江 浩

(江蘇省沭陽如東中學(xué),江蘇 沭陽 223600)

2013年刊發(fā)的文[1]給出了圓錐曲線上定點(diǎn)定值子弦的定義[1],利用聯(lián)立方程組的方法證明了斜率等和與等積子弦的相關(guān)性質(zhì).文章研究?jī)?nèi)容是近幾年高考考查的熱點(diǎn)問題,比如2020年新高考Ⅰ卷第22題,2022年新高考Ⅰ卷第21題,2022年全國(guó)高考理科乙卷第20題均涉及此類問題,這是廣大考生感覺到非常困難的問題.文[2]提出平移齊次化方法是處理這類問題的一種非常有效的手段[2].本文將基于一般化的圓錐曲線形式,利用平移齊次化方法證明定點(diǎn)定值子弦的相關(guān)性質(zhì),結(jié)論形式更加統(tǒng)一,證明過程更加簡(jiǎn)潔.

1 圓錐曲線上定點(diǎn)定值子弦的定義

設(shè)點(diǎn)P是圓錐曲線上的一個(gè)定點(diǎn),PA,PB是該曲線過定點(diǎn)P的兩條弦,當(dāng)直線PA,PB的斜率之積為定值λ時(shí),稱線段AB為該曲線上定點(diǎn)P的關(guān)于定值λ的斜率等積子弦;當(dāng)直線PA,PB的斜率之和為定值λ時(shí),稱線段AB為該曲線上定點(diǎn)P的關(guān)于定值λ的斜率等和子弦.

2 定點(diǎn)定值子弦的性質(zhì)及其證明

2.1 橢圓與雙曲線上定點(diǎn)定值子弦的性質(zhì)

過曲線(橢圓或雙曲線)Γ:ax2+by2=1(ab≠0)上一個(gè)定點(diǎn)P(x0,y0)分別作兩條不同直線l1,l2與曲線Γ相交,另外兩個(gè)交點(diǎn)分別為A,B,設(shè)直線l1,l2的斜率均存在且均不為0,將其分別記為k1,k2.

設(shè)直線AB:mx+ny=1,所以

ax2+2ax0x(mx+ny)+by2+2by0y(mx+ny)=1.

結(jié)合圖形可知,k1,k2就是該方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,于是有

則2by0m=-2ax0n-2by0nλ-bλ.

直線AB方程兩邊同時(shí)乘以2by0,將上式代入,整理可得

(-2ax0x-2by0λx+2by0y)n-2by0-bλx=0.

則2ax0m=λb-a+2bλy0n.

同理可將AB方程整理成

(2bλy0x+2ax0y)n+x(λb-a)-2ax0=0.

注1 從證明過程可以看出,當(dāng)曲線Γ表示圓時(shí),上述結(jié)論已成立.

2.2 拋物線上定點(diǎn)定值子弦的性質(zhì)

過拋物線Γ:y2=2px(p>0)上一個(gè)定點(diǎn)P(x0,y0)分別作兩條不同直線l1,l2與曲線Γ相交,另外兩個(gè)交點(diǎn)分別為A,B,設(shè)直線l1,l2的斜率均存在且均不為0,將其分別記為k1,k2.

上述性質(zhì)的證明與性質(zhì)1、2的證明方法類似,這里不再贅述.

3 應(yīng)用舉例

記直線AB,AC斜率分別為k3,k4,

設(shè)AM:y=k3(x+2),可得M(0,2k3).

注3 當(dāng)不能確定某條線段是否是曲線上定點(diǎn)的關(guān)于某個(gè)定值λ的斜率等和或等積子弦時(shí),可以利用證明性質(zhì)1,2的方法去探究.

4 結(jié)束語

圓錐曲線中的定點(diǎn)與定值問題是歷年高考必考內(nèi)容之一,也是廣大師生處理起來比較棘手的問題.本文研究了圓錐曲線上定點(diǎn)定值的斜率等和與等積的子弦問題,揭示了過圓錐曲線上一個(gè)定點(diǎn)的兩條直線斜率之和或者之積為定值時(shí),兩交點(diǎn)構(gòu)成的第三條直線恒過定點(diǎn)的重要特征,也可以逆向使用這些性質(zhì)特征,即已知直線恒過定點(diǎn),可以推斷另外兩條直線斜率之和或之積為定值,這可以為研究圓錐曲線問題提供一個(gè)重要線索,為解決問題找到突破口.“授人以魚,不如授人以漁”,平移齊次化方法更加值得我們關(guān)注,它是處理此類問題的一個(gè)非常奏效的方法.