江蘇如皋市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 （226500） 張婧靚

“角的度量”屬于“圖形與幾何”領(lǐng)域，主要研究“圖形的認(rèn)識(shí)和測(cè)量”，蘇教版教材將它編排于四年級(jí)上冊(cè)第八單元。對(duì)于“角”，學(xué)生在二年級(jí)已經(jīng)有了初步的認(rèn)識(shí)，能用“活動(dòng)角”直觀表征角的大小變化，能用“觀察法”直接區(qū)分差異較大的兩個(gè)角，能用“數(shù)格法”間接判斷鐘面上出現(xiàn)的角度大小，能用“重疊法”直觀比較三角尺上的角是否相等，還能以直角為基準(zhǔn)將角進(jìn)行適當(dāng)分類(lèi)、形象命名和簡(jiǎn)單應(yīng)用。到四年級(jí)時(shí)，學(xué)生通過(guò)射線重新認(rèn)識(shí)了角，知道“角的頂點(diǎn)”與“射線端點(diǎn)”有關(guān)系，理解“角的大小”與“邊的長(zhǎng)短”并無(wú)直接關(guān)系，進(jìn)一步豐富了對(duì)角的結(jié)構(gòu)認(rèn)知和內(nèi)涵理解。掌握“角的度量”，能為兩線空間位置的判斷、圖形認(rèn)識(shí)和圖形變換的判定做好必要鋪墊。

度量單位雖然是人為規(guī)定的，但是形成過(guò)程各不相同，大致可分為“抽象”與“工具”兩類(lèi)。其中，“角度”屬于后者。這種度量單位的產(chǎn)生緊扣角的背景構(gòu)建，如先有平角180°的確定和等分，再有角重合后的讀數(shù)和表征。在這一過(guò)程中，始終含有表達(dá)角的指標(biāo)稱(chēng)謂，如∠A=60°中的單位名稱(chēng)“°”不能少，否則指向不明、陳述不清。弄清楚角度“怎么來(lái)”和“是什么”，還需要把握“有何用”和“怎么學(xué)”。應(yīng)該說(shuō)，角度的出現(xiàn)使得角的大小從定性描述變?yōu)槎靠坍?huà)，有助于空間表征、精準(zhǔn)交流和問(wèn)題解決。教師在教學(xué)時(shí)需要依靠學(xué)生已有的角度經(jīng)驗(yàn)，促使學(xué)生從被動(dòng)接受轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃?dòng)參與，使他們能夠經(jīng)歷角度單位建構(gòu)的全過(guò)程，掌握“兩重一看”的量角技巧，理解結(jié)構(gòu)重合的累加本質(zhì)，使得思維從特殊走向一般，從而有序發(fā)展學(xué)生的量感和空間觀念。

一、嘗試重合結(jié)構(gòu)，探究度量單位

（一）激活經(jīng)驗(yàn)

師：科學(xué)課上咱們認(rèn)識(shí)了各種各樣的鳥(niǎo)，它們張開(kāi)的嘴巴像哪個(gè)數(shù)學(xué)圖形？

生（齊）：角。

師（出示圖1-1、圖1-2）：哪只鳥(niǎo)張開(kāi)嘴的角度更大？誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)？

圖1-1

圖1-2

生1：圖1-1的鳥(niǎo)張開(kāi)的嘴的角度更大，這個(gè)角正好有2 塊比薩那么大，圖1-2 的才有1 塊比薩那么大。

師：這樣比較可以嗎？為什么？

生2：不行，這2塊比薩的大小不一樣。應(yīng)該選擇相同的比薩來(lái)比較。

師：統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)再比較，大家都有經(jīng)驗(yàn)，以前度量學(xué)習(xí)就是這樣做的。請(qǐng)通過(guò)視頻回顧一下。

（播放視頻：簡(jiǎn)要介紹長(zhǎng)度、面積、容積的度量標(biāo)準(zhǔn)，動(dòng)態(tài)演示1厘米、1平方厘米、1毫升等計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)的累加過(guò)程。）

師：那么，怎樣度量角呢？今天我們就來(lái)一起學(xué)習(xí)。

（二）引發(fā)沖突

師：通過(guò)剛才的回顧，我們知道所有度量都要先選定標(biāo)準(zhǔn)。我準(zhǔn)備了一些同樣的小角當(dāng)作標(biāo)準(zhǔn)角，如何使用這些標(biāo)準(zhǔn)角去測(cè)量呢？

