摘 要：目前有關(guān)圓柱結(jié)構(gòu)中的環(huán)向SH波研究僅限于實(shí)心柱體與圓柱殼體結(jié)構(gòu)。由于無法直接獲得圓柱洞體中傳播的SH表面波的解析解，對(duì)比研究了實(shí)心柱體和多種不同類型的圓柱殼體中的環(huán)向SH波，從波結(jié)構(gòu)、應(yīng)變能密度幅值分布與殼體厚度的關(guān)系討論洞體內(nèi)SH表面波的存在性。建立柱坐標(biāo)系下均勻彈性材料與功能梯度材料環(huán)向SH波的波動(dòng)方程；分別求得方程的貝塞爾函數(shù)解和冪級(jí)數(shù)漸近解；進(jìn)一步計(jì)算得到其頻散曲線、波結(jié)構(gòu)與應(yīng)變能密度幅值。結(jié)果表明：冪級(jí)數(shù)方法可用于計(jì)算圓柱型結(jié)構(gòu)中的變系數(shù)波動(dòng)方程，且具有較高的精度；圓柱型結(jié)構(gòu)中環(huán)向SH波的能量集中在外表面或次外表面，并隨著殼體厚度的增加，能量集中現(xiàn)象更為明顯；通過應(yīng)變能密度幅值分布規(guī)律推論出圓柱洞體內(nèi)表面無法傳播環(huán)向SH表面波。最后，針對(duì)均質(zhì)結(jié)構(gòu)和梯度結(jié)構(gòu)，采用反證法證明了無法得到滿足洞體內(nèi)SH表面波衰減條件的解析解，從而證明了該推論。

關(guān)鍵詞：環(huán)向SH波；貝塞爾函數(shù)；冪級(jí)數(shù)漸近解；波結(jié)構(gòu)；應(yīng)變能密度

中圖分類號(hào)：O34" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI：10.11776/j.issn.1000-4939.2024.02.012

SH waves in cylindrical structures and discussion on the nonexistence of circumferential SH surface wave in cylindrical cavities

Abstract：Considering that research of circumferential horizontal shear wave （SH wave） has been published on the solid cylinders and cylindrical shell structures，aiming to discuss the existence of SH surface waves on the cylindrical cavity.Since it is impossible to directly obtain the analytical solution of SH surface wave propagating in cylindrical cavity，we compare the tendency of wave structures，strain energy density varying along thickness of SH waves on the surface of cylinders and various cylindrical shells.The governing equation of SH wave of homogeneous elastic material and functionally graded material in cylindrical coordinate system is established.The Bessel functions solution and the power series asymptotic solution of the governing equations of homogeneous elastic materials and functionally graded materials are obtained，respectively.Furthermore，the dispersion curves，the wave structures and the strain energy density are calculated.The results show that the power series method can be employed for solving wave governing equations with variable coefficients with high accuracy，the energy of circumferential SH waves in cylindrical structures is concentrated on the outer surface or subsurface，and the phenomenon of energy concentration is more obvious along thickness.It can be deduced from the distribution of strain energy density that the circumferential SH surface wave cannot propagate in the cylindrical cavity.Finally，for homogeneous material structure and functionally graded material structure，the inverse method is used to prove that any analytical solution cannot satisfy the attenuation condition of SH surface wave in the cavity.

Key words：circumferential SH wave;bessel function;asymptotic solution of power series method；wave structure;strain energy density

隨著無損檢測(cè)與超聲器件應(yīng)用需求的增加，多種材料、不同結(jié)構(gòu)中的表面波與體波得到廣泛關(guān)注。涉及的材料類型有彈性材料［1］、壓電材料［2］、壓電壓磁材料［3］、壓電半導(dǎo)體材料［4］等；也涉及均勻材料［5］、功能梯度材料［6］；結(jié)構(gòu)包括平面［7］、圓柱［8］、球體［9］、橢圓柱［10］、雙曲柱結(jié)構(gòu)［11］等。對(duì)于圓柱殼體中的SH波，研究者相繼分析了殼體徑厚比與彈性常數(shù)對(duì)SH波頻散的影響［12-13］。不同參數(shù)對(duì)SH衰逝波［14］的影響。隨著材料技術(shù)發(fā)展，波動(dòng)問題的相關(guān)研究也由均勻材料拓展至非均勻材料。如：非均勻空心圓柱中的瞬態(tài)波［15］、非均勻壓電壓磁板和圓柱中的波［16-19］等。

