福建莆田市涵江區(qū)白塘中心小學(xué) （351111） 吳荔婷

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（全文簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）發(fā)布后，對于教育界來說，如何理解和貫徹其精神，是一項重要的工作?！墩n程標(biāo)準(zhǔn)》有許多亮點，筆者關(guān)注兩個方面：一是課程目標(biāo)側(cè)重于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，二是課程目標(biāo)注重彰顯數(shù)學(xué)課程的育人價值。

關(guān)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，《課程標(biāo)準(zhǔn)》強調(diào)了一致性、階段性和整體性?！墩n程標(biāo)準(zhǔn)》中，推理方面的素養(yǎng)在小學(xué)階段的主要表現(xiàn)為推理意識，強調(diào)的是“對邏輯推理過程及其意義的初步感悟”；在初中階段的主要表現(xiàn)為推理能力，強調(diào)的是“從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題或結(jié)論的能力”。顯然，從“推理意識”到“推理能力”是一個從“初步感悟”到“形成能力”的拾級而上、循序漸進(jìn)的提升過程。

另一方面，基于小學(xué)生的思維特征，運用“畫圖”這一教學(xué)策略，能讓學(xué)生的思維外顯，有助于培養(yǎng)學(xué)生的推理意識，從而發(fā)展學(xué)生的推理能力，實現(xiàn)從小學(xué)到中學(xué)數(shù)學(xué)推理能力培養(yǎng)的無縫銜接。

一、借圖認(rèn)數(shù)，滲透數(shù)學(xué)推理意識

數(shù)學(xué)作為一門研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的學(xué)科，雖然其內(nèi)容源自對現(xiàn)實世界的抽象，但對于以直觀形象思維為主的小學(xué)生來說，理解從生活到數(shù)學(xué)的抽象過程仍然具有一定的難度。為了幫助學(xué)生排除數(shù)學(xué)知識抽象性與他們思維直觀性之間的障礙，教師可以巧妙地借助畫圖這一橋梁，讓學(xué)生通過直觀的圖示，在經(jīng)歷抽象數(shù)學(xué)知識的過程中形成數(shù)學(xué)推理意識。

以人教版教材二年級下冊“1000 以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”一課為例。在教學(xué)例2 之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了例1，還通過教材中的方塊圖建立了1000以內(nèi)的計數(shù)單位的概念，也初步理解了十進(jìn)制計數(shù)法的位值原理。為了培養(yǎng)學(xué)生的推理意識，筆者沒有直接教學(xué)例2，而是首先展示了一些凌亂的小圓點，讓學(xué)生估計并猜測235 大約可以用多大范圍的小圓點表示。學(xué)生的猜測范圍各不相同，他們積極討論，課堂氣氛活躍。其中一位學(xué)生建議：“可以將這些雜亂的圓點按每列10 個或每行10 個進(jìn)行排列，一列一列或一行一行地整理好后，就可以確定235 可以用多大范圍的小圓點表示了?！痹谶@位學(xué)生的啟發(fā)下，很多學(xué)生都產(chǎn)生了準(zhǔn)確的想法。筆者讓學(xué)生使用繪圖的方式來表示235 個圓點，并相互驗證作品的正確性。最后，筆者再使用課件展示教材例2（如圖1）。

圖1 “1000以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”教材圖

筆者繼續(xù)滲透數(shù)學(xué)推理意識：“除了用這樣的有序的點子圖來表示235，還可以運用哪些方式來表示呢？”有學(xué)生提出還可以用例1 中的方塊圖來表示；有學(xué)生提出可以用小棒來表示；有學(xué)生提出可以用計數(shù)器來表示等。這樣的教學(xué)，讓學(xué)生從“胡亂地猜”到“有理地猜”，提出猜測后又畫圖驗證，從而建立對“235”這個數(shù)內(nèi)涵的正確認(rèn)知，還讓學(xué)生做到“舉一反三”，運用不同的方式來表示十進(jìn)制，實現(xiàn)了圖示與數(shù)量之間的“相互轉(zhuǎn)譯”，有效地向?qū)W生滲透了數(shù)學(xué)推理意識。

二、借圖助數(shù)，培植數(shù)學(xué)推理意識

教育部義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制組組長史寧中教授將數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的學(xué)生核心素養(yǎng)總結(jié)為“三會”，其中“會用數(shù)學(xué)思維思考現(xiàn)實世界”符合推理實質(zhì)。數(shù)學(xué)畫圖能夠?qū)⒊橄蟮摹⒖床灰姷乃季S過程進(jìn)行直觀表達(dá)，使學(xué)生的思維變得可視化，在發(fā)展學(xué)生幾何直觀這一素養(yǎng)的同時，幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)和規(guī)律，以及直觀地理解內(nèi)在的數(shù)量關(guān)系，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)推理意識的提高。

