? 江蘇省南通市通州區(qū)平潮初級(jí)中學(xué) 錢云華

1 教學(xué)背景

1.1 教學(xué)分析

在本課教學(xué)前,學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了用尺規(guī)作線段、作角的基本方法,具備一定的操作經(jīng)驗(yàn).不過(guò)以上基本作圖的方法分散于不同的章節(jié),影響知識(shí)的系統(tǒng)化建構(gòu),使得學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力還比較欠缺.另外,因受“講授式”教學(xué)模式的影響,學(xué)生作圖時(shí)大多依賴于模仿,對(duì)“為什么這樣做”的理解還不夠深入.在本節(jié)課中,教師從學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā),帶領(lǐng)學(xué)生深度挖掘問(wèn)題的本質(zhì),讓學(xué)生在掌握尺規(guī)作圖基本方法的同時(shí),明晰尺規(guī)作圖的原理,初步建立尺規(guī)作圖的知識(shí)體系,逐漸將感性認(rèn)識(shí)上升至理性認(rèn)識(shí).

1.2 教學(xué)目標(biāo)

(1)會(huì)用尺規(guī)作已知角的平分線,并證明作法的正確性;

(2)會(huì)用尺規(guī)過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線,并證明作法的正確性;

(3)通過(guò)比較探索不同作圖方法,掌握知識(shí)與方法的聯(lián)系和本質(zhì),優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu),培養(yǎng)創(chuàng)新能力.

1.3 教學(xué)重難點(diǎn)

理解并掌握作已知角的平分線和過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線的方法及原理,并能證明其正確性.

2 教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 回顧舊知,明晰原理

問(wèn)題1回憶利用尺規(guī)作角、作線段的過(guò)程,回答以下問(wèn)題:

(1)作圖中,直尺和圓規(guī)各起到什么作用?

(2)按照以上方法操作,為什么所作的兩個(gè)角相等呢?

(3)你還能用其他方法作一個(gè)角與已知角相等嗎?

師生活動(dòng):教師預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作,回顧作一條線段與已知線段相等及一個(gè)角與已知角相等的基本步驟,并結(jié)合以上操作過(guò)程理解尺規(guī)作圖的本質(zhì).對(duì)于問(wèn)題(1),通過(guò)分析易于發(fā)現(xiàn)用直尺可以作直線、線段、射線,其作圖原理為兩點(diǎn)確定一條直線;用圓規(guī)可以作圓弧,其作圖原理為半徑相等.通過(guò)分析直尺和圓規(guī)的功能,為接下來(lái)自主探究作圖方法奠基.在探索問(wèn)題(2)時(shí),教師讓學(xué)生口述作圖過(guò)程,并展示圖1,根據(jù)三邊相等易證△MON≌△PEQ,從而得到∠E=∠O.充分思考與交流之后,教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行歸納總結(jié),從而明晰作一個(gè)角等于已知角的基本思路是構(gòu)造全等三角形,可以通過(guò)截取相等線段來(lái)實(shí)現(xiàn).

圖1

在探索問(wèn)題(3)時(shí),教師引導(dǎo)學(xué)生思考:如何用一副三角板作與已知角相等的角?讓學(xué)生得出如圖2所示的圖形,由此得到作與已知角相等的角的又一方法,即通過(guò)平行得到角相等的信息,如作DE∥AB,DF∥AC,可得∠D=∠A.

圖2

教學(xué)說(shuō)明：教師結(jié)合教學(xué)內(nèi)容精心設(shè)計(jì)問(wèn)題,通過(guò)對(duì)知識(shí)的再分析幫助學(xué)生跳出淺層的認(rèn)知,讓學(xué)生不僅知道怎么做,還知道為什么這么做,明晰知識(shí)背后的方法和原理,從而為接下來(lái)自主探究活動(dòng)的開(kāi)展奠定基礎(chǔ).

2.2 自主探究,拓寬思路

問(wèn)題2如何作已知角的平分線?

(1)結(jié)合已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn),自主探索作已知角的平分線的方法.

(2)作任意角的平分線,并加以證明.

(3)合作交流,探索其他作已知角的平分線的方法.

師生活動(dòng):教學(xué)中,教師首先預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生自主探究,然后進(jìn)行師生互動(dòng)交流.結(jié)合作線段的原理不難發(fā)現(xiàn),只要用尺規(guī)確定一點(diǎn),即可作出角平分線.在探索過(guò)程中,教師引導(dǎo)學(xué)生反向思考.如圖3,設(shè)OP是∠AOB的角平分線,即∠AOP=∠BOP,結(jié)合“作一個(gè)角等于已知角”的經(jīng)驗(yàn),嘗試構(gòu)造全等三角形.基于此,只要利用圓規(guī)截相等的線段OC=OD,然后作線段PC=PD,即可找到點(diǎn)P.可見(jiàn),結(jié)合“作一個(gè)角等于已知角”的經(jīng)驗(yàn)及“作一條線段等于已知線段”的方法,即可作出已知角的平分線.結(jié)合探索問(wèn)題(1)的經(jīng)驗(yàn),學(xué)生易于理解和掌握作已知角的平分線的方法(如圖4).同時(shí),通過(guò)經(jīng)歷以上自主探究的過(guò)程,學(xué)生明晰作角平分線的基本思路為構(gòu)造全等三角形.這樣,學(xué)生可以輕松地理解“這樣作圖為什么相等”,使證明變得更加輕松、自然.在探索問(wèn)題(3)的過(guò)程中,教師要充分發(fā)揮集體優(yōu)勢(shì),鼓勵(lì)學(xué)生合作探究,以此拓寬學(xué)生的視野,幫助學(xué)生積累作圖經(jīng)驗(yàn).在教師的啟發(fā)與指導(dǎo)下,學(xué)生通過(guò)合作探究得出了其他三種作圖方法.

