江蘇如皋市外國(guó)語學(xué)校 （226500） 丁 洪

“連除的實(shí)際問題”屬于數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域內(nèi)容，主要聚焦“數(shù)量關(guān)系”和“數(shù)的運(yùn)算”。蘇教版教材將它編排在四年級(jí)上冊(cè)第二單元，是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)“連乘的實(shí)際問題”和“兩、三位數(shù)除以兩位數(shù)（不含調(diào)商）”等知識(shí)基礎(chǔ)上教學(xué)的。從知識(shí)技能看，主要引導(dǎo)學(xué)生從不同角度理解、表征和解決連除的相關(guān)實(shí)際問題，提升“一題多解”的能力，豐富“殊途同歸”的認(rèn)知。從過程方法看，主要引導(dǎo)學(xué)生從條件想起，逐步推導(dǎo)出所需結(jié)論，喚醒“關(guān)系組合”的意識(shí)，滲透“由因?qū)Ч钡牟呗?。從情感態(tài)度看，主要激發(fā)學(xué)生直面問題的探究動(dòng)能、創(chuàng)造潛能和結(jié)構(gòu)智能，讓學(xué)生樹立“勇于突破”的信心，涵養(yǎng)“理性思維”的品質(zhì)。

為了提高課堂教學(xué)實(shí)效，需要關(guān)注和思考以下問題。一是為什么這時(shí)候?qū)W？對(duì)此要處理好學(xué)生的階段需求與連除知識(shí)的價(jià)值，突出關(guān)系理解和變式重組，避免“就事論事”和“淺嘗輒止”；二是怎么去學(xué)？對(duì)此要處理好學(xué)生除法經(jīng)驗(yàn)的新舊對(duì)接與多元表征，辯證自主探究和共性概括，避免“居于一隅”和“短視行為”；三是學(xué)到什么程度？對(duì)此要處理好學(xué)生除法意義的理解程度與可視表征，建構(gòu)思維場(chǎng)域和全局視野，避免“碎片思考”和“單向體驗(yàn)”。最終，助力學(xué)生建構(gòu)連除實(shí)際問題中“類型不同，結(jié)構(gòu)相通”的橫向認(rèn)知，以及連乘連除實(shí)際問題中“方向不同，結(jié)構(gòu)相聯(lián)”的縱向認(rèn)知，提升連除運(yùn)算能力，發(fā)展結(jié)構(gòu)化思維素養(yǎng)。

一、自主探究，呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)

（一）選條件，提問題

師（出示主題圖情境，如圖1）：通過交流，我們已經(jīng)知道有三個(gè)條件（①一共放了224 本書；②2 個(gè)書架；③每個(gè)書架有4 層。）和一個(gè)問題（平均每個(gè)書架每層放多少本書？）?，F(xiàn)在，請(qǐng)你選兩個(gè)條件，說說解決問題時(shí)可以先算什么。

生1：根據(jù)條件①和條件②，可以先算平均每個(gè)書架的本數(shù)。

生2：根據(jù)條件②和條件③，可以先算兩個(gè)書架一共的層數(shù)。

生3：根據(jù)條件①和條件③，可以先算兩個(gè)書架同一層的本數(shù)。

師：看來，根據(jù)兩個(gè)有聯(lián)系的條件可以提出并解決一個(gè)一步計(jì)算的問題。

（二）畫過程，明算理

師：順著這些思路，怎么解決每個(gè)書架每層的本數(shù)的問題？（出示活動(dòng)要求：將長(zhǎng)方形看成總本數(shù)，選擇其中一種方法，在圖形中畫出過程；比一比，看誰想得明白、畫得清楚、算得正確；先獨(dú)立思考，再在組內(nèi)交流。）

生4（出示圖2）：先將長(zhǎng)方形平均分成2 份，列式224÷2＝112（本），算出每個(gè)書架的本數(shù)；再把一個(gè)書架上的本數(shù)平均分成4 份，列式112÷4＝28（本），算出平均每個(gè)書架每層的本數(shù)。因此，就涂這樣的一份。