然而，關(guān)于柱體結(jié)構(gòu)中的環(huán)向SH波研究僅限于實(shí)心圓柱體與空心圓柱殼。這些研究并未涉及無限厚洞體中的SH表面波傳播，僅有部分關(guān)于SH波在圓形孔洞散射的研究［20］，是方程不便于求解或者是這類波就不存在呢？文獻(xiàn)［10］針對(duì)橢圓柱殼中環(huán)向SH波，明確指出能量集中在外凸表面而非內(nèi)凹表面。如果對(duì)于均勻殼體結(jié)構(gòu)，能量也只能集中在圓柱殼體的外表面，那么對(duì)于非均勻殼體，情況又如何呢？考慮到功能梯度材料（functionally graded material，F(xiàn)GM）是非均質(zhì)材料的代表性材料，所以可以考慮模型中包含功能梯度材料，那么其層合結(jié)構(gòu)中的SH波傳播問題則具有一定的代表性。

功能梯度材料是一種組分沿某一方向連續(xù)變化的非均勻材料，根據(jù)材料組分的變化形式可分為冪律型、S律型以及指率型［21］。研究功能梯度材料中的波動(dòng)問題時(shí)，由于波動(dòng)控制方程的復(fù)雜性，很難直接求得解析解。目前求解功能梯度材料中的波動(dòng)問題，常用方法有解析方法和數(shù)值方法。常用的解析方法有Legendre級(jí)數(shù)法［22］、Wentzel-Kramers-Brillouin法［23］、特殊函數(shù)法［24］和冪級(jí)數(shù)方法［25］等。除了解析的方法，數(shù)值解法也常用于求解功能梯度材料中的波動(dòng)問題。目前常有的數(shù)值方法有傳遞矩陣法［26］、有限元方法［27-28］等。近年來，關(guān)于功能梯度材料及其結(jié)構(gòu)中的導(dǎo)波傳播得到進(jìn)一步發(fā)展。YU等［29］研究了初始應(yīng)力對(duì)FGM圓柱中軸向波特性的影響。WU等［30］則對(duì)初始受壓的FGM圓柱中的軸對(duì)稱波進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)FGM空心圓柱的內(nèi)外壓差決定導(dǎo)波的頻散。SHEN等［31］發(fā)現(xiàn)FGM圓柱殼中環(huán)向SH波的截止頻率近似于等差數(shù)列。ZHANG等［32］采用具有更高精度的模型計(jì)算了黏彈性FGM圓柱中的周向?qū)Рā?/p>

本研究采用冪級(jí)數(shù)方法，研究圓柱型結(jié)構(gòu)中環(huán)向SH波的傳播問題，基于彈性力學(xué)基本方程，得到不同圓柱結(jié)構(gòu)中均勻材料的貝塞爾函數(shù)解和功能梯度材料的冪級(jí)數(shù)漸近解。研究了圓柱結(jié)構(gòu)中環(huán)向SH波沿徑向的能量分布，從能量角度分析彈性波能否在無限厚洞體表面?zhèn)鞑サ膯栴}，以期為超聲無損檢測(cè)提供理論基礎(chǔ)。

1 基本方程

圖1為幾種典型圓柱型結(jié)構(gòu)，其中（a）～（f）分別表示均勻圓柱體、功能梯度圓柱體、均勻圓柱殼、功能梯度圓柱殼、內(nèi)漸變型圓柱殼與外漸變型圓柱殼。圖中，圓柱體半徑為R；圓柱殼體的內(nèi)外徑分別是Ra和Rb；內(nèi)、外漸變型圓柱殼的層間處半徑為R；功能梯度材料的材料參數(shù)沿徑向變化，是坐標(biāo)r的函數(shù)。設(shè)SH波沿環(huán)向傳播，柱坐標(biāo)系下位移函數(shù)表示為

ur=0，uθ=0，w=w（r，θ，t）（1）

式中，ur、uθ、w分別代表徑向、周向和軸向的位移函數(shù)。由于基本方程形式僅與材料有關(guān)，下面的推導(dǎo)中，功能梯度材料中的各類物理量不用上標(biāo)；而均勻材料中的物理量用上標(biāo)H表示。

