摘 要：本文首先將支架式教學(xué)的理論基礎(chǔ)及波利亞《怎樣解題》的解題思想進(jìn)行闡述。然后以一道往年的數(shù)列高考題為例，通過問題支架式解題與波利亞解題法相結(jié)合的方式，將兩者的相通之處更加清晰地展現(xiàn)出來。最后，得出相應(yīng)結(jié)論，以期為新高考改革下的數(shù)學(xué)教師提供解題教學(xué)的方法或思路。

關(guān)鍵詞：問題支架式解題;波利亞解題法;解題教學(xué)

中圖分類號(hào)：G633.6" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A" 文章編號(hào)：1673-260X（2024）02-0098-04

“雖然有鑰匙串，不知開哪把鎖，審題茫茫然，做題空落落”，這是當(dāng)前大多數(shù)高中生都會(huì)遇到的攔路虎。可見解題教學(xué)的重要性。解題不僅僅是為了做對(duì)一道題，更多的是為了鞏固對(duì)知識(shí)的理解，積累解題經(jīng)驗(yàn)，強(qiáng)化解題方法，發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，掌握解題策略，形成解題意識(shí)，培養(yǎng)堅(jiān)忍不拔、鍥而不舍的意志品質(zhì)。在最新的高考命題原則九中提到，“小口切入，深入挖掘，小中見大，思維穿透”。即學(xué)生要能排除干擾，小中見大，透過表面現(xiàn)象，從本質(zhì)上去認(rèn)識(shí)問題、分析問題、解決問題。這就需要學(xué)生在尋找問題中的關(guān)鍵信息時(shí)有極強(qiáng)的敏銳性，在認(rèn)識(shí)問題和分析問題時(shí)多加投入精力，為解決問題打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，確保取得初步勝利才是結(jié)果勝利的關(guān)鍵[1]。由此，問題解決的每一個(gè)步驟都是至關(guān)重要的。

本文以一道往年的數(shù)列高考題為例，通過問題支架式解題與波利亞解題法相結(jié)合的方式，將兩者的相通之處更加清晰地展現(xiàn)出來。在這過程中以學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)為依據(jù)，搭建恰當(dāng)?shù)膯栴}支架來實(shí)施教學(xué)活動(dòng)，凸顯出問題支架式解題與波利亞解題法對(duì)于解題教學(xué)的重要性，以期為新高考改革下的數(shù)學(xué)教師提供一些解題教學(xué)的教學(xué)方法或思路。

1 理論概述

1.1 支架式教學(xué)的理論基礎(chǔ)

1.1.1 基本定義

“支架”一詞最初也稱其“腳手架”，與建筑行業(yè)用來建房子時(shí)所搭建的暫時(shí)性的支持工具一致，這種支持在過程中發(fā)揮自己最大的價(jià)值，也隨著使用的結(jié)束而被撤掉[2]。在教學(xué)中的支架，我們將其稱之為“支架式教學(xué)”?，F(xiàn)在對(duì)其進(jìn)行解釋就是教師充當(dāng)學(xué)生建構(gòu)自己知識(shí)層次、深度的支架，使得學(xué)生不斷地提升、加固自己，構(gòu)建出更高的水平;教師的作用就是支持、引導(dǎo)、協(xié)助，是促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)建構(gòu)的幫助者。“問題式支架”是對(duì)學(xué)生解決問題和知識(shí)意義建構(gòu)起輔助作用的問題鏈。即以問題鏈的形式為學(xué)生的探究學(xué)習(xí)提供適當(dāng)?shù)木€索或提示作為支架，以其橋梁和紐帶的作用來促進(jìn)學(xué)生積極思考，解決“新”問題。

1.1.2 建構(gòu)主義理論

建構(gòu)主義理論一詞源于皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論，主張個(gè)體的認(rèn)知發(fā)展與過程有著密切的聯(lián)系[3]。其中，建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)觀強(qiáng)調(diào)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)建構(gòu)過程。每一位學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)水平及其效果均有很大的差異，也反映出學(xué)習(xí)者對(duì)知識(shí)建構(gòu)的方式不同。因此，教師在教學(xué)過程中要注意學(xué)生的意義建構(gòu)，讓學(xué)生在一定的情境中進(jìn)行學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)將知識(shí)應(yīng)用到具體的問題情境中。支架式教學(xué)是在建構(gòu)主義理論的基礎(chǔ)上所發(fā)展起來的一種教學(xué)模式，可以在一定的情境下依靠支架進(jìn)行意義建構(gòu)，將問題逐層分解、降低難度，更便于學(xué)習(xí)者達(dá)到自我建構(gòu)的目的。