（一）運用畫圖，直觀推理并理解運算算理

長期以來，數(shù)學(xué)運算被誤認(rèn)為是一種純技能的程序化演算，重算法而輕算理的教學(xué)常常讓學(xué)生的計算正確率處于“只跌不漲”的困境，這樣教學(xué)完全偏離了數(shù)學(xué)運算真正的思維價值取向。因此，教師應(yīng)充分挖掘運算本身的價值，借助圖示這個直觀模型的支持，巧妙地引導(dǎo)學(xué)生將算式轉(zhuǎn)化為圖示。這樣，學(xué)生就能夠透過運算的表面，理解算法背后隱藏的深層數(shù)學(xué)原理，經(jīng)歷推理的過程，從而“潤物細(xì)無聲”地提高學(xué)生數(shù)學(xué)推理意識，助力小初銜接。

以人教版教材三年級上冊“分?jǐn)?shù)的簡單計算”教學(xué)為例。筆者創(chuàng)設(shè)情境引出問題，在學(xué)生列出算式“”后，放手讓學(xué)生自主嘗試計算。由于這節(jié)是分?jǐn)?shù)加減法的起始課，受前面整數(shù)加減法“外形”上的干擾，有一部分學(xué)生算出的結(jié)果是。于是筆者先通過問題“你算得的結(jié)果是嗎？”引導(dǎo)學(xué)生思考，再讓學(xué)生運用畫圖的方式進(jìn)行驗證，最后讓學(xué)生觀察如圖2 所示的教材圖。學(xué)生直觀地理解了算式“”的實質(zhì)是2 個與1 個合并，從而推理得出結(jié)果應(yīng)是3 個。然后，筆者讓學(xué)生討論問題“整數(shù)加法與分?jǐn)?shù)加法有什么共同點”，引導(dǎo)學(xué)生通過對比推理出“都是相同計數(shù)單位的累加”的結(jié)論。至此，借助圖示，同分母分?jǐn)?shù)相加的本質(zhì)深深地烙印在學(xué)生的腦海里，在破構(gòu)與重構(gòu)知識的過程中，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)推理意識。

圖2 “分?jǐn)?shù)的簡單計算”教材圖

（二）運用畫圖，直觀推理并建構(gòu)計算公式

一些課堂教學(xué)存在“重結(jié)果、輕過程”的現(xiàn)象，這也是對學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力的忽視，顯然與《課程標(biāo)準(zhǔn)》的精神相背離。另外，一些教師在教學(xué)中使用的素材已經(jīng)相對陳舊，無法使學(xué)生體會到所學(xué)數(shù)學(xué)知識、公式等在未來學(xué)習(xí)和生活中的實際應(yīng)用價值。因此，教師應(yīng)該摒棄傳統(tǒng)的“背誦公式，套用公式”的教學(xué)方式，改變教學(xué)方式，讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)公式的產(chǎn)生、推導(dǎo)和應(yīng)用的全過程，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理和數(shù)學(xué)模型思維能力。尤其是推理作為數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是一項重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，應(yīng)該引起教師的重視。

以人教版教材五年級下冊“平行四邊形的面積”的教學(xué)為例。筆者首先出示長方形花壇與平行四邊形花壇，讓學(xué)生判斷哪個花壇的面積大。學(xué)生能很快根據(jù)長方形的面積計算公式計算出長方形花壇的面積，但不知道如何計算平行四邊形花壇的面積。筆者讓學(xué)生試著猜一猜，有學(xué)生提出“平行四邊形的面積=鄰邊×鄰邊”，還有學(xué)生提出“平行四邊形的面積=底×高”。于是，筆者讓學(xué)生回憶在探究長方形面積計算公式時所用的方法，喚起學(xué)生已有知識經(jīng)驗，即長方形的面積就是面積單位的累加。學(xué)生自然而然地想到用“數(shù)格子”法來探究平行四邊形的面積。筆者出示如圖3-1 所示的平行四邊形讓學(xué)生進(jìn)行小組探究。學(xué)生探究后在班級里匯報交流。有的小組是先一行一行地將平行四邊形平移割補轉(zhuǎn)化成長方形（如圖3-2），再“數(shù)格子”求面積，得出的結(jié)果是18 格（即18 平方厘米）；有的小組是直接將左邊的三角形整體向右平移（如圖3-3），將平行四邊形割補轉(zhuǎn)化成長方形，再“數(shù)格子”求面積，得出的結(jié)果是18 格（即18 平方厘米）；有的小組是通過平移割補，將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形后，發(fā)現(xiàn)了平行四邊形的面積與長方形的面積相同，直接提出不用“數(shù)格子”，根據(jù)“平行四邊形的底和高與轉(zhuǎn)化后的長方形的長和寬相等”，推導(dǎo)得出“平行四邊形的面積=底×高”。