生1：頂點(diǎn)要重合，邊線要依次重合。

師：會(huì)思考，還要能做事。請(qǐng)小組合作，完成活動(dòng)后匯報(bào)。

出示活動(dòng)要求：

1.擺一擺：四人合作，用三角形中的小角擺在∠1和∠2上。

2.說(shuō)一說(shuō)：∠1 有____個(gè)小角那么大，∠2 有____個(gè)小角那么大。

生2：把小角的頂點(diǎn)擺在∠1 的頂點(diǎn)處，依次排開(kāi)，擺了4個(gè)這樣的角，∠1有4個(gè)小角這么大。

師：∠1正好包含4個(gè)這樣的標(biāo)準(zhǔn)角。

生3：∠2 里面擺了4 個(gè)小角，沒(méi)擺滿，擺5 個(gè)小角又多了，∠2 比4 個(gè)小角大一點(diǎn)，比5 個(gè)小角小一點(diǎn)。

師：看來(lái)，這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)并不同時(shí)適合這兩個(gè)角。

（三）介紹標(biāo)準(zhǔn)

師：古人也遇到同樣的問(wèn)題，他們是怎么解決的？讓我們一起去瞧瞧。

（播放視頻：古巴比倫人發(fā)現(xiàn)，太陽(yáng)從地平線東端到西端的過(guò)程呈現(xiàn)出一個(gè)半圓形軌道，而這個(gè)半圓形軌道恰巧是180 個(gè)太陽(yáng)一個(gè)挨著一個(gè)緊緊排列所得。因此，他們就把半圓定義為180 度。在此基礎(chǔ)上，把半圓平均分成180 份，每一份就是1 度，“度”有“步”的意義，用這個(gè)符號(hào)“°”來(lái)表示，就好比是太陽(yáng)的腳印。）

師：原來(lái)古人創(chuàng)造了更小的標(biāo)準(zhǔn)1°，度是角的單位，用符號(hào)“°”表示。那么，1°的角有多大？在哪里？

生1：把半圓平均分成180 份，每一份都是1°，從這個(gè)點(diǎn)引出的兩條射線組成的角就是1°的角。

師：仔細(xì)看，2個(gè)1°組成的角是——

生（齊）：2°角。

師：接著數(shù)——3°，4°，5°，…，9°，再增加1°是——

生（齊）：10°。

師：如果以10°為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)下去，接著是20°，30°，40°，…，90°。你在哪里見(jiàn)到過(guò)90°的角？

生2：在三角尺上見(jiàn)過(guò)，它是直角。

師（課件演示三角尺的直角部分與半圓中90°的角完全重合的過(guò)程）：利用重合驗(yàn)證一下，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生3：它們頂點(diǎn)重合，2 條邊也重合，說(shuō)明直角就是90°。

師：接著數(shù)。100°，110°，120°，…，180°。180°里有幾個(gè)直角？

生4：180°÷90°=2（個(gè)）。

師（課件演示拼接2 個(gè)三角尺的直角部分后與180°重合的過(guò)程）：有了測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)，角度清清楚楚，這真是了不起的創(chuàng)造。

【思考：首先，從現(xiàn)實(shí)世界自然引入數(shù)學(xué)上研究的角，通過(guò)大小不同比薩的驗(yàn)證描述，激活學(xué)生統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)度量的認(rèn)知本能和現(xiàn)有經(jīng)驗(yàn)，并在整體梳理、路徑重溫和理性認(rèn)同的基礎(chǔ)上，順勢(shì)設(shè)問(wèn)揭課。這個(gè)環(huán)節(jié)看似輕描淡寫(xiě)，其實(shí)是有機(jī)滲透“頂點(diǎn)重合”和“邊線重合”的度量關(guān)鍵。其次，借助同樣大小的標(biāo)準(zhǔn)角分別度量研究對(duì)象，自然運(yùn)用角結(jié)構(gòu)重合的關(guān)鍵點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)度量標(biāo)準(zhǔn)雖然統(tǒng)一了，但是并沒(méi)有解決根本問(wèn)題，從而引發(fā)學(xué)生度量標(biāo)準(zhǔn)從“要統(tǒng)一”轉(zhuǎn)向“要合適”的思考。思維沖突的產(chǎn)生及時(shí)且必要，因?yàn)樗芤l(fā)學(xué)生對(duì)度量標(biāo)準(zhǔn)的持續(xù)關(guān)注和深度探究。最后，通過(guò)簡(jiǎn)要介紹數(shù)學(xué)歷史，幫助學(xué)生理解角的度量單位及其符號(hào)表達(dá)，使得冰冷的概念性知識(shí)變得溫暖。尤其是1°的逐步累加，頂點(diǎn)、邊線的確認(rèn)和直角的兩次驗(yàn)證，能有效幫助學(xué)生初步建構(gòu)量角器的結(jié)構(gòu)雛形。顯然，生活與數(shù)學(xué)交融，動(dòng)腦與動(dòng)手交叉，現(xiàn)在與歷史交織，度量思維不露痕跡，度量要義時(shí)時(shí)體現(xiàn)。】