1.1.3 最近發(fā)展區(qū)

最近發(fā)展區(qū)一詞是維果斯基所提出來的，解釋為實(shí)際的發(fā)展水平和潛在的發(fā)展水平之間的差距[4]。即學(xué)生目前所掌握的知識(shí)與要求掌握的知識(shí)之間的這一段差距就是最近發(fā)展區(qū)。為了使這一段差距縮小，教師就要為學(xué)生去搭建支架，幫助學(xué)生去建立新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，隨著學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的不斷調(diào)整，教師所搭建的支架也要隨之撤掉。所以我們可以發(fā)現(xiàn)，最近發(fā)展區(qū)并不是一成不變的，它是根據(jù)學(xué)生的掌握情況來改變支架進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的。

1.2 波利亞《怎樣解題》的解題思想

《怎樣解題》這本書中的中心思想是在解題的過程中如何創(chuàng)設(shè)合適的問題情境去激發(fā)學(xué)生的靈感，讓學(xué)生應(yīng)當(dāng)掌握將錯(cuò)綜復(fù)雜的問題進(jìn)行分解的技能，以提升其自主思考和解決問題的能力。從宏觀視角分析其解題思想，就是在尋找和發(fā)現(xiàn)整個(gè)解題過程中隱含的“慢動(dòng)作鏡頭”，因此我們可以清晰地感知解題的整個(gè)過程。從微觀視角來分析，波利亞解題思想闡述了八種解題思維方式：動(dòng)員與組織，辨認(rèn)與回憶，充實(shí)與重組，分離與組合。首先我們通過審題，尋找到已知信息，動(dòng)員我們記憶中相關(guān)的公式定理等來充實(shí)并重新組合已知信息建立一定的聯(lián)系。進(jìn)一步將復(fù)雜的問題分解為簡單的小問題，將其得到的一個(gè)個(gè)結(jié)論重新整合，最后得到想要的求解過程?？梢娺@八個(gè)思維方式是共同構(gòu)成一個(gè)連貫的過程，而非孤立存在。

波利亞解題法是基于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)搭建適宜的支架，以問題支架為基點(diǎn)，調(diào)動(dòng)學(xué)生的現(xiàn)有知識(shí)儲(chǔ)備，從而引導(dǎo)學(xué)生遷移并回顧知識(shí)，能夠與舊識(shí)產(chǎn)生聯(lián)系，形成知識(shí)的意義建構(gòu)，獲取問題的解決方案。

2 實(shí)例分析

數(shù)列是高考的“寵兒”，在以往的高考試題中，數(shù)列專題的考查一定是不可或缺的[5]。通?？疾榍蠼鈹?shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和等。

2.1 問題呈現(xiàn)

例題（2022年全國新高考Ⅰ卷第17題）：記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1=1，

是公差為的等差數(shù)列。

（1）求{an}的通項(xiàng)公式（2）證明：++…+lt;2

問題分析：本題以學(xué)生熟悉的等差數(shù)列表達(dá)形式入手，重基礎(chǔ)而不落俗套，有創(chuàng)新但不求復(fù)雜，著重考查學(xué)生分析問題解決問題的能力。

2.2 題意分析，理解題目

為了更好地引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的解題思路、策略及其方法，可以通過設(shè)計(jì)如下幾個(gè)問題支架借以幫助學(xué)生審題。

支架一：問題所涉及的前提條件和待解決的難題分別為哪些[6]？支架二：題中都有哪些關(guān)鍵信息呢？所給的關(guān)鍵信息意義何在呢？它們之間又產(chǎn)生哪些關(guān)聯(lián)呢？支架三：是否能夠用簡潔的符號(hào)、可視化的圖形和表格等工具表示出已知元素和未知元素或繪制出一張草圖以展示問題的全貌或大致脈絡(luò)？支架四：題中給出的關(guān)鍵信息、關(guān)系，能否在舊知中找到相關(guān)聯(lián)的知識(shí)點(diǎn)？就本題而言，條件有：（1）Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和;（2）數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1;（3）

是公差為的等差數(shù)列。結(jié)論有：（1）數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;（2）++…+lt;2。關(guān)鍵信息有：

是公差為的等差數(shù)列，可借助等差數(shù)列的公式得出

的通項(xiàng)公式，并借助公式Sn-Sn-1=an得到所求的{an}的通項(xiàng)公式，同時(shí)也為第二小問重新構(gòu)造了另外一個(gè)數(shù)列與常數(shù)進(jìn)行比較大小。