圖2

生5（出示圖3）：先算兩個(gè)書架一共的層數(shù)，2×4＝8（層），對(duì)應(yīng)地將長(zhǎng)方形平均分成8 份，涂出其中的一份；再用224÷8＝28（本），算出平均每個(gè)書架每層的本數(shù)。

圖3

生6（出示圖4）：先將長(zhǎng)方形平均分成4 份，列式224÷4＝56（本），算出2個(gè)書架同一層的本數(shù)；然后選擇第一層再平均分成2 份，涂出其中的一份，列式56÷2＝28（本），算出平均每個(gè)書架每層的本數(shù)。

圖4

師：能依次列出相應(yīng)的綜合算式嗎？

生7：224÷2÷4＝28（本）。

生8：224÷（2×4）＝28（本）。

生9：224÷4÷2＝28（本）。

（三）比異同，理結(jié)構(gòu)

師：比較畫圖和列式的過程，你有什么有趣的發(fā)現(xiàn)？

生10：雖然運(yùn)算的順序不同，但是條件相同，所以結(jié)果一樣。

生11：我發(fā)現(xiàn)圖2 和圖4 是一步一步地平均分的，而圖3是先求“總層數(shù)”，然后一起平均分的。

生12：每種方法中畫圖順序和列式順序是對(duì)應(yīng)的，都畫了兩次，也算了兩次。

師：大家想象一下，圖2、圖3、圖4 和圖1 中書架的結(jié)構(gòu)能完全重合嗎？

生13：能。如果把圖2 從左往右補(bǔ)全，圖4 從上往下補(bǔ)全，那么三幅圖形的結(jié)構(gòu)與書架結(jié)構(gòu)就是一樣的。

生14：其實(shí)，書架個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)圖形豎排個(gè)數(shù)，書架層數(shù)對(duì)應(yīng)圖形橫排個(gè)數(shù)，書架結(jié)構(gòu)與圖形結(jié)構(gòu)剛好一一對(duì)應(yīng)。

師：真好！通過實(shí)際問題的解決和比較，我們基本弄清了連除算理和思維關(guān)鍵，也初步體驗(yàn)到連除特點(diǎn)和結(jié)構(gòu)聯(lián)系，這就是我們今天研究的內(nèi)容。

（板書課題：連除的實(shí)際問題）

【思考：“連除問題”是由兩種簡(jiǎn)單的、關(guān)聯(lián)的“一步除法”組合而成。其中，“等分除”可以細(xì)分為“連續(xù)等分”和“整體等分”兩種情況，思維結(jié)構(gòu)體現(xiàn)“一維線性”向“二維平面”的轉(zhuǎn)變。由于例題中的數(shù)據(jù)較小，計(jì)算難度僅限于“兩、三位數(shù)除以一位數(shù)”，所以教學(xué)重心不在于“算法技能”的嫻熟精進(jìn)，而在于“算理本質(zhì)”的深度理解。首先，通過條件的自由選擇和組合描述，引導(dǎo)學(xué)生感受“先算什么”的起點(diǎn)不同、條件關(guān)聯(lián)和結(jié)果唯一，為連除問題“一題三解”奠定方法基礎(chǔ)，指明操作路徑。其次，借助“分步計(jì)算”和“畫圖示意”的同構(gòu)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生通過不同方式合理表征連除算理，強(qiáng)化“怎樣算”與“怎樣畫”的程序?qū)?yīng)、思維互動(dòng)，并在此基礎(chǔ)上，借助綜合算式記錄連除過程，進(jìn)一步凸顯問題的結(jié)構(gòu)特征。最后，通過對(duì)比反思三種方法，驅(qū)動(dòng)學(xué)生有序梳理?xiàng)l件和問題、著力分析思維過程，初步實(shí)現(xiàn)連除的外在算法與內(nèi)在算理的認(rèn)識(shí)融合，尤其是圖形與書架的結(jié)構(gòu)聯(lián)結(jié)，更為后續(xù)結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)做好必要鋪墊?！?/p>

二、靈活檢驗(yàn)，對(duì)比結(jié)構(gòu)

