摘要：文章針對大跨度斜拉橋的索力優(yōu)化問題，提出了一種基于Kriging-NSGA-Ⅱ 的多目標(biāo)索力優(yōu)化方法。以Kriging回歸算法為基本模型建立了大跨度斜拉橋的結(jié)構(gòu)代理模型，采用基于強(qiáng)度的非支配排序和動態(tài)交叉變異算子改進(jìn)NASA-Ⅱ 算法，求解考慮主梁彎曲應(yīng)變和撓度雙目標(biāo)控制下的索力優(yōu)化問題，并以某大跨度斜拉橋為工程背景驗證了該方法的可行性。研究結(jié)果表明：Kriging模型對結(jié)構(gòu)響應(yīng)面的擬合良好；改進(jìn)NSGA-Ⅱ 算法可以實現(xiàn)對雙目標(biāo)索力優(yōu)化問題的求解；優(yōu)化后主梁彎曲應(yīng)力和撓度得到明顯改善。

關(guān)鍵詞：斜拉橋；索力優(yōu)化；克里金模型；第二代非支配排序遺傳算法；動態(tài)交叉變異

中圖分類號：U448.27

0 引言

斜拉橋是特大型橋梁的典型結(jié)構(gòu)形式之一，憑借其合理的受力形態(tài)、較強(qiáng)的跨越能力和優(yōu)美的外形被廣泛建設(shè)于河流航道之中。斜拉索作為斜拉橋最直接的傳力構(gòu)件之一，合理索力的確定是保證主梁滿足正常使用條件的關(guān)鍵。為此，許多專家學(xué)者針對大跨度斜拉橋最優(yōu)索力的確定展開了一系列的探索與研究。覃木寶等［1］提出了一種基于改進(jìn)海鷗優(yōu)化算法聯(lián)合支持向量機(jī)的斜拉橋索力優(yōu)化方法，并從支持向量機(jī)的擬合精度、斜拉橋的成橋響應(yīng)等方面驗證了該方法的優(yōu)越性。占玉林等［2］建立了異形斜拉橋的響應(yīng)面模型，并采用粒子群算法對異形斜拉橋的索力展開了優(yōu)化。馬廣［3］將索力、應(yīng)力和位移作為主要約束條件，通過罰函數(shù)形式建立了鋼桁架斜拉橋的無約束優(yōu)化模型，設(shè)計了一套混合算法對其進(jìn)行求解。方有亮等［4］根據(jù)動態(tài)規(guī)劃方法研究了其在斜拉橋索力優(yōu)化問題中的可行性?？悼龋?］針對混合梁斜拉橋的索力優(yōu)化問題，提出了信息共享后群算法的求解方法。此外，還有其他一些學(xué)者通過不同算法對斜拉橋索力優(yōu)化問題展開研究［6-8］。

從上述相關(guān)研究可知，采用智能優(yōu)化算法對斜拉橋索力進(jìn)行優(yōu)化求解是一種行之有效的方法，基于此，本文提出了聯(lián)合Kriging模型和改進(jìn)NSGA-Ⅱ算法的斜拉橋索力求解方法，采用Kriging模型擬合結(jié)構(gòu)響應(yīng)面，通過改進(jìn)NSGA-Ⅱ算法對考慮彎曲應(yīng)變和主梁撓度的索力優(yōu)化模型進(jìn)行求解，研究成果可為索力優(yōu)化相關(guān)問題提供一定的參考。

1 工程背景與有限元模型

某大跨度雙塔雙索面鋼箱梁斜拉橋跨徑組合為（182+450+182） m，主梁鋼箱梁采用Q345qD鋼材，橋塔采用C50混凝土。全橋共計136根斜拉索，沿中跨跨中呈對稱分布，單側(cè)橋塔單索面為34根斜拉索，其中單側(cè)邊跨布置17根（L1～L17），單側(cè)中跨布置17根（L18～L34）。橋型布置圖如圖1所示。

