甘志國(guó)

(北京豐臺(tái)二中,北京 100071)

2023年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)全國(guó)卷壓軸題(即第22題)是一道平面解析幾何題,但涉及不等式問題.文章給出了這道題的題源及推廣,由得到的推廣容易編擬出大量的類似題目.

1 一道高考?jí)狠S題

(1)求W的方程;

2 高考?jí)狠S題的題源

題2 (1998年上海市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題第三題)如圖1,已知一個(gè)正方形的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C均在拋物線y=x2上,求該正方形面積的最小值.

圖1 例2題圖

假設(shè)x1,x2,x3均是非負(fù)數(shù),由AB⊥BC,可得

即(1,x2+x1)·(1,x3+x2)=1+(x2+x1)(x3+x2)=0.

即(x2+x1)(x3+x2)<0.

所以x1,x2,x3不可能均是非負(fù)數(shù)也不可能均是非正數(shù),即x1,x2,x3中有負(fù)數(shù)也有正數(shù),因而x1<0

kABkBC=(x1+x2)(x2+x3)=-1<0.

若kAB<0,則kBC>0.

若kAB=x1+x2>0,由x1<0,可得x2>0.

再由x10.總之,kBC>0.

再由弦長(zhǎng)公式[1],可得

由均值不等式及平方平均≥算術(shù)平均,可得

k2+1≥2k(當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)取等號(hào)),

3 對(duì)題1(2)結(jié)論的推廣

圖2 定理1證明圖

假設(shè)x1,x2,x3均是非負(fù)數(shù),由AB⊥BC,可得

即(1,a(x2+x1))·(1,a(x3+x2))=0=1+a2(x2+x1)(x3+x2)=0.

即(x2+x1)(x3+x2)<0.

所以x1,x2,x3不可能均是非負(fù)數(shù)也不可能均是非正數(shù),即x1,x2,x3中有負(fù)數(shù)也有正數(shù),因而x1<0

kABkBC=a2(x1+x2)(x2+x3)=-1<0.

若kAB<0,則kBC>0;

若kAB=a(x1+x2)>0,由x1<0,可得x2>0.

再由x10.總之,kBC>0.

可再設(shè)點(diǎn)B(p,ap2)(x1

又由兩點(diǎn)A,C均在拋物線y=ax2上,可得

綜上所述,可得欲證結(jié)論成立.

4 對(duì)題1(2)結(jié)論的再推廣

(1)λ(α)是增函數(shù)且值域是(0,+∞);

圖3 定理2證明圖

再由弦長(zhǎng)公式,可得

再由結(jié)論(1),可得

k3λ(α)+2k2-2kλ(α)-1=0

?(k3-2k)λ(α)=1-2k2

?λ(k)=λ(α)

?k=α.

①

②

設(shè)矩形ABCD的面積是S,由①②,可得

a2Smin=a|AB|min·a|BC|min

進(jìn)而可得欲證結(jié)論成立.

a(|AB|+|BC|)min

及定理2(2),可得欲證結(jié)論成立.

5 結(jié)束語(yǔ)

通過對(duì)高考試題的研究,我們可以更好地理解考試,揭示重點(diǎn)考查內(nèi)容,從而更有效地引導(dǎo)教學(xué),為高效教學(xué)提供數(shù)據(jù)支持,重視對(duì)高考試題的研究,能夠精準(zhǔn)地捕捉命題趨勢(shì),科學(xué)地調(diào)整教學(xué)內(nèi)容.