師：想一想，這題的結(jié)果可以怎樣檢驗(yàn)？

（學(xué)生先獨(dú)立思考，再組內(nèi)交流。教師巡視，提醒學(xué)生用聯(lián)系的眼光看問題。）

生1：可以用不同的方法再做一次。

生2：因?yàn)橛萌N方法解題，雖然先算的內(nèi)容不同，但是最后的結(jié)果必須一樣。

師：還有其他檢驗(yàn)方法嗎？

生3：我們組認(rèn)為，可以把“商28本”代入原題，倒過來用乘法算一遍，看一看“2 個(gè)書架是不是一共有224本書”。

師：請(qǐng)具體說說怎么想和怎么算的。

生4：先算一個(gè)書架的本數(shù)，再算總本數(shù)，列式28×4×2＝224（本）。

生5：先算兩個(gè)書架的總層數(shù)，再算總本數(shù)，列式2×4×28＝224（本）。

生6：先算兩個(gè)書架同一層的本數(shù)，再算總本數(shù)，列式28×2×4＝224（本）。

師：回顧檢驗(yàn)的過程和方法，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生7：我發(fā)現(xiàn)“一共有224 本書”從條件變成問題，而“每個(gè)書架每層28本”從問題變成條件。

生8：我發(fā)現(xiàn)“總本數(shù)”“架數(shù)”“層數(shù)”和“每個(gè)書架每層的本數(shù)”這些信息之間有聯(lián)系，知道其中的三個(gè)信息，就可以求出剩下的信息。

生9：連除和連乘的運(yùn)算順序變化了，同一種方法的圖形結(jié)構(gòu)沒有變化，但是觀察的方向相反。

師：看來，“被除數(shù)÷除數(shù)÷除數(shù)＝商”，既可以交換除數(shù)位置，順向思考，用除法檢驗(yàn)除法，也可以用“商×除數(shù)×除數(shù)＝被除數(shù)”，逆向操作，即用乘法檢驗(yàn)除法。

【思考：驗(yàn)算是連除學(xué)習(xí)中的重要環(huán)節(jié)。驗(yàn)算不是機(jī)械地摘抄數(shù)據(jù)湊答案，而是經(jīng)驗(yàn)的有效連接和習(xí)慣的品質(zhì)培育和認(rèn)。具體來說，一方面是“順向經(jīng)驗(yàn)”的激活，通過“怎么想到”的方法溯源，對(duì)比“數(shù)位置”與“式結(jié)構(gòu)”，進(jìn)一步體驗(yàn)連除運(yùn)算“不同方法”的外形結(jié)構(gòu)、思維特點(diǎn)和內(nèi)涵實(shí)質(zhì)。另一方面是“逆向經(jīng)驗(yàn)”的激活，通過說清楚“先算什么”和“再算什么”，列綜合算式感知“連乘結(jié)構(gòu)”，并在對(duì)比、聯(lián)系和發(fā)現(xiàn)中，進(jìn)一步感悟“連除算”與“連乘算”之間的思維互逆、結(jié)構(gòu)統(tǒng)一和認(rèn)知平衡?！?/p>

三、多向?qū)嵺`，遷移結(jié)構(gòu)

（一）求單量，悟等分

1.排隊(duì)問題

出示情境（如圖5）：四年級(jí)168 學(xué)生去參觀科技館，平均分成4隊(duì)，每隊(duì)平均分成3組。每組有多少人？

圖5

師（出示圖6）：先用結(jié)構(gòu)圖梳理?xiàng)l件和問題，再說說怎么想和怎么算。

圖6

師：請(qǐng)具體說說怎么想和怎么算的。

生1：我先豎著看，用168÷4＝42（人），算出每個(gè)隊(duì)的人數(shù)，再橫著看，用42÷3＝14（人），算出每組人數(shù)。綜合算式為168÷4÷3＝14（人）。

生2：我是整體看的。先用4×3＝12（組），算出小組的總數(shù)，再用168÷12＝14（人），算出每組人數(shù)。綜合算式為168÷（4×3）＝14（人）。

