f(x)與y=a的交點的橫坐標.

所以f(x)=(x2-x+1)ex>0恒成立.

所以當(dāng)a≤0時,y=f(x)與y=a沒有交點,故D錯誤;

故選AB

13.因為三棱錐A-BCD的三條側(cè)棱AB,AC,AD兩兩互相垂直,所以將三棱錐補成如圖6所示的長方體,則長方體的體對角線等于三棱錐外接球的直徑.

圖6 第13題解析圖

因為三棱錐外接球的表面積為25π,

所以AB2+AD2+AC2=(2R)2=25.

即3+6+AC2=(2R)2=25,解得AC=4.

又0°

所以∠A=60°.

圖7 第16題解析圖

設(shè)平面C1EF的一個法向量為n=(x,y,z),

令x=1,則n=(1,-1,0).

又因為BD1?平面C1EF,

所以BD1∥平面C1EF.

所以點A1到平面C1EF的距離為

設(shè)直線A1M與平面C1EF所成角為θ,

化簡,得x2-35x+34=0.

則x=1或x=34(舍去).

即存在點M符合題意,此時BM=1.

又ex<1,所以f′(x)<0.

綜上所述,f(x)在[-π,x0)上單調(diào)遞增,在(x0,0)上單調(diào)遞減,在[0,+∞)上單調(diào)遞增.

所以f(x)在[-π,+∞)上僅有2個極值點.

(2)當(dāng)x≥-π時,f′(x)≥ax+2-2cosx(a∈R)恒成立,即ex+sinx+cosx-ax-2≥0(a∈R).

令φ(x)=ex+cosx+sinx-ax-2,

若φ(x)≥0對?x∈[-π,+∞)恒成立,

由φ(0)=e0+cos0-2=0,φ(x)≥0=φ(0),

所以當(dāng)x=0時,φ(x)取得最小值.

由φ′(x)=ex-sinx+cosx-a,則x=0為函數(shù)φ(x)的極小值點,故φ′(0)=2-a=0,解得a=2.

下面證明:當(dāng)a=2時,x=0為函數(shù)φ(x)的最小值點.

φ′(x)=ex-sinx+cosx-2,

令h(x)=ex-sinx+cosx-2,

則h′(x)=ex-cosx-sinx=f(x).

由(1)可知,f(x)在[-π,x0)上單調(diào)遞增,在(x0,0)上單調(diào)遞減,在[0,+∞)上單調(diào)遞增.

又f(-π)=e-π+1>0,且f(0)=0,

所以當(dāng)x≥-π時,f(x)的最小值為f(0)=0,則f(x)≥0恒成立.

即h′(x)≥0在[-π,+∞)上恒成立.

所以h(x)即φ′(x)在[-π,+∞)上單調(diào)遞增.

又φ′(0)=0,所以當(dāng)-π≤x<0時,φ′(x)<0,當(dāng)x>0時,φ′(x)>0,所以函數(shù)φ(x)在[-π,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

所以φ(x)≥φ(0)=0,即ex+sinx+cosx-2x-2≥0恒成立,符合題意.

綜上所述,a=2.

18.(1)一方面:因為Sn+1-2Sn=1(n∈N*),

所以Sn+2-2Sn+1=Sn+1-2Sn=1(n∈N*).

所以Sn+2-Sn+1=2(Sn+1-Sn)(n∈N*).

即an+2=2an+1(n∈N*).

另一方面:當(dāng)n=1時,有S2-2S1=1,即a2-a1=1,且a1=1,所以此時a2=2a1.

結(jié)合以上兩方面以及等比數(shù)列的概念可知數(shù)列{an}是首項為a1=1,公比為q=2的等比數(shù)列.

故數(shù)列{an}的通項公式為an=1×2n-1=2n-1.

(2)由(1)可知an=2n-1.

又由題意

數(shù)列{bn}的前n項和為

而y1=2n+1-1關(guān)于n單調(diào)遞增,

所以當(dāng)n=1時,有

解得c=1.

(2)當(dāng)直線AB的斜率存在時,設(shè)其方程為y=kx+m,由題意知m≠0.

(2+3k2)x2+6km+3(m2-2)=0.

此時有Δ=36k2m2-12(2+3k2)(m2-2)>0,

即3k2+2>m2.

(*)

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則有

又A,C關(guān)于原點對稱,則C(-x1,-y1).

所以點C到直線AB的距離

所以△ABC的面積

整理,得3k2+2=2m2,符合(*)式.

因為3k2+2=2m2,所以m2≥1.