問題支架價(jià)值分析：理解題目是解題最基礎(chǔ)的環(huán)節(jié)[7]。必須學(xué)會(huì)審題，從題意中挖掘出關(guān)鍵信息，將這些關(guān)鍵信息與認(rèn)知中已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)相聯(lián)系，判清好題型，才能夠有正確的解題思路，得出解題路徑。設(shè)計(jì)問題支架旨在引導(dǎo)學(xué)生在解題前應(yīng)如何審題，促進(jìn)學(xué)生的深度思考，將題中的已知條件和未知條件建立聯(lián)系，從而更好地為接下來的擬定解題方案夯實(shí)根基。

2.3 策略探究，擬定方案

在探究問題的過程中，必須精心設(shè)計(jì)出恰當(dāng)?shù)膯栴}支撐結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系舊知，將其遇到的“新”問題劃歸為“舊”問題。

支架一：曾遇到過類似的問題嗎？或者曾遇到過相同的問題，但它們的數(shù)據(jù)和形式略有不同嗎？支架二：能否尋找出題中你認(rèn)為相對(duì)熟悉的內(nèi)容，將其與熟悉的題型聯(lián)系起來，并嘗試運(yùn)用已掌握的知識(shí)來解決問題？支架三：能否嘗試將標(biāo)題轉(zhuǎn)換為其他的表述方式，或者將其進(jìn)行轉(zhuǎn)換為含義相同但形式簡單、易于理解并解決的題目？如若無法做到上述轉(zhuǎn)化，則相關(guān)的解題方法可以進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化嗎？支架四：將結(jié)論的求解目標(biāo)分解為若干個(gè)子目標(biāo)，看這些子目標(biāo)是否能夠找到一種熟悉的解決方案，以解決當(dāng)前所面臨的問題。

2.3.1 聯(lián)系舊知

第一問：題中的關(guān)鍵信息為

是公差為的等差數(shù)列?？梢月?lián)想到2020年浙江卷第20題：已知數(shù)列{an}，{bn}，{cn}中，a1=b1=c1=1，cn=an+1-an，an+1=·cn，n∈N*。（1）若數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且公比qgt;0，且b1+b2=6b3，求q與an的通項(xiàng)公式;（2）若數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且公差dgt;0，證明：c1+c2+…+cn=1+，n∈N*。

第二問：題中的關(guān)鍵信息為在第一問得到的通項(xiàng)公式基礎(chǔ)上重新構(gòu)造了另外一個(gè)數(shù)列與常數(shù)進(jìn)行比較大小。可以聯(lián)想到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法時(shí)在課本中見到的一道題：若數(shù)列，，，…，，…的前n項(xiàng)和為Sn，計(jì)算S1，S2，S3，由此推測(cè)計(jì)算Sn的公式，并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。

2.3.2 新舊對(duì)比

第一問：這兩題進(jìn)行對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)浙江卷給出的第二問與全國卷給出的第一問是同一種題型。“新”問題的條件為：

是公差為的等差數(shù)列;“舊”問題的條件為cn=an+1-an，cn+1=·cn，{bn}為等差數(shù)列。乍然一看似乎毫無關(guān)系，實(shí)則背后蘊(yùn)含的本質(zhì)相同。

第二問：“新”問題是通過得到數(shù)列

的前n項(xiàng)和進(jìn)而與常數(shù)進(jìn)行比較;而“舊”問題則是通過所示數(shù)列求解其前n項(xiàng)和。在求解前n項(xiàng)和時(shí)，兩者均展現(xiàn)出了裂項(xiàng)相消法的典型特點(diǎn)。

2.3.3 方法轉(zhuǎn)化

第一問：“舊”問題將其條件化為=，進(jìn)而再運(yùn)用累乘法求出cn的表達(dá)式;通過觀察“新”問題發(fā)現(xiàn)，“舊”問題中所用的解題方法內(nèi)在邏輯也可應(yīng)用到“新”問題的求解中，即此就有可能將“新”問題解題方法類比轉(zhuǎn)化為“舊”問題解題方法。

第二問：“舊”問題將其條件化為-，將第一問得出的數(shù)列{an}的各項(xiàng)代入到數(shù)列

中，可以非常清晰地發(fā)現(xiàn)與我們所熟知的“舊”問題解題方法有著異曲同工之妙，即“新”問題解題方法就有可能類比轉(zhuǎn)化為“舊”問題解題方法。

