陸文昊 朱 海 由 騫

(1.喀什大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,新疆 844000;2.南通大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,江蘇 南通 226019)

高中數(shù)學(xué)問題形式多樣、涉及知識點繁雜,解題過程與方法選擇的工作量十分龐大.不少學(xué)生缺乏思維的連貫性,解題時無法解構(gòu)出最精確細(xì)小的問題步驟,疏于洞察問題呈現(xiàn)背后的原理,最終無法達(dá)成設(shè)問的目標(biāo).本文基于波利亞在其著作《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》中提出的幾何圖示法,在一道典型的圓錐曲線問題解決上加以實踐,引導(dǎo)數(shù)學(xué)思維的發(fā)生和創(chuàng)新,在過程中提升學(xué)生解題時的行為習(xí)慣和自省能力,以期在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中思維模式和解題策略的進(jìn)一步優(yōu)化.

1 例題呈現(xiàn)

(1)求雙曲線Γ的方程;

(2)過雙曲線Γ的左焦點F分別作斜率為k1,k2的兩直線l1與l2,直線l1交雙曲線Γ于A,B兩點,直線l2交雙曲線Γ于C,D兩點,設(shè)M,N分別為AB與CD的中點,若k1·k2=-1,試求△OMN與△FMN的面積之比.

2 解法探析

引例是一道圓錐曲線背景的解答題,題干所給出的條件用以引導(dǎo)第(1)問雙曲線Γ的求解,為后續(xù)計算探究做準(zhǔn)備,解答較為容易:

加以幾何圖示法對問題展開分析,梳理解題思路,繼而我們探討第(2)問△OMN與△FMN的面積之比(目標(biāo)G).目前已有的條件:雙曲線Γ的方程、左焦點F(-2,0)以及過點F的兩條互相垂直的直線l1與l2,其斜率之積k1·k2=-1(如圖1)[1].

圖1 待解決的問題

圖2 合適的相關(guān)問題

回到雙曲線Γ,M,N兩點是由l1,l2分別交Γ生成的,l1與Γ交于A,B兩點,M為AB中點;l2與Γ交于C,D兩點,N為CD中點.

如此一來,我們獲得了進(jìn)一步的成果:M,N兩點的坐標(biāo)(如圖4).我們成功地在“鴻溝”上架起了橋梁,現(xiàn)在需要聚焦在S△OMN和S△FMN的列式上.回顧高中學(xué)習(xí)階段可掌握的幾種三角形面積求法:

圖4 用同樣的方法得到另一組量

圖5 三角形面積的坐標(biāo)求法

圖6 完成目標(biāo)與計劃

3 解題反思

3.1 解構(gòu)目標(biāo),有效轉(zhuǎn)化

借助波利亞幾何圖示法,我們完成了對問題的求解——自上而下地解構(gòu)目標(biāo),自下而上地運算演繹,呈現(xiàn)出完整嚴(yán)密的解題思路(如圖7).從數(shù)學(xué)的模式觀來看,這個過程強調(diào)教師引導(dǎo)學(xué)生及時分解問題模型,將各個組成部分的次級目標(biāo)關(guān)聯(lián)到已知條件或間接可利用的性質(zhì)、定理上,隨時隨地進(jìn)行有效轉(zhuǎn)化[2],這樣才能更加有條理地分析和解決問題.

圖7 解題思路

3.2 化繁為簡,整體代換

解題時需要從數(shù)學(xué)的連續(xù)性、對稱性、美觀性等結(jié)構(gòu)性質(zhì)方面獲得啟示,且常常遇到“設(shè)而不求”的情形,運用整體代換實現(xiàn)“消元”和“降次”的效果,簡化工作量.

3.3 拓展方法,總結(jié)規(guī)律

數(shù)學(xué)教師只有鼓勵學(xué)生積極探究思考,嘗試多種方法并提供適當(dāng)?shù)闹С趾头答?才能促進(jìn)他們對數(shù)學(xué)知識的深度理解和推廣應(yīng)用.在幾何圖示法的引領(lǐng)下,學(xué)生解題時的元認(rèn)知得到完善,進(jìn)一步提升了其分析問題的眼光:解題方法是否選擇恰當(dāng)、對結(jié)果形式是否有清晰的預(yù)判、遇到阻礙能否及時調(diào)整策略等.