二、自由重合結(jié)構(gòu)，凸顯度量單位

（一）找中凸顯

師：請(qǐng)?jiān)诎雸A里找出一個(gè)你喜歡的角，介紹一下它在哪里，有多大。

（組織學(xué)生開(kāi)展找角游戲，分三個(gè)層次進(jìn)行：第一層找比90°小的角，第二層找比90°大的角，第三層找最大的角和最小的角。要求學(xué)生說(shuō)清楚角的頂點(diǎn)和邊線的位置，以及包含1°的個(gè)數(shù)。）

師：這些角的頂點(diǎn)位置有什么特點(diǎn)？

生1：頂點(diǎn)都在同一個(gè)位置。

師（動(dòng)態(tài)演示）：由于頂點(diǎn)都匯聚于此，中間的邊線多而不清，在不影響觀察的情況下，可以省略一部分。瞧！這變成了——

生（齊）：量角器。

師（動(dòng)態(tài)演示）：頂點(diǎn)匯聚的位置就是量角器的中心點(diǎn)，從右邊起，這是0°的刻度線，這是180°的刻度線。你還在哪個(gè)工具上見(jiàn)過(guò)刻度線？

生2：直尺。

師：長(zhǎng)度刻度線和角度刻度線的相似之處是什么？

（組織學(xué)生重點(diǎn)交流工具上都刻有大小不同的度量標(biāo)準(zhǔn)，刻度線分布都從0 開(kāi)始，然后依次有序累加。）

【思考：首先，在“原型結(jié)構(gòu)”中真實(shí)找角，要求說(shuō)清楚角“在哪里”和“有多大”。其中，“在哪里”指向角的頂點(diǎn)和邊線的位置確認(rèn)，以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)角作為平面圖形的定性認(rèn)知；“有多大”指向邊線張開(kāi)的程度描述，激活學(xué)生對(duì)角大小結(jié)構(gòu)的定量意識(shí)。兩者“學(xué)以致用”的意味較濃，但基礎(chǔ)性和重要性不言而喻。其次，是在“簡(jiǎn)潔結(jié)構(gòu)”中類(lèi)比找角，主要引導(dǎo)學(xué)生在半圓結(jié)構(gòu)中著重體會(huì)“頂點(diǎn)都匯聚于此，中間的邊線多而不清”的簡(jiǎn)潔需求，并讓學(xué)生在“變中不變”的結(jié)構(gòu)認(rèn)知中認(rèn)同量角器，感受工具創(chuàng)造的漸進(jìn)性和實(shí)用性。最后，是在“對(duì)比結(jié)構(gòu)”中整體找角，通過(guò)呈現(xiàn)、觀察和比較兩種不同類(lèi)型刻度的結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)存在“定標(biāo)準(zhǔn)”和“數(shù)標(biāo)準(zhǔn)”的關(guān)聯(lián)行為，使學(xué)生感受從“0 刻度”開(kāi)始有序累加的基本路徑。顯然，有效“找角”能助推學(xué)生對(duì)度量單位的多向體驗(yàn)?！?/p>

（二）畫(huà)中凸顯

師：瞧！量角器上畫(huà)了一個(gè)角，它是多少度？

生（齊）：60°。

師：請(qǐng)?jiān)诹拷瞧魃袭?huà)出一個(gè)你喜歡的角，介紹一下它在哪里，有多大。小組合作完成活動(dòng)后匯報(bào)。

出示活動(dòng)要求：

1.找一找：在量角器上找出一個(gè)角，畫(huà)出它的兩條邊。

2.說(shuō)一說(shuō)：從刻度____到刻度____，是____度。

3.比一比：組內(nèi)比較找到的角有什么共同點(diǎn)。

生1：這個(gè)角從刻度0到刻度30，是30°。

生2：這個(gè)角從刻度0到刻度45，是45°。

生3：這個(gè)角從刻度0到刻度125，是125°。

生4：我們組認(rèn)為，這些角雖然大小不同，但是頂點(diǎn)都在中心，一條邊對(duì)準(zhǔn)刻度0，另一條邊到刻度多少，這個(gè)角就是多少度。

