裴玖玲 王憲磊 閆同斌 張洪洲 胡燦

［摘? ? ? ? ? ?要］? 針對自動控制原理課程中系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型教學(xué)中存在的記憶性知識點(diǎn)多、應(yīng)用條件復(fù)雜等問題，給出一種基于康奈爾筆記法的建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型教學(xué)理念與記錄應(yīng)用等實踐教學(xué)方法。依據(jù)康奈爾筆記法對各種數(shù)學(xué)模型的建立方法進(jìn)行了5Ｒ歸納，總結(jié)5種數(shù)學(xué)模型的定義、建立過程和方法，各模型之間的轉(zhuǎn)換方法，以及系統(tǒng)函數(shù)這個最重要數(shù)學(xué)模型的特征和幾種求解方法，便于理解與記憶。通過實例分析與課堂實際教學(xué)效果驗證了所提方法的有效性與可行性。

［關(guān)? ? 鍵? ?詞］? 康奈爾筆記法；自動控制原理；數(shù)學(xué)模型；微分方程；結(jié)構(gòu)圖；信號流圖

［中圖分類號］? G642? ? ? ? ? ? ? ? ? ?［文獻(xiàn)標(biāo)志碼］? A? ? ? ? ? ? ? ? ? ?［文章編號］? 2096-0603（2024）03-0０57-04

一、引言

自動控制原理課程是塔里木大學(xué)（以下簡稱我校）電氣工程及其自動化、自動化、農(nóng)業(yè)電氣化等工科專業(yè)的核心專業(yè)基礎(chǔ)課，為了改變傳統(tǒng)課堂沉悶、學(xué)生學(xué)習(xí)積極性低下問題，在該課程的教學(xué)中融入“新工科”[1]教育理念，對培養(yǎng)學(xué)生興趣，提高學(xué)生動手能力、創(chuàng)新意識、解決復(fù)雜工程問題的能力有極其重要的意義。課程教學(xué)組老師在教學(xué)過程中針對課程教學(xué)痛點(diǎn)，對該課程進(jìn)行教學(xué)改革和教學(xué)創(chuàng)新，通過教學(xué)改革實踐，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力。課程建設(shè)注重結(jié)合專業(yè)應(yīng)用型人才培養(yǎng)目標(biāo)，課程教學(xué)目標(biāo)支撐各專業(yè)人才培養(yǎng)目標(biāo)，根據(jù)專業(yè)人才需求，結(jié)合工程案例，不斷改進(jìn)課程內(nèi)容，以學(xué)生為中心，不斷改變教學(xué)方法，不斷提高學(xué)生的課程實踐技能，使學(xué)生的課程理論水平和實踐能力得到進(jìn)一步提升。隨著打造我校“自動控制原理一流課程”的建設(shè)，把廣泛應(yīng)于醫(yī)學(xué)、計算機(jī)、英語等專業(yè)教學(xué)并獲得成功的康奈爾筆記法引入自動控制原理課堂教學(xué)中[2]，教學(xué)效果與以往相比發(fā)生了本質(zhì)上的改變。

康奈爾筆記法由康奈爾大學(xué)的Walter Pauk博士提出，以Keywords（關(guān)鍵詞）、Notes（筆記）及Summary（概括）為主要特征，包含Record（記錄）、Reduce（簡化）、 Recite（背誦）、 Reflect （補(bǔ)充）、Review（復(fù)習(xí)）5個階段，又稱5R筆記術(shù)[3]，非常適用于自動控制原理課程抽象性、分析對象的復(fù)雜性和多樣性、綜合性的教學(xué)。本文以“塔里木大學(xué)重點(diǎn)學(xué)科建設(shè)”和打造“自動控制原理一流本科課程”項目為依托，針對自動控制原理課程中關(guān)于控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型建立理論教學(xué)和實踐教學(xué)中存在的問題，從教學(xué)理念、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法等實踐環(huán)節(jié)方面進(jìn)行了改進(jìn)。依據(jù)康奈爾筆記將建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了5R歸納，總結(jié)為系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的定義、建立的方法，各種數(shù)學(xué)模型之間的關(guān)系，并注解它們的作用和本質(zhì)。通過這種新的教學(xué)思路，在課堂上把理論與具體實際案例相結(jié)合，促進(jìn)了學(xué)生深入理解系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的相關(guān)內(nèi)容，有助于我校自動控制原理這一課程與國際先進(jìn)教學(xué)水平接軌。

二、康奈爾筆記法

康奈爾筆記法是把筆記、復(fù)習(xí)、自測和思考結(jié)合到一體的學(xué)習(xí)方法，以5R為特征：其精華就是基于筆記本三欄區(qū)間的劃分，將課前預(yù)習(xí)和自測相結(jié)合，快速、準(zhǔn)確地進(jìn)行課堂記錄，從而提高學(xué)生課堂學(xué)習(xí)效率。康奈爾筆記法示意圖如圖1所示，核心在于記錄、簡化、背誦、補(bǔ)充與復(fù)習(xí)，現(xiàn)以建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型為學(xué)習(xí)背景，闡述如何展開相應(yīng)的康奈爾筆記教學(xué)。

