王濤

在中學(xué)生物課程中，生物種群數(shù)量的增長(zhǎng)模型有兩種：基于生物種群增長(zhǎng)是否有約束因素（環(huán)境阻力），分為J型曲線增長(zhǎng)模型與S型曲線增長(zhǎng)模型。學(xué)生在高中階段學(xué)習(xí)過(guò)函數(shù)（指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)）、導(dǎo)數(shù)與積分等相關(guān)知識(shí)之后，就可以對(duì)這兩種模型作定量的研究。通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思維分析世界，發(fā)展數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。

課前導(dǎo)入任務(wù)。生物學(xué)中有的生命活動(dòng)規(guī)律具有必然確定的特征，不受外界環(huán)境的干擾；而有的則易受外界環(huán)境的影響，但也具有規(guī)律性的特點(diǎn)。為了研究這個(gè)問(wèn)題，我們進(jìn)行酵母種群的培養(yǎng)實(shí)驗(yàn)。把學(xué)生分為兩組，讓學(xué)生利用課余時(shí)間進(jìn)行培養(yǎng)實(shí)驗(yàn)，一組進(jìn)行擴(kuò)瓶實(shí)驗(yàn)研究（即將一個(gè)培養(yǎng)瓶?jī)?nèi)的酵母菌定時(shí)接種到多個(gè)培養(yǎng)瓶?jī)?nèi)進(jìn)行培養(yǎng)，培養(yǎng)空間和營(yíng)養(yǎng)物質(zhì)始終充足），另一組開展原瓶實(shí)驗(yàn)研究（即酵母菌始終在一個(gè)培養(yǎng)瓶?jī)?nèi)進(jìn)行培養(yǎng)，中間不更換培養(yǎng)液，隨著酵母菌的增長(zhǎng)，培養(yǎng)空間和營(yíng)養(yǎng)物質(zhì)有限）。兩個(gè)小組分別按照數(shù)學(xué)建模的基本過(guò)程開展研究，完成兩個(gè)問(wèn)題：兩種實(shí)驗(yàn)下菌群增長(zhǎng)模型分別是什么？為什么兩種實(shí)驗(yàn)條件得到的數(shù)學(xué)模型會(huì)有差異？哪個(gè)模型與真實(shí)世界中的種群增長(zhǎng)規(guī)律更吻合？

環(huán)節(jié)一：建立擴(kuò)瓶實(shí)驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型

任務(wù)一是依據(jù)擴(kuò)瓶實(shí)驗(yàn)所得數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模。模擬的是為酵母菌的繁殖提供理想的條件，即有足夠的生存和繁殖資源與空間，學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)過(guò)程獲得數(shù)據(jù)，并進(jìn)行整理。將數(shù)據(jù)描點(diǎn)得到散點(diǎn)圖，可以看出曲線的大致增長(zhǎng)趨勢(shì)。再提出問(wèn)題：繪制的曲線形狀與英文字母J相似，故這類增長(zhǎng)稱為J型增長(zhǎng)。那么J型增長(zhǎng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言如何表示呢？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生自己動(dòng)腦動(dòng)手，體驗(yàn)?zāi)Ｐ蜆?gòu)建的過(guò)程。通過(guò)該模型建構(gòu)，讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)建模的一般過(guò)程。

任務(wù)二是利用理論推演法建立J型增長(zhǎng)的數(shù)學(xué)模型。理論推演法需要首先建立假設(shè)：在有足夠的生存和繁殖資源與空間，在溫度、資源充足的情況下，種群可以自由生長(zhǎng)。增長(zhǎng)率為常數(shù)，記為λ，酵母菌初始數(shù)量N0=2450，根據(jù)假設(shè)，任意給定時(shí)間Δt，由種群的增長(zhǎng)率的概念得：=λ，所以=λN（t），=λN（t），由導(dǎo)數(shù)的定義可以知道N'（t）=λN（t），所以N（t）=eλt+c，又因?yàn)楫?dāng)t=0時(shí)，N0=eC=2450，所以Nt=2450·eλt。

