白舸

本節(jié)課從現(xiàn)實(shí)需求出發(fā)，帶領(lǐng)學(xué)生親歷數(shù)的產(chǎn)生與發(fā)展歷程，嘗試從數(shù)學(xué)歷史、動(dòng)手操作、理性驗(yàn)證、計(jì)算機(jī)輔助等方面引導(dǎo)學(xué)生自主探究。針對(duì)近似值的求法，使用夾逼法、二分法進(jìn)行求解，并設(shè)計(jì)算法、編寫(xiě)程序、驗(yàn)證結(jié)論，對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行了詳細(xì)闡述，體現(xiàn)了信息技術(shù)在數(shù)學(xué)方面的重要應(yīng)用。

環(huán)節(jié)一：初識(shí)無(wú)理數(shù)

先讓學(xué)生觀看視頻，了解《九章算術(shù)》中的開(kāi)方術(shù)問(wèn)題，感知無(wú)理數(shù)。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)《九章算術(shù)》中的開(kāi)方術(shù)讓學(xué)生感受到我國(guó)古代數(shù)學(xué)在世界上處于遙遙領(lǐng)先的地位，幫助學(xué)生了解和感悟中華民族獨(dú)特的數(shù)學(xué)智慧，增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感。

然后，讓學(xué)生動(dòng)手操作，初步探知無(wú)理數(shù)。選擇兩個(gè)面積為1的小正方形，讓學(xué)生嘗試拼成一個(gè)面積為2的大正方形，探究小正方形與大正方形的邊長(zhǎng)。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)上面問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生對(duì)核心問(wèn)題“面積為2的正方形的邊長(zhǎng)是多少”進(jìn)行思考。實(shí)現(xiàn)了問(wèn)題對(duì)探究的引領(lǐng)和思維的啟迪。

環(huán)節(jié)二：對(duì)無(wú)理數(shù)的認(rèn)識(shí)

任務(wù)一是思考面積為2的正方形的邊長(zhǎng)a是不是整數(shù)。學(xué)生從特殊整數(shù)入手，逐個(gè)驗(yàn)證，可以知道1×1=1，2×2=4，面積為2的正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)該介于1和2之間，所以，a不是整數(shù)。

任務(wù)二是思考面積為2的正方形的邊長(zhǎng)a是不是分?jǐn)?shù)。仍從特殊化思考，介于1和2之間的分?jǐn)?shù)可以列舉為，，，，，…，因?yàn)椤?>2，所以，a≠；因?yàn)椤?<2，×=>2， 所以，a≠，a≠…可以大膽猜想：a不是分?jǐn)?shù)。

猜想結(jié)果不一定正確，對(duì)于結(jié)論還需要一般化理性證明：令a=（m、n是沒(méi)有公因數(shù)的整數(shù)，且n≠0），則a·a=·，又a·a=2，所以，·=2，故m·m=2n·n，所以，m為偶數(shù)。設(shè)m=2s（s是整數(shù)），則2s·2s=2n·n，2s·s=n·n，可知n也為偶數(shù)，則m、n存在公因數(shù)2，與已知相矛盾，故a≠（m、n 是沒(méi)有公因數(shù)的整數(shù)，且n≠0），所以，a不是有理數(shù)。

任務(wù)三是思考面積為2的正方形的邊長(zhǎng)a是多大的數(shù)。已知a介于1和2之間，又不是分?jǐn)?shù)，那么是1點(diǎn)幾呢？如何確定它的十分位、百分位？放手讓學(xué)生獨(dú)立思考，合作交流。學(xué)生不難想到還是要從特殊入手，因?yàn)?.4×1.4=1.96，1.5×1.5=2.25，所以，1.4＜a＜1.5。

為了計(jì)算方便，利用Excel表格，由小到大依次輸入a的不同值，利用求平方的公式代碼計(jì)算S=a2的對(duì)應(yīng)值，同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生利用計(jì)算器進(jìn)行探索，體會(huì)無(wú)限逼近的思想，然后教師與學(xué)生共同整理數(shù)據(jù)，可以得到a的近似值為1.4142…它是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，我們把這樣的數(shù)稱為無(wú)理數(shù)。

設(shè)計(jì)意圖：認(rèn)識(shí)無(wú)理數(shù)，不但需要用直觀刻畫(huà)抽象，讓學(xué)生在真實(shí)情境中認(rèn)識(shí)其客觀存在性；還需要用具體刻畫(huà)一般、近似刻畫(huà)精確，讓學(xué)生體會(huì)到有根據(jù)的數(shù)的“感覺(jué)”。

環(huán)節(jié)三：通過(guò)計(jì)算機(jī)得到無(wú)理數(shù)的近似取值

經(jīng)過(guò)上面的探究，學(xué)生已經(jīng)知道“面積為2的正方形的邊長(zhǎng)a是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)”，這個(gè)數(shù)可以用逐漸逼近的方法得到其近似值，但是“手算”計(jì)算量顯然太大，需要尋求其他解決方法。學(xué)生查閱網(wǎng)絡(luò)，學(xué)習(xí)二分法，并通過(guò)實(shí)例，闡述對(duì)二分法的理解。

教師給出任務(wù)：利用二分法思想求的近似值，給出算法程序。教師引導(dǎo)學(xué)生把以上問(wèn)題轉(zhuǎn)化成“求函數(shù)f（x）=x2-2在區(qū)間（1，2）內(nèi)的近似零點(diǎn)問(wèn)題”，剖析二分法解決本問(wèn)題的一般流程，設(shè)計(jì)程序框圖，然后教師演示編寫(xiě)計(jì)算機(jī)程序。

設(shè)計(jì)意圖：二分法在生活中有相當(dāng)廣泛的應(yīng)用，如線路的排查、猜數(shù)游戲等。這些生活中的例子并不難理解，但是把其抽象成數(shù)學(xué)算法，進(jìn)而變成計(jì)算機(jī)可以理解的程序語(yǔ)言對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是難點(diǎn)。為此，教師要給學(xué)生充分的時(shí)間和空間進(jìn)行學(xué)習(xí)和討論，同時(shí)教師還要起到引領(lǐng)示范作用。

齊龍新老師點(diǎn)評(píng)

本節(jié)課從初中知識(shí)入手，逐漸拓展到高中知識(shí)，以算法和編程輔助數(shù)學(xué)教學(xué)，可以提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。本節(jié)課打破了學(xué)段壁壘，著眼于學(xué)段、學(xué)科融合，將數(shù)學(xué)與信息技術(shù)巧妙地融合到一起，體現(xiàn)了跨學(xué)科的理念。

編輯 _ 于萍