生3：也可以先橫著看，用168÷3＝56（人），算出4 個(gè)隊(duì)同一組的人數(shù)；再豎著看，用56÷4＝14（人），算出每組人數(shù)。綜合算式為168÷3÷4＝14（人）。

師：其實(shí)，先等分“隊(duì)數(shù)”再等分“組數(shù)”，或者先等分“組數(shù)”再等分“隊(duì)數(shù)”，都是連續(xù)等分除。而先算“總組數(shù)”再算“每組人數(shù)”，則是整體等分除，殊途同歸。

2.吃蟲問題

出示情境（如圖7）：三只燕子一個(gè)星期吃924只害蟲。平均每只燕子每天吃多少只害蟲？

圖7

師（出示圖8）：先用結(jié)構(gòu)圖梳理?xiàng)l件和問題，再說說怎么想和怎么算。

圖8

生4：我先豎著看，用924÷7＝132（只），算出3只燕子1天吃害蟲的總只數(shù)，再橫著看，用132÷3＝44（只），算出平均每只燕子每天吃害蟲的只數(shù)。綜合算式為924÷7÷3＝44（只）。

生5：我先橫著看，用924÷3＝308（只），算出1只燕子7天吃害蟲的總只數(shù)，再豎著看，用308÷7＝44（只），算出平均每只燕子每天吃害蟲的只數(shù)。綜合算式為924÷3÷7＝44（只）。

生6：也可以整體看，先用7×3＝21（只），算出7天里燕子出現(xiàn)的總只數(shù)，再用924÷21＝44（只），算出平均每只燕子每天吃害蟲的只數(shù)。綜合算式為924÷（7×3）＝44（只）。

師：其實(shí)，先等分“天數(shù)”再等分“只數(shù)”，或者先等分“只數(shù)”再等分“天數(shù)”，都是連續(xù)等分除。而先求“7 天里燕子出現(xiàn)的總只數(shù)”再算“平均每只燕子每天吃害蟲的只數(shù)”，則是整體等分除。它們的道理是相通的。

（二）求數(shù)量，悟包含

1.吃藥問題

出示情境（如圖9）：一瓶藥共150片，王大伯每日吃3次，每次2片。這瓶藥可以吃多少天？

圖9

師（出示圖10）：先用結(jié)構(gòu)圖梳理?xiàng)l件和問題，再說說怎么想和怎么算。

圖10

生7：我先豎著看，用2×3＝6（片），算出一天吃的片數(shù)，再橫著看，用150÷6＝25（天），算出這瓶藥片包含幾個(gè)6 片，也就是吃的天數(shù)。綜合算式為150÷（2×3）＝25（天）。

生8：我是從整體看的。先用150÷2＝75（次），算出吃的總次數(shù)，再用75÷3＝25（天），算出以3 次為一天吃的天數(shù)。綜合算式為150÷2÷3＝25（天）。

生9：也可以先橫著看，用150÷3＝50（片），算出所有早上吃的片數(shù)，再豎著看，用50÷2＝25（天），算出吃了幾個(gè)早晨，對(duì)應(yīng)的就是幾天。綜合算式為150÷3÷2＝25（天）。

師：其實(shí)，先算“一天吃的片數(shù)”再算“天數(shù)”，是整體包含除；而先算“總次數(shù)”或“同一時(shí)段吃的總片數(shù)”，再算“天數(shù)”，則是連續(xù)包含除，目標(biāo)一致。

2.包裝問題

出示情境（如圖11）：有一種面包的包裝是2個(gè)裝一袋，4袋裝一盒。104個(gè)面包一共可以裝多少盒？

圖11

師（出示圖12）：先用結(jié)構(gòu)圖梳理?xiàng)l件和問題，再說說怎么想和怎么算。

圖12

生10：我先豎著看，用2×4＝8（個(gè)），算出一盒面包的個(gè)數(shù)，再橫著看，用104÷8＝13（盒），算出一共裝的盒數(shù)。綜合算式為104÷（2×4）＝13（盒）。