采用有限元軟件建立橋梁的結(jié)構(gòu)有限元模型，其中主梁采用梁單元，橋塔采用實體單元，斜拉索采用桁架桿系單元。全橋有限元模型如圖2所示。

2 基于Kriging的斜拉橋響應(yīng)面模型的建立

2.1 Kriging模型原理

Kriging模型是一種基于協(xié)方差函數(shù)對隨機(jī)變量和目標(biāo)變量之間的映射關(guān)系進(jìn)行學(xué)習(xí)擬合的機(jī)器學(xué)習(xí)統(tǒng)計算法，在有限區(qū)域內(nèi)對變量進(jìn)行無偏估計，以此求得未知點變量值。由于Kriging模型局部擬合估計的特點，在非線性問題的處理上具有一定的優(yōu)勢。Kriging模型本質(zhì)上基于樣本插值算法，假設(shè)已知樣本點周圍存在一組待估計樣本點，Kriging模型可根據(jù)已知樣本對函數(shù)值進(jìn)行線性加權(quán)，如式（1）所示：

2.2 大跨度斜拉橋Kriging響應(yīng)面的建立

基于Kriging模型建立大跨度斜拉橋的結(jié)構(gòu)響應(yīng)代理模型。具體流程如下。

步驟1：生成初始輸入變量樣本。選取影響大跨度斜拉橋結(jié)構(gòu)響應(yīng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)作為Kriging模型的隨機(jī)變量［9］，根據(jù)大跨度斜拉橋的結(jié)構(gòu)受力特性，本文選取拱肋面積、吊桿面積、主梁面積、主梁慣性矩和外部荷載作為隨機(jī)變量，各隨機(jī)變量參數(shù)特性如表1所示。

步驟2：形成隨機(jī)變量與響應(yīng)變量的樣本集。采用DPS均勻試驗設(shè)計生成初始輸入變量數(shù)據(jù)樣本U*100，基于有限元模型對輸入樣本進(jìn)行確定性分析，得到對應(yīng)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)變量，形成輸入變量與響應(yīng)變量組成的樣本集。

步驟3：構(gòu)建結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)功能函數(shù)。以正常使用極限狀態(tài)為條件，根據(jù)主梁允許的最大撓度作為控制指標(biāo)實現(xiàn)大跨度斜拉橋的撓度控制，建立該大跨度斜拉橋的極限狀態(tài)函數(shù)如式（5）所示：

步驟4：響應(yīng)面擬合。采用Kriging回歸模型對響應(yīng)面進(jìn)行學(xué)習(xí)擬合，得到大跨度斜拉橋結(jié)構(gòu)代理模型。

步驟5：模型精度驗證。采用有限元模型計算同一工況下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)結(jié)果，判斷Kriging模型是否滿足精度要求，若不滿足則重新對樣本集進(jìn)行擬合，若滿足則得到滿足精度要求的結(jié)構(gòu)代理模型。

如圖3所示給出了基于Kriging回歸模型的10個檢驗點擬合結(jié)果。從圖3中可以看出，Kriging模型對結(jié)構(gòu)隨機(jī)變量與響應(yīng)之間的擬合精度較高，可以準(zhǔn)確反映結(jié)構(gòu)的隨機(jī)變量與響應(yīng)之間的非線性關(guān)系。

3 基于Kriging-NSGA-Ⅱ 的索力優(yōu)化模型

3.1 改進(jìn)的NSGA-Ⅱ算法

大跨度斜拉橋的索力優(yōu)化是一個典型的多目標(biāo)優(yōu)化問題，且該問題存在高度非線性、高維復(fù)雜性等特點。為實現(xiàn)斜拉橋索力的最優(yōu)求解，本文引入第二代非支配排序遺傳算法（NSGA-Ⅱ）對該優(yōu)化問題進(jìn)行求解。NSGA-Ⅱ是一種以遺傳算法結(jié)構(gòu)為基本原理的多目標(biāo)優(yōu)化算法，解決了傳統(tǒng)NSGA一代算法中計算效率低下、參數(shù)主觀性強(qiáng)等缺點，提高了算法解決高維優(yōu)化問題的魯棒性。對于實際工程問題，NSGA-Ⅱ算法在交叉變異和支配排序等策略方面仍有必要做出針對性的改進(jìn)，因此本文引入了動態(tài)交叉變異機(jī)制和基于支配強(qiáng)度的排序策略對基本NSGA-Ⅱ算法提出改進(jìn)。