（課件呈現(xiàn)邊線不與0°刻度線重合的角，教師組織學(xué)生觀察和讀數(shù)。）

師：這樣畫(huà)的時(shí)候，你感覺(jué)怎么樣？

生（齊）：比較麻煩。

（媒體同時(shí)呈現(xiàn)兩個(gè)開(kāi)口相反的20°，組織學(xué)生觀察和讀數(shù)。）

師：從右往左看，一個(gè)可以直接讀數(shù)，另一個(gè)需要間接計(jì)算。如果想要另一個(gè)也能直接讀數(shù)，怎么辦？對(duì)比自己手中的量角器，有什么發(fā)現(xiàn)？

生5：我發(fā)現(xiàn)我的量角器比黑板上的多一圈。從左往右看，另一個(gè)20°也可以直接讀出來(lái)。

師：你覺(jué)得量角器構(gòu)造兩圈結(jié)構(gòu)有必要嗎？

生6：角的開(kāi)口有時(shí)向左，有時(shí)向右，有了兩圈刻度后，我們都可以找到對(duì)應(yīng)起點(diǎn)，這樣讀角度時(shí)就輕松許多。

【思考：“畫(huà)角”與“找角”在凸顯度量單位上目標(biāo)一致，但是在呈現(xiàn)圖形位置、說(shuō)清圖形大小、歸納圖形特征等方面，“畫(huà)角”操作則更勝一籌。首先，呈現(xiàn)從“刻度0”開(kāi)始的角，這類(lèi)角高頻出現(xiàn)，一是因?yàn)榱拷瞧鳜F(xiàn)有的“一圈結(jié)構(gòu)”及其刻度排序，二是由于方便找角的思維定式所致。對(duì)于這類(lèi)角，應(yīng)給予更多的課堂教學(xué)時(shí)間，竭力地促成“畫(huà)角”與“找角”的一致性，促使學(xué)生感知量角器上角的結(jié)構(gòu)特征和讀數(shù)規(guī)律。其次，需引導(dǎo)學(xué)生的思維從封閉走向開(kāi)放，適當(dāng)安排“邊線不與0°刻度線重合的角”，明確“這類(lèi)角真實(shí)存在，讀數(shù)不方便源于刻度的人為排序，與角本身無(wú)關(guān)”。最后，對(duì)比開(kāi)口相反的2個(gè)20°，充分激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生“從刻度0 讀數(shù)”的需求，并在“一圈結(jié)構(gòu)”與“兩圈結(jié)構(gòu)”的差異對(duì)比中對(duì)刻度表征的創(chuàng)造認(rèn)同。顯然，有效“畫(huà)角”使得度量單位深入人心?！?/p>

三、優(yōu)化重合結(jié)構(gòu)，表征度量單位

師（出示圖2-1、圖2-2）：現(xiàn)在，你會(huì)用量角器去測(cè)量一個(gè)角的大小嗎？女生量圖2-1 的角，男生量圖2-1的角，大家比一比速度。

圖2-1

圖2-2

出示要求：

1.量一量：用量角器量出角的大小，把結(jié)果填在括號(hào)里。

2.說(shuō)一說(shuō)：量角時(shí)，擺放量角器需要注意什么？

師：請(qǐng)女生分享量角器怎么擺和怎么看。

生1：角的頂點(diǎn)和量角器的中心重合，一條邊和右邊的0°刻度線重合。從0°開(kāi)始數(shù)起，另一條邊所對(duì)的刻度是65°，所以這個(gè)角就是65°。

師：請(qǐng)男生分享量角器怎么擺和怎么看。

生2：角的頂點(diǎn)和量角器的中心重合，一條邊指著140°刻度線，另一條邊指著180°刻度線，180°-140°=40°。

生3：我有不同想法。因?yàn)榻堑囊粭l邊和左邊的0°刻度線重合，從0°數(shù)起比較方便，一眼就能看出這個(gè)角是40°。

師：誰(shuí)來(lái)總結(jié)一下測(cè)量角時(shí)要注意什么？

生4：角的頂點(diǎn)和量角器的中心重合，0°刻度線要與一條邊重合，然后再?gòu)?°開(kāi)始數(shù)起，看另一條邊所對(duì)的刻度是多少，這樣比較方便。