（一）記錄（Record）

記錄（Record），顧名思義，讓學(xué)生在最大的筆記欄（Notes）中先進(jìn)行快速直接的記錄與收集[4]。主要記錄數(shù)學(xué)模型的相關(guān)定義和類型。

1.數(shù)學(xué)模型定義、建立方法

數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）內(nèi)部各物理量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。建立了數(shù)學(xué)模型，可以定量（或精確）地給出系統(tǒng)中一些變量之間的相互關(guān)系。系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立，方便對控制系統(tǒng)進(jìn)行各種分析和設(shè)計。因為系統(tǒng)的時域分析、根軌跡分析、頻域分析和系統(tǒng)矯正都是基于數(shù)學(xué)模型對系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析、動態(tài)響應(yīng)分析、誤差分析和系統(tǒng)矯正的。建立方法有機(jī)理建模法和是實驗法，LTI系統(tǒng)常見的數(shù)學(xué)模型有常系數(shù)線性微分方程、系統(tǒng)函數(shù)、頻率特性函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖等。

2.微分方程

根據(jù)元部件伏安關(guān)系和電路定律，通常需要四步就可列寫出系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型：（1）根據(jù)要求，確定輸入量xi（t）、輸出量xo（t）和中間變量。（2）按變量遵循的物理定律列寫元部件的微分方程式。（3）消去中間變量，整理只含xi（t）、xo（t）的微分方程。（4）標(biāo)準(zhǔn)化：xi（t） 在右邊，xo（t） 在左邊，導(dǎo)數(shù)降冪排列。那么，n階LTI系統(tǒng)的時域數(shù)學(xué)模型為式（1）：

3.系統(tǒng)函數(shù)

微分方程數(shù)學(xué)模型雖直觀 ，一旦系統(tǒng)中某個參數(shù)發(fā)生變化或者結(jié)構(gòu)發(fā)生變化，就需要重新排列微分方程，不便于系統(tǒng)的分析與設(shè)計，最重要的數(shù)學(xué)模型是系統(tǒng)函數(shù)。其定義為：零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。在定義中，需要重點(diǎn)指出“一范圍、一條件”，即這個模型適用范圍是LTI系統(tǒng)，零初始條件意味著零初使條件是指當(dāng)t≤0時，系統(tǒng)輸入信號r（t）、輸出信號c（t）以及它們的各階導(dǎo)數(shù)均為零。系統(tǒng)函數(shù)表達(dá)式為式（2）：

可通過S域電路模型求出系統(tǒng)函數(shù)，也可對（1）式求拉氏變換來得到n階系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)拉氏變換，即為式（3）：

4.結(jié)構(gòu)圖

結(jié)構(gòu)圖，是一種將控制系統(tǒng)圖形化了的數(shù)學(xué)模型， 可以形象直觀地描述系統(tǒng)中各元件間的相互關(guān)系及其功能以及信號在系統(tǒng)中的傳遞、變換過程，圖中包含信號線、方框、比較器三種元素。它是系統(tǒng)各元件特性、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和信號流向的圖解表示法，如下圖2（a）所示。把環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)標(biāo)在結(jié)構(gòu)圖的方塊里，這樣輸入量和輸出量就可用傳遞函數(shù)表示，如圖2（b）所示。這時Y（s）=G（s）X（s）的關(guān)系可以在結(jié)構(gòu)圖中體現(xiàn)出來。并且，各環(huán)節(jié)結(jié)構(gòu)圖通過串聯(lián)、并聯(lián)、反饋連接方式，可以表示出任何復(fù)雜系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。通過結(jié)構(gòu)圖的化簡，可以導(dǎo)出系統(tǒng)函數(shù)。

5.信號流圖

也是一種圖形化的數(shù)學(xué)模型，是結(jié)構(gòu)圖的簡化表達(dá)。通過節(jié)點(diǎn)［X1（s）、X2（s）］、支路（連接節(jié)點(diǎn)的帶箭頭的線段）、增益（支路旁標(biāo)的傳遞函數(shù)G（s））三種元素， 是用圖示方法表示出線性化代數(shù)方程組變量間關(guān)系，如圖3所示。由信號流圖，利用梅森公式，可以求出系統(tǒng)函數(shù)。

6.頻率特性

頻率特性函數(shù)是系統(tǒng)在頻域中的數(shù)學(xué)模型，定義為零初始條件下，系統(tǒng)輸出信號的傅里葉變換與輸入信號的傅里葉變換之比，即為式（4）。