生11：我是從整體看的。先用104÷2＝52（袋），算出包裝的總袋數(shù)，再用52÷4＝13（盒），算出一共裝的盒數(shù)。綜合算式為104÷2÷4＝13（盒）。

生12：也可以先橫著看，用104÷4＝26（個(gè)），算出每盒中第一袋位置上的總個(gè)數(shù)，再用26÷2＝13（盒），算出包含幾個(gè)第一袋，對(duì)應(yīng)的就是幾盒。綜合算式為104÷4÷2＝13（盒）。

師：其實(shí)，先算“一盒個(gè)數(shù)”再算“盒數(shù)”，是整體包含除；而先算“總袋數(shù)”或“同一位置上的總個(gè)數(shù)”，再算“盒數(shù)”，則是連續(xù)包含除。這兩種算法同樣精彩。

【思考：“等分除”和“包含除”的運(yùn)算基礎(chǔ)都是“平均分”，思維結(jié)構(gòu)必然關(guān)聯(lián)，但學(xué)生對(duì)除法意義的體驗(yàn)有所區(qū)別。具體來說，一是借助“排隊(duì)問題”和“吃蟲問題”，順勢(shì)遷移解決“書架問題”時(shí)的表征結(jié)構(gòu)、觀察角度和思考流程，明確“連續(xù)等分”和“整體等分”的外在算式差異，凸顯“一題三解”的內(nèi)在結(jié)構(gòu)統(tǒng)一，側(cè)重“等分除”的原始模型，即“總量÷數(shù)量＝單量”的認(rèn)知生長(zhǎng)和有序建構(gòu)。二是借助“吃藥問題”和“包裝問題”，順勢(shì)呈現(xiàn)“連續(xù)包含”和“整體包含”的連除結(jié)構(gòu)，促使學(xué)生感受到連除類型雖然發(fā)生變化，但是其算理和算法依然統(tǒng)一，凸顯“包含除”的原始模型，即“總量÷單量＝數(shù)量”的認(rèn)知生長(zhǎng)和有序建構(gòu)。顯然，這樣的結(jié)構(gòu)表征能夠助推學(xué)生思維外顯，增強(qiáng)學(xué)生結(jié)構(gòu)思維的意識(shí)激發(fā)，幫助學(xué)生的整體理解和認(rèn)同策略。】

四、反思概括，內(nèi)化結(jié)構(gòu)

師（出示所有的圖形結(jié)構(gòu)，如圖13）：千金難買回頭看。觀察和對(duì)比這些圖形結(jié)構(gòu)，你有什么體會(huì)？

圖13

生1：我覺得這類問題從條件想起比較方便。

生2：我發(fā)現(xiàn)連乘是求“總量”，需要把“單量”合起來，連除是求“單量”或者“數(shù)量”，需要把“總量”平均分。

生3：我來補(bǔ)充。連除中求“單量”是等分除，可以“連續(xù)等分”或“整體等分”；連除中求“數(shù)量”是包含除，可以“連續(xù)包含”或“整體包含”。

師：愛動(dòng)腦，會(huì)思考，為你們點(diǎn)贊！在解決連除的實(shí)際問題中，角度“怎么看”與條件“怎么選”同步，圖形“怎么畫”與算式“怎么列”同構(gòu)，有了結(jié)構(gòu)圖的呈現(xiàn)、連接和助力，我們的思維才能變得有抓手、有方向和看得見。

【思考：反思是基于知識(shí)又超越知識(shí)的能動(dòng)行為。具體來說，一是對(duì)連除的實(shí)際問題解決過程的反思，主要建構(gòu)策略介入、算式表征和檢驗(yàn)方法的一般性，“就事論事”的意味較濃；二是對(duì)連除的實(shí)際問題的認(rèn)知提煉，主要建構(gòu)圖形結(jié)構(gòu)、程序推演和思維雙向的一致性，“深入淺出”的訴求明顯。顯然，兩種反思都有價(jià)值、融合共生，助推學(xué)生數(shù)學(xué)精神、思想和方法的有序生發(fā)與有效沉淀?！?/p>