傳統(tǒng)遺傳算法中交叉率和變異率為定值，難以根據(jù)染色體種群收斂情況進(jìn)行調(diào)整，本文引入一種基于迭代時間動態(tài)變化的交叉變異算子對其進(jìn)行改進(jìn)，采用基于迭代步動態(tài)交叉變異算子理論上可以提升種群生成優(yōu)異后代的概率，提高算法收斂效率和收斂精度，其表達(dá)式如式（6）所示：

NSGA-Ⅱ算法中對于種群采取的非支配排序方式存在一定的局限性，易造成較多偽支配解的產(chǎn)生。為避免這一現(xiàn)象，提升解集質(zhì)量，本文引入一種基于支配強(qiáng)度的快速排序方法對NSGA-Ⅱ算法的非支配排序方式進(jìn)行改進(jìn)，定義支配強(qiáng)度為η，其表達(dá)式如式（7）所示［10］：

基于Kriging-NSGA-Ⅱ的索力優(yōu)化流程如下：

步驟1：初始化種群。采用二進(jìn)制編碼將斜拉橋索力編譯為染色體種群，初始化染色體種群，形成關(guān)于索力的初始解集合。

步驟2：基于強(qiáng)度的非支配排序。根據(jù)式（7）計算種群強(qiáng)度，按照非支配排序原理對解集進(jìn)行排序，分為若干個不同強(qiáng)度的非支配等級。

步驟3：計算解集擁擠度。計算每個解集的擁擠度指標(biāo)，采用二元錦標(biāo)賽選擇法選擇用于交叉與變異的個體。

步驟4：交叉與變異。根據(jù)式（6）對個體進(jìn)行交叉與變異操作得到新的子代染色體個體，形成新的候選解。

步驟5：更新與迭代。將新一代解集與當(dāng)前解集合并，重新進(jìn)行步驟2、3，生成新的種群，判斷算法是否達(dá)到終止條件，若達(dá)到則輸出最優(yōu)解集，若未達(dá)到則進(jìn)行步驟4，進(jìn)行下一輪迭代進(jìn)化。

4 結(jié)果分析

基于Kriging-NSGA-Ⅱ?qū)Ρ疚闹兴憷こ踢M(jìn)行索力優(yōu)化。NSGA-Ⅱ初始種群規(guī)模設(shè)為30，最大進(jìn)化代數(shù)為100，交叉率最大、最小值分別取0.9、0.6，變異率最大、最小值分別取0.01、0.001。如圖4所示給出了30、60和100代迭代后的NSGA-Ⅱ算法Pareto前沿。從圖4可以看出，100代后改進(jìn)NSGA-Ⅱ的種群收斂情況良好，所有候選解基本收斂至Pareto最優(yōu)前沿，選取Pareto前沿上的協(xié)調(diào)最優(yōu)解進(jìn)行分析，得到滿足兩目標(biāo)函數(shù)控制條件的索力向量。

選取Pareto前沿上的協(xié)調(diào)最優(yōu)解進(jìn)行分析，如圖5所示給出了優(yōu)化前后的右側(cè)橋塔的索力值。從圖5可以看出，基于Kriging-NSGA-Ⅱ算法優(yōu)化后的索力值與原優(yōu)化前索力存在一定的差異，除邊跨L1索力存在較大降幅外，其余各索力均有不同程度的提升，總體索力均存在一定程度的提升，尤其是靠近中跨跨中側(cè)，索力提升幅度更為明顯。

如圖6所示給出了主梁截面彎曲應(yīng)力優(yōu)化前后的結(jié)果。從圖6可以看出，靠近橋塔側(cè)彎曲應(yīng)力優(yōu)化效果一般，但邊跨跨中與中跨跨中處彎曲應(yīng)力優(yōu)化結(jié)果較為明顯，最大彎曲應(yīng)力降幅出現(xiàn)在邊跨跨中處，約為28%，證明了該目標(biāo)函數(shù)對主梁彎曲應(yīng)變控制的有效性。