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生將曲線圖轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達(dá)式，使學(xué)生對(duì)種群增長(zhǎng)的數(shù)學(xué)模型即曲線圖和數(shù)學(xué)公式的各自優(yōu)勢(shì)有所了解。

環(huán)節(jié)二：建立原瓶實(shí)驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型

任務(wù)一是依據(jù)原瓶實(shí)驗(yàn)所得數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模。原瓶實(shí)驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型的建立過(guò)程與擴(kuò)瓶實(shí)驗(yàn)類似。根據(jù)酵母菌種群培養(yǎng)實(shí)驗(yàn)原瓶培養(yǎng)的數(shù)據(jù)，列出酵母種群密度表。將數(shù)據(jù)描點(diǎn)得出散點(diǎn)圖，可以看出曲線的大致增長(zhǎng)趨勢(shì)，散點(diǎn)圖顯示的規(guī)律不同于擴(kuò)瓶實(shí)驗(yàn)的Ｊ型增長(zhǎng)，而是Ｓ型增長(zhǎng)。讓學(xué)生用自己的語(yǔ)言描述這條曲線，與J型增長(zhǎng)曲線進(jìn)行比較，分析造成曲線變平緩的原因，并試說(shuō)明K值代表的意義，指出在哪一時(shí)間該種群的增長(zhǎng)速率最快。

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生得出S型增長(zhǎng)的特點(diǎn)、K值的意義以及的意義。

任務(wù)二是依據(jù)理論推演法建立S型增長(zhǎng)的數(shù)學(xué)模型。理論推演法需要首先建立假設(shè)：設(shè)環(huán)境容納總量為K，當(dāng)繁殖時(shí)間為t時(shí)，菌群數(shù)為N（t），此時(shí)空間環(huán)境的剩余空間為1-。為了建立S型增長(zhǎng)曲線的數(shù)學(xué)模型，首先提出假設(shè)：增長(zhǎng)率λ（t）與種群剩余空間成正比，比例系數(shù)為λ，λ為資源充足情況下種群的增長(zhǎng)率。所以，λ（t）=λ（1-）。

根據(jù)假設(shè)，任意給定時(shí)間△t，由種群增長(zhǎng)率概念得=λ（1-），所以=λ（1-）N（t），=λ（1-）N（t），由導(dǎo)數(shù)的定義可以知道N'（t）=λ（1-）N（t）（*），該式可以看作N'（t）關(guān)于N（t）的二次函數(shù)，因?yàn)棣?0，所以當(dāng)N（t）=時(shí)，增長(zhǎng)速率的最大值為。那么滿足（*）的函數(shù)N（t）的表達(dá)式到底是什么呢？利用積分的知識(shí)可以求得N（t）=，當(dāng)t=0時(shí)，得C0=ln。

利用數(shù)學(xué)軟件，畫出N（t）=的圖像，可以看出其形狀與S的形狀相似。

設(shè)計(jì)意圖：相比而言，S型與J型數(shù)學(xué)模型探究的思路完全一樣，在教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生利用類比的思想去探究。但由于涉及導(dǎo)數(shù)與積分的相關(guān)知識(shí)，對(duì)學(xué)生的基本功要求比較高，需要教師在運(yùn)算上作適當(dāng)引導(dǎo)，確保探究順利進(jìn)行。

齊龍新老師點(diǎn)評(píng)

本節(jié)課從生物實(shí)驗(yàn)出發(fā)，在教師引領(lǐng)下進(jìn)行酵母菌種群數(shù)培養(yǎng)相關(guān)實(shí)驗(yàn)， 并記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，然后應(yīng)用數(shù)據(jù)進(jìn)行作圖，進(jìn)而對(duì)圖進(jìn)行理性分析。通過(guò)“提出問(wèn)題-作出假設(shè)-建立模型-模型的檢驗(yàn)與修正”的過(guò)程，讓學(xué)生體驗(yàn)建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，發(fā)展科學(xué)思維與科學(xué)探究的能力。用數(shù)學(xué)建模的思想研究生物學(xué)問(wèn)題，體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生“模型與建模”的科學(xué)思維的培養(yǎng)與提升，是一次很好的學(xué)科融合的教學(xué)實(shí)踐。