2.3.4 策略分析

第一問：“舊”問題中，通過題中已知條件cn+1=·cn得到=，進(jìn)而再運(yùn)用累乘法求出cn的表達(dá)式;“新”問題中，根據(jù)條件可得到數(shù)列

的通項(xiàng)公式，即可得到n，an，Sn三者之間的關(guān)系;接下來通過分類討論n的情況得出n，an-1，Sn-1的關(guān)系，聯(lián)立方程組得到n，an，an-1三者之間的關(guān)系，利用累乘法得到an的通項(xiàng)公式。至此將“新”問題的解題方法轉(zhuǎn)化為“舊”問題的解題方法[8]。

第二問：將第一問得出的數(shù)列{an}的各項(xiàng)代入到數(shù)列

中之后得到=，可以非常輕易地聯(lián)想到“舊”問題中的數(shù)列規(guī)律，即裂項(xiàng)相消的顯著特征。由此將“新”問題的解題方式轉(zhuǎn)換為“舊”問題的解題方式，從而實(shí)現(xiàn)了問題的有效解決。

問題支架價(jià)值分析：擬定方案是解題最關(guān)鍵的環(huán)節(jié)[9]。熟悉的問題，學(xué)生可以很快地理清思路，將已知條件與結(jié)論進(jìn)行有效銜接，從而得出解題思路;對(duì)于不熟悉的問題，學(xué)生需要放慢速度，認(rèn)真觀察已知條件及問題，在頭腦中設(shè)計(jì)一個(gè)解題思路進(jìn)行更進(jìn)一步的推算，將問題進(jìn)行分解，認(rèn)真思考每一步推算。即在厘清問題的因果關(guān)系后，學(xué)生的思路會(huì)更加清晰，思維更為敏捷，也使執(zhí)行方案這一環(huán)節(jié)的操作更有指向性和有效性。

2.4 問題解決，執(zhí)行方案

當(dāng)明晰解題思路后，可設(shè)計(jì)如下問題支架。支架一：是否根據(jù)解題方案予以執(zhí)行？每一步驟都有進(jìn)行細(xì)心檢查嗎？支架二：所進(jìn)行的每一步驟都是正確的嗎？能否證明它就是正確的呢？結(jié)合本題可以設(shè)計(jì)如下解題方案。

（1）第一問：由已知可知：==1，則=1+=，即3Sn=（n+2）an①則當(dāng)n≥2時(shí)，3Sn-1=（n+1）an-1，②由①-②，則當(dāng)n≥2時(shí)，3an=（n+2）an-（n+1）an-1即（n-1）an=（n+1）an-1，得=（n≥2），則當(dāng)n≥2時(shí)，an=·…··a1=·…··1=，當(dāng)n=1時(shí)，a1=1符合上式，則{an}的通項(xiàng)公式為an=。

（2）第二問：==-。因此，++…+=（-）+（-）+…+（-）=2-lt;2。

問題支架價(jià)值分析：執(zhí)行方案是解題最重要的環(huán)節(jié)，也是擬定方案的延伸[10]。如果方案擬定得完善，那么執(zhí)行方案只需要一些機(jī)械性的計(jì)算。相反，如果方案擬定得不夠完善，學(xué)生就需要重新上一步的擬定方案，由此反復(fù)[11，12]。通過上述的問題支架逐步由因索果，整個(gè)問題得以解決，也將檢驗(yàn)步驟融合其中，一舉兩得。

2.5 解題完畢，回顧反思

當(dāng)問題得以解決后，可設(shè)計(jì)以下問題支架促進(jìn)學(xué)生反思。支架一：在解決此問題的過程中，我們采用了哪些解題技巧、策略和規(guī)律呢？是何等奇妙的思維方式所孕育而生呢？我們?cè)撛鯓尤ネ黄七@些難點(diǎn)呢？在解決問題的全過程中，我們面臨著哪些阻礙呢？克服這一問題，我們需要采用哪些有效的措施呢？支架二：除了你所用的這種方法外，還有其他解題方法嗎？有更加簡便的方法嗎？這些方法有何共通之處呢？支架三：對(duì)于題目進(jìn)行細(xì)致分析，能否將其進(jìn)行推廣？支架四：能否總結(jié)這類題的規(guī)律？在哪些題目中仍可以利用此方法、結(jié)果？

