彭光焰

(湖北省廣水市一中,湖北 廣水 432700)

教材是重要的課程資源,這是毋庸置疑的.教材中有的例習(xí)題具有拓展性,可以設(shè)計(jì)為具有科學(xué)探究?jī)r(jià)值的問(wèn)題或課題,以此為載體,引導(dǎo)學(xué)生合理運(yùn)用科學(xué)的思維方法,分析問(wèn)題或進(jìn)行深入研究.對(duì)于廣大學(xué)生提高核心認(rèn)知品質(zhì),發(fā)展關(guān)鍵能力,進(jìn)而提升學(xué)科核心素養(yǎng),具有深遠(yuǎn)意義.

1 課本例題,探究之源

題目如圖1,O是直角坐標(biāo)原點(diǎn),A,B是拋物線y2=2px(p>0)上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn),且OA⊥OB,OM⊥AB并與AB相交于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的軌跡方程[1].

圖1 課本例題圖

此題是人教社A版(2007年1月第2版)普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修4-4《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》第33頁(yè)例3.

2 解法探究,曲徑通幽

思路1設(shè)A,B兩點(diǎn)坐標(biāo),分別寫出直線AB,OM方程,充分利用OA⊥OB這一條件,即可求出點(diǎn)M的軌跡方程.

即(y1+y2)y-2px-y1y2=0.

由OA⊥OB,有y1y2=-4p2.

故(y1+y2)y-2px+4p2=0.

①

②

將②代入①整理,得

x2+y2-2px=0(x≠0).

當(dāng)y1+y2=0時(shí),點(diǎn)M的坐標(biāo)是(2p,0),此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足方程x2+y2-2px=0(x≠0).

因此,點(diǎn)M的軌跡方程是x2+y2-2px=0(x≠0).

思路2利用kAB·kOM=-1建立等式,消去參數(shù)得軌跡方程.

y2-(y1+y2)y+(y1+y2)y0-2px0=0.

故y1y2=(y1+y2)y0-2px0.

又y1y2=-4p2,

當(dāng)y1+y2=0時(shí),點(diǎn)M的坐標(biāo)是(2p,0),此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足方程x2+y2-2px=0(x≠0),

因此,點(diǎn)M的軌跡方程是x2+y2-2px=0(x≠0).

思路3充分挖掘已知條件,由已知我們易知直線與x軸交于定點(diǎn)N(2p,0),這樣一來(lái),問(wèn)題就好解決了.

解法3設(shè)M(x,y),由解法1中的①式,即

(y1+y2)y-2px+4p2=0.

易得 (y1+y2)y-2p(x-2p)=0.

故直線AB過(guò)定點(diǎn)N(2p,0).

即x2+y2-2px=0(x≠0).

因此,點(diǎn)M的軌跡方程是x2+y2-2px=0(x≠0).

思路4建立直線AB的斜截式方程y=kx+b,然后y=kx+b與y2=2px聯(lián)立,并利用已知條件OA⊥OB,用p和b表示k,把k代入y=kx+b,也可以得到直線AB過(guò)定點(diǎn)N(2p,0).

解法4 設(shè)直線AB的方程為y=kx+b(bk≠0),

k2x2+(2kb-2p)x+b2=0.

設(shè)A(x1y1),B(x2,y2),則

故y1y2=(kx1+b)(kx2+b)

③

又由OA⊥OB,得x1x2+y1y2=0.

④

故直線AB過(guò)定點(diǎn)N(2p,0),下同解法3.

即(2pt1t2)2+(2p)2t1t2=0.

所以t1t2=-1.

⑤

所以x(t1+t2)+y=0.

⑥

化簡(jiǎn),得x-(t1+t2)y+2pt1t2=0.

⑦

即x2+y2-2px=0(x≠0),這就是點(diǎn)M的軌跡方程.

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),則

由A,B,M三點(diǎn)共線可得

⑧

由OM⊥AB,得kAB·kOM=-1.

⑨

當(dāng)k≠±1時(shí),點(diǎn)M的坐標(biāo)是(2p,0),此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足方程x2+y2-2px=0(x≠0).

即x2+y2-2px=0(x≠0),這就是點(diǎn)M的軌跡方程.

解法7設(shè)點(diǎn)M,A,B的坐標(biāo)分別為(x,y),(x1,y1),(x2,y2).

所以x1x2=4p2,y1y2=-4p2.

⑩

=p|y2-y1|.

又|y1-y2|≠0,即x2+y2-2px=0(x≠0),這就是點(diǎn)M的軌跡方程.

思路8 設(shè)點(diǎn)M,A,B的坐標(biāo)分別為(x,y),(x1,y1),(x2,y2),求出AB的斜率,利用OM⊥AM,OM⊥BM,OM⊥AB,再由平面向量有關(guān)知識(shí)可求出點(diǎn)M的軌跡方程.

由OA⊥OB易得y1y2=-4p2.

所以2x2+2y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0,

=0,

=0.

即x2+y2-2px=0(x≠0),這就是點(diǎn)M的軌跡方程.