如圖7所示給出了主梁撓度的優(yōu)化結(jié)果。從圖7可以看出，由于跨中索力的提升，主梁邊跨和中跨跨中撓度得到明顯改善，中跨跨中處最大撓度由116 mm降低至90 mm，降幅約22.4%。其余各節(jié)段撓度均存在不同程度的降低，整體線形更加合理，證明了撓度控制目標(biāo)函數(shù)對主梁撓度控制的有效性。

5 結(jié)語

為解決大跨度斜拉橋考慮主梁彎曲應(yīng)變和撓度下的索力優(yōu)化問題，提出了一種基于Kriging模型擬合結(jié)構(gòu)響應(yīng)面，同時聯(lián)合改進(jìn)NSGA-Ⅱ算法的索力優(yōu)化方法，以某大跨度斜拉橋?qū)嶋H工程為例，求解了以主梁彎曲應(yīng)變能和撓度為目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)索力組合，得到結(jié)論如下：

（1）提出了基于Kriging回歸的大跨度斜拉橋結(jié)構(gòu)代理模型建立方法，根據(jù)10個測試樣本的擬合結(jié)果，Kriging模型可以較好地擬合結(jié)構(gòu)隨機(jī)變量與響應(yīng)之間的關(guān)系。

（2）提出了一種基于改進(jìn)NSGA-Ⅱ算法聯(lián)合Kriging的大跨度斜拉橋索力優(yōu)化方法，建立了考慮彎曲應(yīng)變和撓度控制的斜拉橋索力優(yōu)化模型，改進(jìn)NSGA-Ⅱ算法對于斜拉橋索力優(yōu)化問題具有良好的適應(yīng)性，100代種群基本收斂至Pareto前沿。

（3）除L1邊索外，優(yōu)化后的索力相較于原索力均存在不同程度的提升，主梁邊跨和中跨跨中處彎曲應(yīng)力和撓度均得到明顯下降，彎曲應(yīng)力降幅約為28%，撓度降幅約為22.4%，驗證了該方法的可行性。

參考文獻(xiàn)

［1］覃木寶，王 華，王龍林.基于改進(jìn)海鷗算法優(yōu)化支持向量機(jī)的斜拉橋索力優(yōu)化研究［J］.森林工程，2023（4）：160-169.

［2］占玉林，侯之瑤，邵俊虎，等.基于響應(yīng)面法及粒子群算法的異形斜拉橋索力優(yōu)化［J］.橋梁建設(shè)，202 52（3）：16-23.

［3］馬 廣.基于混合遺傳算法的四線鋼桁斜拉橋索力優(yōu)化研究［J］.鐵道標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計，2020，64（S1）：85-89.

［4］方有亮，武 錚，張 穎.動態(tài)規(guī)劃方法在斜拉橋模型索力優(yōu)化中的應(yīng)用［J］.科學(xué)技術(shù)與工程，2020，20（29）：12 131-12 136.

［5］康俊濤，齊凱凱，張亞州.基于信息共享猴群算法的混合梁斜拉橋索力優(yōu)化［J］.公路工程，2020，45（3）：1-7，28.

［6］王俊海，劉來君，任 翔.基于改進(jìn)帝國競爭算法的大跨斜拉橋成橋索力優(yōu)化［J］.江蘇大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2019，40（1）：94-101.

［7］陳志軍，劉 洋，楊立飛，等.基于粒子群優(yōu)化算法的獨塔斜拉橋成橋索力優(yōu)化［J］.橋梁建設(shè)，2016，46（3）：40-44.

［8］張玉平，劉雪松，李傳習(xí).基于MOPSO算法的斜拉橋索力優(yōu)化分析［J］.土木與環(huán)境工程學(xué)報（中英文），2020，42（2）：107-114.

［9］崔鳳坤，王虎軍，徐 岳，等.基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和粒子群算法的大跨度斜拉橋可靠度分析［J］.合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2016，39（8）：1 103-1 109.

［10］李 山，權(quán) 文，蘇力德，等.基于改進(jìn)NSGA-Ⅱ算法的雙運(yùn)輸機(jī)重裝空投研究［J］.電光與控制，2023，30（10）：40-45.

收稿日期：2023-10-18

作者簡介：楊冬梅（1988—），工程師，主要從事高速公路工程項目施工管理和質(zhì)量檢測管理工作。