問題支架價(jià)值分析：回顧反思是解題最發(fā)散思維的環(huán)節(jié)。在對(duì)整個(gè)解題思路進(jìn)行回顧反思時(shí)，學(xué)生要學(xué)會(huì)知識(shí)的遷移，總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn)，完善學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)。上述的問題支架可以幫助學(xué)生內(nèi)化知識(shí)及積累經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生又會(huì)對(duì)問題進(jìn)行再一次的剖析、總結(jié)、評(píng)價(jià)等，產(chǎn)生新的認(rèn)識(shí)及理解，從而提高學(xué)生的解題能力，養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣。

3 結(jié)語

通過案例我們可以發(fā)現(xiàn)，將波利亞解題與問題支架式解題相結(jié)合，既能體現(xiàn)以教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體的教學(xué)模式，又能在教師問題情境的引導(dǎo)下培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立解決問題的能力，從而養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣。教師在進(jìn)行解題教學(xué)時(shí)，應(yīng)在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)搭建出最適宜的支架，設(shè)計(jì)出恰當(dāng)?shù)膯栴}鏈，引導(dǎo)學(xué)生形成知識(shí)的意義建構(gòu)，去體會(huì)知識(shí)與問題間的聯(lián)系，讓學(xué)生親歷解題的過程。并非只是單純地模仿，讓學(xué)生自己將知識(shí)和問題聯(lián)系起來，才能真正掌握知識(shí)。這不僅有利于新舊知識(shí)相互促進(jìn)學(xué)習(xí)遷移，而且也可以將復(fù)雜的問題進(jìn)行分解，根據(jù)解題四步驟框架進(jìn)行問題支架式解題，使學(xué)生觸類旁通。

將支架式教學(xué)與波利亞的解題模型相結(jié)合不僅可以提高教學(xué)質(zhì)量，而且可以提高教學(xué)效率，是教師在解題教學(xué)方面應(yīng)重視的方向，讓學(xué)生在獨(dú)自解決“新”問題時(shí)可以通過自行搭建問題支架，尋找出相應(yīng)的解題思路，這才是教師在進(jìn)行解題教學(xué)時(shí)理應(yīng)完成的任務(wù)，也是不可或缺的使命。

參考文獻(xiàn)：

〔1〕波利亞.怎樣解題 數(shù)學(xué)思維的新方法[M].涂泓，馮承天譯.上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2011.

〔2〕劉曉晴.初中二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題的解題策略與教學(xué)研究[D].廣州：廣州大學(xué)，2023.

〔3〕鄭蓮香，祖毓慧.建構(gòu)主義“支架式教學(xué)”探索與實(shí)踐[J].長江大學(xué)學(xué)報(bào)（社會(huì)科學(xué)版），2010，33（02）：276-277.

〔4〕楚伶.支架式教學(xué)在對(duì)數(shù)函數(shù)解題教學(xué)中的應(yīng)用研究[J].教育教學(xué)論壇，2021，12（38）：123-127.

〔5〕劉校星.基于波利亞解題理論的高考數(shù)列問題解題策略研究[D].寧波：寧波大學(xué)，2019.

〔6〕黃耀芬.波利亞“怎樣解題表”在對(duì)數(shù)函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用[D].廣州：廣州大學(xué)，2018.

〔7〕楊麗霞.波利亞與“怎樣解題”[J].中國校外教育，2014，8（05）：105.

〔8〕鐘新冬.問題引導(dǎo) 巧搭支架——以“等差數(shù)列”解題教學(xué)為例[J].數(shù)理化解題研究，2023，27（21）：11-13.

〔9〕張曉婷.新課改背景下支架式教學(xué)在普通高中數(shù)學(xué)課堂中的應(yīng)用[D].大連：遼寧師范大學(xué)，2023.

〔10〕李輝.例談波利亞解題模型在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用[J].語數(shù)外學(xué)習(xí)（高中版上旬），2021， 37（05）：55.

〔11〕張超.借助波利亞“怎樣解題表” 助學(xué)生走出解題探究困境[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2011，33（33）：17-18+25.

〔12〕陳霞.建構(gòu)不同的支架，提升初中生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2021，43（04）：84-85.

收稿日期：2023-10-24

通訊作者：薛穎（1970-），女，內(nèi)蒙古赤峰人，本科，教授，碩士研究生導(dǎo)師，研究方向：遠(yuǎn)程教育學(xué)和教學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)。

基金項(xiàng)目：內(nèi)蒙古自治區(qū)2023年研究生精品課程建設(shè)項(xiàng)目（JP20231061）