柱坐標(biāo)系下，應(yīng)變分量與位移函數(shù)的關(guān)系可由幾何方程得到

式中，γrz和γθz分別表示r-z和θ-z方向上的剪切應(yīng)變，其余方向上的剪切應(yīng)變和正應(yīng)變均為零。

材料的本構(gòu)方程為

τrz=μγrz，τθz=μγθz（3）

式中，τrz、τθz代表兩個(gè)剪切應(yīng)力分量，其他應(yīng)力分量為零；μ是剪切模量，對(duì)于功能梯度材料，剪切模量μ為半徑r的函數(shù)，即μ=μr。

SH波在圓柱型結(jié)構(gòu)中傳播需滿足運(yùn)動(dòng)方程，即

式中，ρ是材料密度，也是半徑r的函數(shù)，即ρ=ρ（r）；基于上述位移假設(shè)，前兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程自動(dòng)滿足。

將式（2）和式（3）代入式（4）得到由位移函數(shù)表示的運(yùn)動(dòng)方程，即

如果材料為均勻材料，則運(yùn)動(dòng)方程退化為

研究圓柱型結(jié)構(gòu)中的環(huán)向SH波，位移函數(shù)除需滿足式（5）或式（6）中所示的運(yùn)動(dòng)方程，還需滿足表面應(yīng)力自由邊界條件、層間位移、應(yīng)力連續(xù)邊界條件或解的唯一性條件。對(duì)于不同圓柱型結(jié)構(gòu)所需滿足的條件不盡相同，考慮式（2）和式（3），針對(duì)圖1中的不同結(jié)構(gòu)，可分別寫出由位移表示的邊界條件、連續(xù)性條件或解的唯一性條件。

圓柱體（圖1a～b），均勻材料加上標(biāo)H

圓柱殼（圖1d～c），均勻材料加上標(biāo)H

內(nèi)漸變型圓柱殼（圖1e），外漸變型圓柱殼類似

連續(xù)性條件wr=R=wHr=R，

2 問題求解

對(duì)于功能梯度材料和均勻材料，SH波環(huán)向傳播的位移函數(shù)試探解可設(shè)為

將試探解式（7）代入式（5）和式（6），原偏微分方程可化簡為常微分方程，即式（5）簡化為

而式（6）簡化為

2.1 控制方程中位移函數(shù)的解析解

2.1.1 均勻材料中位移函數(shù)的貝塞爾函數(shù)解

式（9）是貝塞爾方程，其解為

WH（r）=C1Jα（βr）+C2Yα（βr）（10）

式中：J是第一類貝塞爾函數(shù)；Y是第二類貝塞爾函數(shù)；C1和C2是待定常數(shù)。

2.1.2 功能梯度材料圓柱體中位移函數(shù)的冪級(jí)數(shù)解

設(shè)材料參數(shù)可寫為冪級(jí)數(shù)的形式，即

如果材料參數(shù)變化規(guī)律確定，bn（1）和bn（2）可以確定。

設(shè)式（11）可以用冪級(jí)數(shù)表示，即

式中，m和an是待求解量。

將式（12）和（13）代入式（11）得到遞推方程

令n=0得到待求解量m的方程，即

b（1）0a0m2－kR2=0（15）

解之得，m=kR。

對(duì)比遞推方程中rn+m的系數(shù)，得到?jīng)Q定an的遞推級(jí)數(shù)方程，即

式中：a－1、a－2都為0；a0為待定常數(shù)。由于式（16）中，an的遞推關(guān)系為線性關(guān)系，因此可以先對(duì)a0賦值為1，然后由遞推關(guān)系計(jì)算其他系數(shù)。