思路9M是Rt△AMO與Rt△BMO的交點(diǎn),也就是以O(shè)A為直徑的圓與以O(shè)B為直徑的圓的交點(diǎn),這樣可以利用圓的直徑式方程求解.

化簡(jiǎn),得y1y2=-4p2.

以O(shè)A為直徑的圓的方程為

以O(shè)B為直徑的圓的方程為

把y1·y2=-4p2代入,得

思路10 利用極坐標(biāo)求軌跡方程.在利用極坐標(biāo)求曲線方程時(shí),關(guān)鍵是找出曲線上的點(diǎn)滿足的幾何條件,將它用極坐標(biāo)表示,再通過(guò)代數(shù)變換進(jìn)行化簡(jiǎn).而且,與用平面直角坐標(biāo)求曲線方程相比,求它的極坐標(biāo)方程更加簡(jiǎn)便,代數(shù)變換更加直接.根據(jù)題目的要求可以把極坐標(biāo)方程化成直角坐標(biāo)方程.

解法10 由求軌跡方程解法1中的①式知直線AB過(guò)定點(diǎn)N(2p,0).

3 根植沃土,橫縱拓展

解答完例3之后,課本給出了“探究:在例3中,點(diǎn)A,B在什么位置時(shí),△AOB的面積最小?最小值是多少?”這可以看成是例3的變式,教參給出的解答是解法1,在此給出“探究”的多種解法.

探究1如圖1,O是直角坐標(biāo)原點(diǎn),A,B是拋物線y2=2px(p>0)上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn),且OA⊥OB,當(dāng)點(diǎn)A,B在什么位置時(shí),△AOB的面積最小?最小值是多少?

解法1 由例3(課本上例3)可得

≥4p2,

當(dāng)且僅當(dāng)t1=-t2,即當(dāng)點(diǎn)A,B關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí),△AOB的面積最小,最小值為4p2.

解法2 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).

由OA⊥OB,易知

x1x2+y1y2=0,x1x2=4p2,y1y2=-4p2.

當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2且y1=-y2,即當(dāng)點(diǎn)A,B關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí),△AOB的面積最小,最小值為4p2.

由OA⊥OB,易知

當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2且y1=-y2,即當(dāng)點(diǎn)A,B關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí),△AOB的面積最小,最小值為4p2.

當(dāng)k=±1時(shí)上式等號(hào)成立,即當(dāng)點(diǎn)A,B關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí),△AOB的面積最小,最小值為4p2.

解法5 由求軌跡方程解法3知直線AB過(guò)定點(diǎn)N(2p,0),

可設(shè)直線AB的方程為x-2p=ty,A(x1,y1),B(x2,y2),

y2-2pty-4p2=0.

所以y1+y2=2pt,y1y2=-4p2.

當(dāng)且僅當(dāng)t=0時(shí),上式等號(hào)成立.即當(dāng)點(diǎn)A,B關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí),△AOB的面積最小,最小值為4p2.

解法6 把y2=2px化成極坐標(biāo)方程

探究2 如圖1,O是直角坐標(biāo)原點(diǎn),A,B是拋物線y2=2px(p>0)上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn),且OA⊥OB,求|AB|的最小值.

x1x2=4p2,y1y2=-4p2.

=4p,

當(dāng)且僅當(dāng)y1=-y2時(shí)等號(hào)成立,所以|AB|的最小值為4p.

解法2 由求軌跡方程解法3知直線AB過(guò)定點(diǎn)N(2p,0),可設(shè)直線AB的方程為x-2p=ty,A(x1,y1),B(x2,y2).

所以y1+y2=2pt,y1y2=-4p2.

≥4p,

當(dāng)且僅當(dāng)t=0時(shí)等號(hào)成立,所以|AB|的最小值為4p.

探究3如圖1,O是直角坐標(biāo)原點(diǎn),A,B是拋物線y2=2px(p>0)上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn),且OA⊥OB,求|OA|+|OB|的最小值.

x1x2=4p2,y1y2=-4p2.

當(dāng)且僅當(dāng)y1=-y2時(shí)等號(hào)成立,

探究4如圖1,O是直角坐標(biāo)原點(diǎn),A,B是拋物線y2=2px(p>0)上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn),且OA⊥OB,求△OAB周長(zhǎng)的最小值.

探究5如圖1,O是直角坐標(biāo)原點(diǎn),A,B是拋物線y2=2px(p>0)上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn),且OA⊥OB,求證直線AB與x軸相交于定點(diǎn),并求定點(diǎn)坐標(biāo).

其解法見求軌跡方程解法3.

探究6O是直角坐標(biāo)原點(diǎn),M(2p,0),過(guò)點(diǎn)M作直線交拋物線y2=2px(p>0)異于頂點(diǎn)的A,B兩動(dòng)點(diǎn),則OA⊥OB.

所以y1+y2=2pt,y1y2=-4p2.

探究5與探究6互為充要條件.

