賈雨晴

在數(shù)學(xué)的世界中，有許多有趣而富有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題等待我們?nèi)ヌ剿骱徒鉀Q.其中，構(gòu)造等高平行線這一解題技巧為解決一次函數(shù)與三角形面積相關(guān)的問(wèn)題提供了簡(jiǎn)潔而巧妙的方法.本文中將利用構(gòu)造等高平行線的方法，通過(guò)面積相等來(lái)求解一次函數(shù)中的面積問(wèn)題，并結(jié)合具體的例題和變式來(lái)展示這種方法的應(yīng)用與效果.

1 靈感由來(lái)

原題 如圖1，直線y＝kx＋2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)P（m，m－4）在直線AB上，過(guò)點(diǎn)B的直線l經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，且M為直線l上一點(diǎn)（M不與B重合），且S△OPB＝S△OPM，求直線l的解析式．

思路分析：將A（1，0）代入解析式y(tǒng)＝kx＋2中容易得出AB的解析式，進(jìn)而將P（m，m－4）代入解析式中即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo).根據(jù)S△OPB＝S△OPM，可確定點(diǎn)M、點(diǎn)B所在的直線l與OP平行，因此可設(shè)直線l的解析式，再代入點(diǎn)B的坐標(biāo)即可求解.

解：將A（1，0）代入y=kx+2，得0=k+2，解得k=－2，則AB解析式為y=－2x+2，所以點(diǎn)B（0，2），點(diǎn)P（2，-2），因此直線OP的解析式為y=－x.由S△OPB=S△OPM，可知OP∥l.

設(shè)直線l的解析式為y=－x+b，代入B（0，2）得b=2，所以直線l的解析式為y=－x+2.

評(píng)析：利用平行線間的距離處處相等，結(jié)合面積相等確定動(dòng)點(diǎn)所在的等高線，利用等高線可以解決很多類(lèi)似的問(wèn)題.

2 問(wèn)題探究

為了更加直觀說(shuō)明使用等高線對(duì)求解此類(lèi)問(wèn)題的便捷性，以下幾個(gè)變式將原題中所給的條件一般化.

2.1 將面積相等變成面積為一個(gè)定值

分析：例1與上述原題的不同之處在于，沒(méi)有給出與△OPM面積相等的另一個(gè)三角形，而是給出了S△OPM=4，但只要求出△OPM等高線的解析式，再與直線l的解析式聯(lián)立，即可得出所求點(diǎn)M的橫坐標(biāo). 等高線的解析式比例系數(shù)與直線OP相等，但缺少原題中點(diǎn)B的坐標(biāo)作為輔助求出解析式，因此還需要求出一個(gè)輔助點(diǎn)的坐標(biāo). 輔助點(diǎn)可以是該等高線與x軸或y軸的交點(diǎn)，也可以是等高線與直線x=2（與點(diǎn)P橫坐標(biāo)相同）或直線y=－2（與點(diǎn)P縱坐標(biāo)相同）的交點(diǎn).

解：根據(jù)題意，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-2），所以直線OP：y=－x.

解得m=±4.

評(píng)析：例1解題的靈魂在于利用點(diǎn)B、點(diǎn)C、點(diǎn)D、點(diǎn)E確定等高線的解析式. 尋找這些輔助點(diǎn)的關(guān)鍵是結(jié)合已知點(diǎn)的位置和坐標(biāo)，構(gòu)造出便于計(jì)算面積的規(guī)則擺放的三角形.

這一方法適用于一次函數(shù)中與面積相關(guān)的問(wèn)題. 主要解題思路是：根據(jù)題意作出等高線，在等高線上構(gòu)造出面積相等且規(guī)則擺放的三角形；根據(jù)面積求出輔助點(diǎn)的坐標(biāo)，代入坐標(biāo)求出等高線的解析式. 規(guī)則擺放的三角形是指其中一邊與坐標(biāo)軸重合或平行的三角形（如例1中的△OPB，△OPC，△OPD，△OPE）.

2.2 將已知點(diǎn)的坐標(biāo)一般化

確定等高線解析式的過(guò)程中，輔助點(diǎn)可以是等高線與x軸或y軸的交點(diǎn)，也可以是與直線x=2或直線y=－2的交點(diǎn)，還可以是與直線x=－1或直線y=3的交點(diǎn). 這里僅以與y軸的交點(diǎn)作為輔助點(diǎn)進(jìn)行解答說(shuō)明，其余的幾種情況不再一一贅述.

3 思路應(yīng)用

利用同底等高的三角形的面積相等構(gòu)造等高線是解決一次函數(shù)中面積問(wèn)題的有效方法之一，其中利用直線平行得比例系數(shù)相同也是學(xué)生需掌握并熟練應(yīng)用的基礎(chǔ)知識(shí)，而靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)尋找輔助點(diǎn)更是解決此類(lèi)問(wèn)題的鑰匙.

參考文獻(xiàn)：

[1]左效平，丁秀清.構(gòu)造等高平行線，巧解一次函數(shù)中的等積問(wèn)題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2018（8）：49-51.