圖3-1

圖3-2

圖3-3

在以上的探究過程中，學(xué)生首先通過回憶長方形的面積公式的推導(dǎo)過程，類比推理出可以使用“數(shù)格子”法來推導(dǎo)平行四邊形的面積，這是一種合情推理。而在進(jìn)一步的探究過程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以通過割補法將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形，并分析平行四邊形與轉(zhuǎn)化后的長方形各元素之間的關(guān)系，從而直接推導(dǎo)出平行四邊形的面積計算公式，這是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评磉^程，體現(xiàn)邏輯推理思維。整個過程中，通過借助直觀的數(shù)學(xué)繪圖，讓推理思維可視化，有效地促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)推理素養(yǎng)的發(fā)展。

三、借圖析數(shù)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)推理能力

《課程標(biāo)準(zhǔn)》中，推理方面的素養(yǎng)在小學(xué)階段的主要表現(xiàn)為推理意識，在初中階段的主要表現(xiàn)為推理能力，如果說推理意識側(cè)重于對學(xué)生合情推理能力的培養(yǎng)，那么推理能力則是直接指向演繹推理能力的培養(yǎng)。從合情推理能力到演繹推理能力的提升，也就是從推理意識到推理能力的提升，是一個漫長、往復(fù)的過程，而只有以扎實的推理意識為基礎(chǔ)，學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力才能得到有效的培養(yǎng)?；趯W(xué)生的思維特點，小學(xué)階段更關(guān)注的是從一般到特殊的推理意識的滲透。為了實現(xiàn)小初的有效銜接，教材在小學(xué)六年級下冊編排了2 個課時，并初步滲透從特殊到一般的推理。到了初中七年級，教學(xué)也并非全然拋開“合情推理”，而是讓“合情推理”與“演繹推理”相互交融，逐步促使學(xué)生的推理能力拾級而上。因此，教師應(yīng)把握好推理能力培養(yǎng)的階段性，巧妙借助畫圖，讓學(xué)生的推理過程有“幾何直觀支架”的支撐，避免“過度拔高”“脫節(jié)”等現(xiàn)象的發(fā)生。

以人教版教材六年級下冊“數(shù)學(xué)思考”的教學(xué)為例。在教學(xué)教材中的例題時，對于例題中的圖（如圖4），如果跳過畫圖這個直觀的支撐，直接讓學(xué)生用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奈淖謥磉M(jìn)行推理，顯然是拔高了學(xué)習(xí)的難度。

圖4

基于這樣的認(rèn)識，教師應(yīng)先讓學(xué)生自主運用畫圖的方式標(biāo)注出∠1+∠2=180°和∠3+∠2=180°（如圖5），再讓學(xué)生借助圖示進(jìn)行說理。有學(xué)生提出“因為∠1 與∠2 相加的和是180°，∠3 與∠2 相加的和也是180°，所以∠1 與∠3 相等”，有的學(xué)生提出“因為∠1 與∠3 都加上相同的∠2，和都是180°，所以∠1與∠3 相等”。當(dāng)學(xué)生有一定的經(jīng)驗之后，教師再啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行嚴(yán)密的推理，學(xué)生就能順利得出結(jié)論“因為∠1+∠2=180°和∠3+∠2=180°，根據(jù)等式的性質(zhì)，得到∠1=180°-∠2，∠3=180°-∠2。又因為∠1=180°-∠2，∠3=180°-∠2，所以∠1=∠3”。這樣的畫圖輔助，能為學(xué)生進(jìn)行初步的演繹推理做好直觀上的支撐，促使學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的過程，讓學(xué)生逐步學(xué)會有理有據(jù)地進(jìn)行推理。

圖5

綜上所述，教師應(yīng)立足于學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展，準(zhǔn)確把握不同階段素養(yǎng)的培養(yǎng)方式，充分利用“畫圖”這個幾何直觀手段，最大限度地滲透和培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理意識，致力于讓學(xué)生通過不完全歸納、類比和猜想等推理方法來經(jīng)歷數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程，并適時地引入一些演繹推理的方法。這樣，學(xué)生就可以從合情推理平穩(wěn)過渡到演繹推理，實現(xiàn)從推理意識到推理能力的順利提升，從而助推學(xué)生小學(xué)和初中之間數(shù)學(xué)推理能力的無縫銜接。