探究7O是直角坐標(biāo)原點(diǎn),T是拋物線y2=2px(p>0)上的定點(diǎn),過(guò)T作拋物線兩條互相垂直的弦TA與TB,A,B都異于原點(diǎn),則直線AB過(guò)定點(diǎn).

證明設(shè)T(2pm2,2pm),A(2pa2,2pa),B(2pb2,2pb),其中m為常數(shù),a+b≠0.

所以(2pa2-2pm2)(2pb2-2pm2)+(2pa-2pm)(2pb-2pm)=0.

即(a+m)(b+m)+1=0.

則ab+(a+b)m+m2+1=0.

則ab=-(a+b)m-m2-1.

化簡(jiǎn),得(a+b)y=x+2pab.

則(a+b)y=x+2p[-(a+b)m-m2-1].

則(a+b)(y+2mp)=x-2p(m2+1).

故直線AB過(guò)定點(diǎn)Q(2p(m2+1),-2mp).

探究8如圖1,O是直角坐標(biāo)原點(diǎn),A,B是拋物線y2=2px(p>0)異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn),且OA⊥OB,過(guò)A,B分別作拋物線的切線,則兩切線交點(diǎn)在定直線上.

由兩切線方程聯(lián)立求解得x=-2p.

故兩切線交點(diǎn)在定直線x=-2p上.

探究9O是直角坐標(biāo)原點(diǎn),A,B是拋物線y2=2px(p>0)異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn),過(guò)A,B分別作拋物線的切線,若兩切線的交點(diǎn)在直線x=-2p上,則OA⊥OB.

又x=-2p,

所以y1y2=-4p2.

所以O(shè)A⊥OB.

探究10已知雙曲線的中心為O,實(shí)軸、虛軸的長(zhǎng)分別為2a,2b(b>a>0),A,B分別為雙曲線上的兩點(diǎn),且OA⊥OB.

(2)求△AOB面積的最小值.

將雙曲線的直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程,得

(2)由(1)知

4 溯源教材,升華思想

波利亞在《怎樣解題》一書中寫道:“好的題目和某種蘑菇有點(diǎn)相似之處,它們能成串生長(zhǎng),找到一個(gè)以后,再四處看看,很有可能在附近的地方能找到更多.”

題1如圖2,直線y=x-2與拋物線y2=2x相交于A,B兩點(diǎn),求證:OA⊥OB.

圖2 題1圖

題1是人教版(2004年6月第1版)全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書(必修)《數(shù)學(xué)》第二冊(cè)(上)第八章圓錐曲線方程第126頁(yè)小結(jié)與復(fù)習(xí)例2,課本給出了該題的兩種證法.

人教A版(2007年2月第2版)普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》選修2-1第二章圓錐曲線與方程第73頁(yè)習(xí)題2.4第6題也是該題,只是給出的形式不同,一個(gè)是例題一個(gè)是習(xí)題.

題2 如圖3,已知直線與拋物線y2=2px(p>0)交于A,B兩點(diǎn),且OA⊥OB,OD⊥AB交AB于點(diǎn)D,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,1),求p的值.

題2是人教A版(2007年2月第2版)普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》選修2-1第二章圓錐曲線與方程第80頁(yè)復(fù)習(xí)參考題B組第3題.

人教A版(2020年5月第1版)普通高中教科書《數(shù)學(xué)》選擇性必修第一冊(cè)第三章圓錐曲線的方程第145頁(yè)第10題也是該題.

題3經(jīng)過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的頂點(diǎn)O任作兩條互相垂直的線段OA和OB(點(diǎn)A,B均在拋物線上),以直線OA的斜率k為參數(shù),求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程.

題3是人教A版(2007年1月第2版)普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修4-4《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》第二講參數(shù)方程第34頁(yè)習(xí)題2.2第5題.

題4已知橢圓的中心為O,長(zhǎng)軸、短軸的長(zhǎng)分別為2a,2b(a>b>0),A,B分別為橢圓上的兩點(diǎn),且OA⊥OB.

(2)求△AOB面積的最大值和最小值.

題4是人教A版(2007年1月第2版)普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修4-4《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》第一講坐標(biāo)系第15頁(yè)習(xí)題1.3第6題.

5 結(jié)束語(yǔ)

高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)抽象.對(duì)課本例習(xí)題進(jìn)行多解多變有利于發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì),從而獲得正確的數(shù)學(xué)觀念,增進(jìn)科學(xué)態(tài)度和責(zé)任.教師不僅要結(jié)合教學(xué)實(shí)際情況創(chuàng)設(shè)多種探究情境,以此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī),還要通過(guò)積極改進(jìn)和創(chuàng)新,引導(dǎo)學(xué)生大膽嘗試,養(yǎng)成敢于批判質(zhì)疑和勇于創(chuàng)新的精神.對(duì)于學(xué)生獨(dú)特的解決問(wèn)題的方法,教師更應(yīng)該重視,適時(shí)給予鼓勵(lì),讓學(xué)生體驗(yàn)成功的喜悅,激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造熱情,最終達(dá)到發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的目的.