圖3

圖4

教學(xué)說(shuō)明：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)不斷積累、不斷發(fā)展的過(guò)程.教學(xué)中,教師不要急于將結(jié)果呈現(xiàn)給學(xué)生,應(yīng)預(yù)留充足的時(shí)間讓學(xué)生思考與交流,借助已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn),尋找解決新問(wèn)題的思路與方法.在探索作已知角的平分線的過(guò)程中,教師引導(dǎo)學(xué)生利用假設(shè)法,逐步分析問(wèn)題解決所需的條件,發(fā)現(xiàn)通過(guò)構(gòu)造全等三角形可以解決問(wèn)題.對(duì)于構(gòu)造全等三角形,教師并不滿足單一方法,而是預(yù)留充足的時(shí)間讓學(xué)生思考探索,并交流展示,結(jié)合已有的作圖經(jīng)驗(yàn)尋找多種構(gòu)造方法,以此幫助學(xué)生積累豐富的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).同時(shí),通過(guò)多角度分析,引導(dǎo)學(xué)生摸索解決問(wèn)題的思路與方法,有利于揭示問(wèn)題的本質(zhì),提升學(xué)生的思維品質(zhì).教學(xué)的目的不是簡(jiǎn)單地解決問(wèn)題,而是要引導(dǎo)學(xué)生透過(guò)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì),掌握解決問(wèn)題的方法.在日常教學(xué)中,教師要充分發(fā)揮其啟發(fā)者和組織者的作用,通過(guò)創(chuàng)設(shè)合理的問(wèn)題情境來(lái)激發(fā)學(xué)生的好奇心和探究欲,引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)積極嘗試,不斷開(kāi)拓,以此成就更多精彩.

2.3 引導(dǎo)思考,歸納創(chuàng)新

問(wèn)題3過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線.

(1)在已知直線上任取一點(diǎn),過(guò)該點(diǎn)作已知直線的垂線.

(2)過(guò)直線外一點(diǎn),作已知直線的垂線,并證明其正確性.

(3)嘗試運(yùn)用不同的方法過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線.

師生活動(dòng):在探索問(wèn)題(1)時(shí),教師啟發(fā)學(xué)生將該直線視為一平角,任取一點(diǎn)視為角的頂點(diǎn),于是問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為作已知平角的平分線,不過(guò)唯一不同的是,角平分線為射線,而垂線為直線.在探索問(wèn)題(2)時(shí), 過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線,同問(wèn)題(1)的原理類似,作垂線,也垂直于已知直線.為了讓學(xué)生能更加直觀、深刻地理解兩條直線為什么垂直,教師引導(dǎo)學(xué)生在圖4的基礎(chǔ)上進(jìn)一步探究,過(guò)點(diǎn)C,D作直線l,觀察直線l與射線OP的位置關(guān)系.結(jié)合證明兩個(gè)三角形全等的經(jīng)驗(yàn),易證直線l與射線OP垂直.理清證明思路后,預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生獨(dú)立證明,以此深刻理解應(yīng)用該方法作垂線的正確性.在探索問(wèn)題(3)時(shí),教師可以引導(dǎo)學(xué)生回顧作角、作線段、作垂線的思路,讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)、方法間的聯(lián)系,領(lǐng)悟問(wèn)題的本質(zhì).學(xué)生結(jié)合已有經(jīng)驗(yàn),給出了兩種不同的作圖方法.

教學(xué)說(shuō)明：教學(xué)中,教師引導(dǎo)學(xué)生從特殊情況出發(fā),視直線為一平角,進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為作平角的平分線,從而借助已有經(jīng)驗(yàn)順利解決問(wèn)題.接下來(lái),教師引導(dǎo)學(xué)生將該思路向一般推廣,歸納總結(jié)基本方法.在此基礎(chǔ)上,教師又引導(dǎo)學(xué)生回顧已有的作圖方法及相關(guān)經(jīng)驗(yàn),繼續(xù)探尋其他作圖方案,以此突破原有的思維限制,形成新的解題思路,培養(yǎng)思維的靈活性和變通性.

3 教學(xué)思考

在數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師應(yīng)認(rèn)真研究教材、研究學(xué)生,掌握學(xué)生的現(xiàn)有水平,進(jìn)而以學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”為出發(fā)點(diǎn),結(jié)合有效的問(wèn)題為已有認(rèn)知與新知架橋鋪路,讓學(xué)生通過(guò)自主探究與合作交流發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的有效路徑,提高自主學(xué)習(xí)和合作學(xué)習(xí)能力.

另外,教師應(yīng)重視引導(dǎo)學(xué)生挖掘問(wèn)題的本質(zhì),讓學(xué)生獲得深層次的理解,以此有效規(guī)避簡(jiǎn)單的模仿與套用,提高數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用能力.在數(shù)學(xué)教學(xué)中,如果僅將學(xué)習(xí)當(dāng)作一種技能,學(xué)習(xí)中勢(shì)必會(huì)出現(xiàn)重復(fù)訓(xùn)練,這樣很容易固化學(xué)生的思維,影響學(xué)生自主探究能力和創(chuàng)新能力的提升.因此,教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生挖掘問(wèn)題的本質(zhì),抓住解決問(wèn)題的關(guān)鍵,以此實(shí)現(xiàn)知識(shí)的融會(huì)貫通,提高創(chuàng)新能力.

總之,在數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師應(yīng)預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生去思考、去操作、去探究,幫助學(xué)生厘清問(wèn)題解決背后的原理與本質(zhì),發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的一般規(guī)律與方法,以此提高分析和解決問(wèn)題的能力.Z