【思考：技能訓(xùn)練需要刻意為之，但又不能機(jī)械重復(fù)。采用男女分組比賽的方式，一方面可以激發(fā)學(xué)生的參與熱情，另一方面有助于學(xué)生對(duì)量角器兩圈結(jié)構(gòu)的思考。從思維的遞進(jìn)關(guān)系看，女生的測(cè)量速度較快在情理之中，這主要源于第一圈刻度的首映效應(yīng)，學(xué)生普遍認(rèn)同角度測(cè)量的觀察順序是從右往左。但是，隨著結(jié)構(gòu)對(duì)比深入，第二圈刻度的作用也被激活和應(yīng)用，男生也很快進(jìn)入狀態(tài)，并迅速調(diào)整測(cè)量起點(diǎn)，從而提高測(cè)量速度和準(zhǔn)確率。換個(gè)角度來(lái)講，圖2-2 中角的結(jié)構(gòu)沒(méi)有變化，所包含度量單位的多少也沒(méi)有改變，需要改變的是“未知角”與量角器上“已知角”的重合順序。顯然，這樣的量角活動(dòng)精簡(jiǎn)且有效，選擇合適起點(diǎn)測(cè)量已經(jīng)從“簡(jiǎn)單告訴”轉(zhuǎn)變?yōu)椤白晕艺J(rèn)知”。】

四、變式重合結(jié)構(gòu)，內(nèi)化度量單位

（一）理中內(nèi)化

師（出示圖3-1、圖3-2、圖3-3）：請(qǐng)量出下面每個(gè)角的度數(shù)。

圖3-1

圖3-2

圖3-3

（活動(dòng)完成后，組織學(xué)生演示測(cè)量過(guò)程，重點(diǎn)匯報(bào)量角器“怎么擺”和“怎么看”）

師：在測(cè)量圖3-1 和圖3-2 的角的過(guò)程中，少部分學(xué)生度數(shù)剛好填反了。對(duì)此你有什么建議？

生1：數(shù)的時(shí)候要看準(zhǔn)起點(diǎn)，從0°刻度線開(kāi)始數(shù)，依次數(shù)下去就不會(huì)錯(cuò)。

生2：可以用90°做標(biāo)準(zhǔn)，先估計(jì)和判斷一下，圖3-1 的角比90°大，圖3-2 的角比90°小，這樣就不會(huì)填錯(cuò)了。

師：有道理，點(diǎn)個(gè)贊！

（二）猜中內(nèi)化

師（出示圖4）：小明量角時(shí)，一條邊擺放的位置已經(jīng)確定，另一條邊的位置不確定。猜一猜，這個(gè)角可能有多大？

圖4

（組織學(xué)生分兩個(gè)層次進(jìn)行猜測(cè)。第一層是猜測(cè)位置已經(jīng)確定的邊與0°刻度線重合，結(jié)果是140°或40°；第二層是猜測(cè)位置已經(jīng)確定的邊不與0°刻度線重合，結(jié)果不確定。）

師：為什么這個(gè)角的度數(shù)有這么多可能？

生1：因?yàn)橐粋€(gè)角有兩條邊，我們只知道一條邊的具體位置，另一條邊的位置不能確定，所以這個(gè)角的度數(shù)就有多種可能。

生2：量角時(shí)角的一條邊與0°刻度線重合，這樣方便讀數(shù)。但是，不與0°刻度線重合也可以量角，只是麻煩一些。我們只要打開(kāi)思路，方法就多了。

師：會(huì)反思，點(diǎn)個(gè)贊！

（三）賞中內(nèi)化

課件播放：蜂房六邊形的省料設(shè)計(jì)角度、滑滑梯安全與舒適的角度范圍、放風(fēng)箏的角度技巧、寫(xiě)字過(guò)程中筆與紙之間的角度建議、大雁飛行中“人”字形角度的秘密等。

【思考：首先，圖3-1 和圖3-2 是一組變式題，旨在引導(dǎo)學(xué)生遷移測(cè)量技能，并反思填錯(cuò)或填混的原因，通過(guò)提出以“90°”為標(biāo)準(zhǔn)判定大小的共性對(duì)策來(lái)整體把握量角器的結(jié)構(gòu)。圖3-3 與前面的圖相比是一次變化，要求學(xué)生靈活運(yùn)用“兩重一看”的技巧要領(lǐng)，同時(shí)注重度量單位個(gè)數(shù)的本質(zhì)。其次，與確定角度測(cè)量不同的是，圖4 的問(wèn)題情境比較開(kāi)放，既包含對(duì)角這個(gè)圖形的再認(rèn)識(shí)，也包含對(duì)測(cè)量中結(jié)構(gòu)重合的再確認(rèn)，結(jié)構(gòu)思維在猜測(cè)中被一次次有效激活。最后，欣賞數(shù)學(xué)與生活的完美融合，幫助學(xué)生以數(shù)學(xué)視角審視生活現(xiàn)象，感受數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用和嚴(yán)謹(jǐn)結(jié)構(gòu)。顯然，變式訓(xùn)練有助于學(xué)生深刻理解結(jié)構(gòu)，并使度量單位內(nèi)化更到位?！?/p>