式（13）可等價(jià)為

式中，C1為待定常數(shù)。對(duì)于其他n值，an由式（16）確定。

2.1.3 功能梯度材料圓柱殼中位移函數(shù)冪級(jí)數(shù)解

設(shè)材料參數(shù)可寫為冪級(jí)數(shù)的形式，即

如果材料參數(shù)變化規(guī)律確定，b（3）n和b（4）n可以確定。

設(shè)式（18）的解也可用冪級(jí)數(shù)表示，即

將式（19）和式（20）代入式（18）中得到遞推級(jí)數(shù)方程，對(duì)比遞推級(jí)數(shù)方程中rn的系數(shù)，得到?jīng)Q定an的遞推級(jí)數(shù)方程

式中：a－1、a－2都為0；a0、a1為待定常數(shù)。

由于式（21）中，an的遞推關(guān)系為線性關(guān)系，為了求解遞推級(jí)數(shù)方程中的待定常數(shù)，建立如下矩陣。

［a0j，a1j］=I（22）

式中：j=1，2；I為2×2的單位矩陣，則式（20）可等價(jià)為

式中，C1、C2是待定常數(shù)。當(dāng)n=0和n=1時(shí)，anj由式

（22）確定；對(duì)于其他的n值，anj由式（21）確定。

2.2 不同結(jié)構(gòu)中環(huán)向SH波的頻散方程

將不同結(jié)構(gòu)中位移函數(shù)的解析解代入相應(yīng)的邊界條件中，由Ci的系數(shù)矩陣行列式為0，即可得出相應(yīng)的頻散方程，即波數(shù)k與頻率ω的關(guān)系。

2.2.1 均勻圓柱體

均勻圓柱體中波動(dòng)控制方程的解為式（10）。第二類貝塞爾函數(shù)在r=0時(shí)是發(fā)散的，由解的唯一性條件得到C2=0，由此得到

得到頻散方程為

Jα－1（βR）－Jα+1

（βR）=0（25）

對(duì)于洞體情況，其中一個(gè)邊界條件是衰減條件，即r→Symbole時(shí)，位移為零。但由該邊界條件無法得到兩個(gè)待定常數(shù)C1和C2的關(guān)系，因此無法找到滿足無窮遠(yuǎn)處衰減條件的貝塞爾函數(shù)解。

2.2.2 功能梯度圓柱體

功能梯度圓柱體中波動(dòng)控制方程的解為式（17），由此得到頻散方程，即

2.2.3 均勻圓柱殼

均勻圓柱殼中波動(dòng)控制方程的解為式（10），令殼體外徑R=Rb，內(nèi)徑為Ra，由此得到

則頻散方程為

Qij=0，i=1，2，j=1，2（28）

式中

2.2.4 功能梯度圓柱殼

功能梯度圓柱殼中波動(dòng)控制方程的解為式（23），令殼體外徑R=Rb，內(nèi)徑為Ra，由此得到

得到頻散方程

2.2.5 內(nèi)漸變型圓柱殼

內(nèi)漸變型圓柱殼中內(nèi)層波動(dòng)控制方程的解為式（23），外層波動(dòng)控制方程的解為式（10），令殼體外徑R=Rb，內(nèi)徑為Ra，殼體的層間處半徑為R，由此得到

則頻散方程為

Qij=0，i=1，4，j=1，4（32）

其中

其他項(xiàng)數(shù)為0。外漸變型圓柱殼的頻散方程與內(nèi)漸變型圓柱殼的類似，這里不再贅述。

3 數(shù)值算例及分析

3.1 材料參數(shù)

選用陶瓷和鉻作為均勻彈性材料。陶瓷的材料參數(shù)為ρH1=3900kg/m3，μH1=118.11GPa；鉻的材料參數(shù)為：ρH2=7190kg/m3，μH2=102.5GPa［33］。

設(shè)功能梯度材料由陶瓷和鉻復(fù)合而成，材料的體積分?jǐn)?shù)沿徑向變化，參數(shù)變化滿足

式中：v1+v2=1，v3+v4=1，g（1）（r）和g（2）（r）分別為FGM圓柱體和FGM圓柱殼的材料參數(shù)；g1和g2分別為陶瓷和鉻的材料參數(shù)；v1、v2表示體積分?jǐn)?shù)。

本研究的數(shù)值算例中設(shè)

3.2 冪級(jí)數(shù)方法與解析解對(duì)比

對(duì)于均勻圓柱體和圓柱殼體中環(huán)向傳播的SH波，均可以得到波動(dòng)控制方程的解析解。將解析解和冪級(jí)數(shù)漸近解的頻散曲線結(jié)果進(jìn)行比較。圖2（a）給出了半徑為1m的均勻陶瓷圓柱體前兩階模態(tài)的相速度頻散曲線。圖2（b）給出了內(nèi)徑為0.998m，外徑為1m的均勻陶瓷圓柱殼體前兩階相速度頻散曲線。從圖2中可以看到，采用冪級(jí)數(shù)漸近方法和解析解法求得的相速度曲線結(jié)果相同，從而驗(yàn)證了冪級(jí)數(shù)漸近方法的正確性。

3.3 相速度頻散曲線

計(jì)算圓柱型結(jié)構(gòu)中環(huán)向SH波前兩階相速度頻散曲線，圓柱體與圓柱殼體的尺寸不變，內(nèi)漸變型圓柱殼和外漸變型圓柱殼的內(nèi)外徑分別取為0.996m和1m，層間半徑為0.998m。

由圖3可知：功能梯度圓柱體的相速度低于兩個(gè)相應(yīng)的均勻圓柱體的相速度；功能梯度圓柱殼的相速度則位于兩個(gè)相應(yīng)的均勻圓柱殼的相速度之間；內(nèi)漸變型圓柱殼的相速度與內(nèi)層陶瓷、外層鉻的圓柱殼的相速度逐漸趨于一致；外漸變型圓柱殼的相速度則要大于內(nèi)層陶瓷、外層鉻的圓柱殼的相速度。

3.4 位移幅值

下面討論環(huán)向SH波沿徑向的位移幅值分布。圓柱體半徑為1m；圓柱殼內(nèi)徑為0.95m，外徑為1m；內(nèi)、外漸變圓柱殼的內(nèi)徑為0.996m，外徑為1m，層間半徑為0.998m。計(jì)算結(jié)果如圖4所示，其中W0為圓柱型結(jié)構(gòu)外徑的位移幅值。從圖4（a）、（b）、（d）、（e）可以看出，圓柱型結(jié)構(gòu)中環(huán)向SH波第一階模態(tài)的位移幅值沿徑向從內(nèi)到外逐漸增大，并且隨著波數(shù)的增大，內(nèi)外兩側(cè)的位移幅值的差值也增大。從圖4（c）看出，環(huán)向SH波第二階模態(tài)的位移幅值則在外表面附近達(dá)到極值，隨著波數(shù)的增大，極值越發(fā)向外表面靠近。也就是位移幅值更集中在圓柱型結(jié)構(gòu)的外表面或次外表面。

為了討論位移幅值與結(jié)構(gòu)尺寸的關(guān)系，計(jì)算內(nèi)徑為0.95m，外徑為1.01m的圓柱殼環(huán)向SH波的位移幅值分布，結(jié)果如圖4（f）、（g）所示，并與（b）、（c）進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)隨著厚度的增加，環(huán)向SH波的位移幅值集中在外表面或次外表面的現(xiàn)象更加明顯。綜上推斷SH波的能量集中在圓柱結(jié)構(gòu)的外表面或次外表面。

3.5 應(yīng)變能密度幅值

前面從位移幅值的角度討論了圓柱型結(jié)構(gòu)中環(huán)向SH波的能量分布情況，得出了能量集中在結(jié)構(gòu)外表面或次外表面的推斷，下面從應(yīng)變能密度幅值的角度出發(fā)，分析圓柱結(jié)構(gòu)的能量分布。依據(jù)彈性力學(xué)的應(yīng)變能密度公式

可以求得各圓柱型結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能密度幅值，采用與計(jì)算位移幅值時(shí)相同的結(jié)構(gòu)尺寸。計(jì)算結(jié)果如圖5所示，其中W0為圓柱型結(jié)構(gòu)外徑的應(yīng)變能密度幅值。由圖5（a）、（b）、（d）、（e）可知，與位移幅值相似，圓柱型結(jié)構(gòu)環(huán)向SH波第一階模態(tài)的應(yīng)變能密度幅值集中在結(jié)構(gòu)的外表面，且隨著波數(shù)的增加，這種集中現(xiàn)象更為明顯。由圖5（c）看出，環(huán)向SH波第二階模態(tài)應(yīng)變能密度幅值在圓柱殼的次外表面取得極值，并且隨著波數(shù)的增大，極值越靠近外表面。

對(duì)比不同厚度的圓柱殼，由圖5（b）、（c）、（f）、（g）可以看到，隨著圓柱殼體厚度的增加，環(huán)向SH波第一階和第二階模態(tài)應(yīng)變能密度幅值向圓柱殼體的外表面集中的現(xiàn)象越明顯。所得結(jié)果與前面推測(cè)的環(huán)向SH波的能量分布是相符的。

4 解的不存在性證明

柱坐標(biāo)系下，環(huán)向傳播的SH波場(chǎng)控制方程為式（9），可采用反證法證明滿足無限厚洞體內(nèi)表面波傳播的解的不存在。

假設(shè)解存在，則需滿足衰減條件

r→Symbole時(shí)，WH→0

采用坐標(biāo)變換的方法，令x=1/r，場(chǎng)控制方程（9）變?yōu)?/p>

顯然，當(dāng)r→Symbole時(shí)，即x→0時(shí)，WH必須是小量，式（35）的前兩項(xiàng)與－α2x2WH均是WH的高階小量，而僅有β2WH是WH的同階小量，方程（35）滿足。必須要求β2=0，顯然不成立，因此假設(shè)不成立，方程無滿足衰減條件的解。

同理，采用該坐標(biāo)變換方法，對(duì)于功能梯度材料無限厚洞體，控制方程為式（8），可以改寫為

同樣對(duì)比小量的階數(shù)，可以得到滿足衰減條件的解不存在。

另外，對(duì)于層合結(jié)構(gòu)的無限厚洞體，無論內(nèi)表面是何種材料，假設(shè)有SH環(huán)向表面波在洞體內(nèi)表面?zhèn)鞑?，最外層（某一厚度處至無窮遠(yuǎn)處）通常簡化為均勻材料或功能梯度材料。依據(jù)上述證明過程同樣可以證明無法找到滿足衰減條件的解。因此可以得到無限厚洞體內(nèi)表面無法傳播環(huán)向SH表面波。

5 結(jié) 論

對(duì)于功能梯度實(shí)心圓柱體與殼體結(jié)構(gòu)中環(huán)向SH波傳播問題，均可以采用冪級(jí)數(shù)方法求得其漸近解析解，但由于邊界條件不同，兩者的冪級(jí)數(shù)解形式上有差異。通過與均勻材料相同結(jié)構(gòu)中的環(huán)向SH波傳播的貝塞爾函數(shù)解進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了冪級(jí)數(shù)方法的精確性。進(jìn)一步計(jì)算幾種典型殼體結(jié)構(gòu)的波結(jié)構(gòu)與應(yīng)變能密度，對(duì)比分析發(fā)現(xiàn)：環(huán)向SH波的能量集中在殼體結(jié)構(gòu)的外表面或次外表面。當(dāng)殼體厚度不變，波數(shù)越大，或者波數(shù)不變而殼體厚度增加，能量集中現(xiàn)象越明顯。對(duì)于無限厚圓柱洞體，可以視作厚度無窮大的殼體，而洞體無窮遠(yuǎn)處的能量為零，與能量集中的外表面或次外表面的現(xiàn)象不符，所以推斷圓柱洞體表面無法傳播SH波。最后，從數(shù)學(xué)上嚴(yán)格證明了無法找到滿足無窮遠(yuǎn)處衰減條件的控制方程的解，與本研究能量分析的結(jié)論一致。

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