通過對微分方程求傅里葉變換，可推導(dǎo)出頻率特性函數(shù)。當(dāng)然，也可通過系統(tǒng)函數(shù)來求出頻率特性函數(shù)。

（二）簡化（Reduce）

簡化也就是從繁雜的知識信息中獲取關(guān)鍵詞、關(guān)鍵句，用最快速度理清學(xué)習(xí)思路，起到提綱挈領(lǐng)作用。系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型種類很多，除了有時域的、頻域的、S域的，還有圖形化了的數(shù)學(xué)模型，結(jié)構(gòu)圖和信號流圖，畫出數(shù)學(xué)模型的思維導(dǎo)圖，即為圖4。需要注意，一個系統(tǒng)在不同域可以有不同的數(shù)學(xué)模型，且各個模型之間不是孤立的，而是可以互相轉(zhuǎn)化的。

（三）背誦（Recite）

背誦，就是把簡化的重點(diǎn)與記錄的資料作對照，輸出學(xué)習(xí)行動的執(zhí)行力，其要旨就是突出內(nèi)容的本質(zhì)與深度，盡力精簡，便于記憶。根據(jù)講義，需要背誦并掌握各個模型的建立方法。

由電氣原理圖建立時域微分方程數(shù)學(xué)模型時，需要四個步驟：（1）根據(jù)要求，確定xi（t）、xo（t）和中間變量。（2）按變量遵循的物理定律列寫元器件的微分方程式。（3）由電氣原理圖變量，整理只含xi（t）、xo（t）的微分方程。（4）標(biāo)準(zhǔn)化：xi（t） 在右邊，xo（t） 在左邊，導(dǎo)數(shù)降冪排列。（注意：只需要確定變量、列方程、消變量、標(biāo)準(zhǔn)化四個步驟。）

由電氣原理圖繪制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖時，也需要四個步驟：（1）確定系統(tǒng)的輸入、輸出變量。（2）由輸入到輸出列寫各組成環(huán)節(jié)（元件）的微分方程。（3）由各環(huán)節(jié)（元件）微分方程列寫拉氏變換方程并繪制對應(yīng)的傳函方框圖。（4）根據(jù)信號流向由輸入到輸出連接各環(huán)節(jié)（元件）的傳函方框圖。（注意：只需要確定變量、列寫元部件微分方程組、轉(zhuǎn)化成拉氏方程組并繪制環(huán)節(jié)結(jié)構(gòu)圖、連接各環(huán)節(jié)結(jié)構(gòu)圖這四步。）

結(jié)構(gòu)圖化簡可得系統(tǒng)函數(shù)這個數(shù)學(xué)模型，需要注意利用環(huán)節(jié)串聯(lián)、并聯(lián)、反饋、相加點(diǎn)前移和后移、分支點(diǎn)前移和后移、相鄰相加點(diǎn)的移動、相鄰分支點(diǎn)移動等化簡規(guī)則。

由結(jié)構(gòu)圖、微分方程、系統(tǒng)函數(shù)可畫出簡化的系統(tǒng)圖形數(shù)學(xué)模型——信號流圖。當(dāng)然，已知系統(tǒng)的信號流圖，利用梅森公式，也可得系統(tǒng)函數(shù)、微分方程等數(shù)學(xué)模型。系統(tǒng)輸入量和輸出量之間傳遞函數(shù)（增益）的梅遜公式為式（5）：

根據(jù)微分方程，求零初始狀態(tài)下的拉氏變換，可得系統(tǒng)函數(shù)數(shù)學(xué)模型。

根據(jù)微分方程，求零初始狀態(tài)下的傅里葉變換，可得系統(tǒng)的頻率響應(yīng)數(shù)學(xué)模型，且頻域數(shù)學(xué)模型，可直接轉(zhuǎn)換S域的系統(tǒng)函數(shù)。

根據(jù)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，通過求拉氏變換，可得系統(tǒng)函數(shù)；求傅里葉變換，可得系統(tǒng)頻率特性函數(shù)。

（四）補(bǔ)充（Reflect）

補(bǔ)充（Reflect），對系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型有了整體了解之后，對傳遞函數(shù)這個最基本、最重要的數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)、與其他數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化方面，做一下補(bǔ)充。已知其他數(shù)學(xué)模型，如微分方程、結(jié)構(gòu)圖、信號流圖等求傳遞函數(shù)的思維導(dǎo)圖如圖5所示。

傳遞函數(shù)常見有三種形式，除了如（3）式的有理真分式，還有首1式和尾1式。首1式，又稱零極點(diǎn)形式，即式（6）：

在式（6）中，傳遞函數(shù)分子M（s）=0，解下來的s值即為零點(diǎn)；傳遞函數(shù)分母D（s）=0，解下來的s值即為極點(diǎn)；（傳遞函數(shù)的極點(diǎn)就是系統(tǒng)的特征根）；零極點(diǎn)分布決定著系統(tǒng)的性能，根軌跡分析系統(tǒng)時，系統(tǒng)函數(shù)通常寫成首1式。并且，如果系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)全部在S平面的左半平面，對應(yīng)的系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)，否則，如果有極點(diǎn)或零點(diǎn)出現(xiàn)在右半平面，對應(yīng)的系統(tǒng)就為非最小相位系統(tǒng)。

尾1式，又稱時間常數(shù)形式，即式（7）：

從系統(tǒng)函數(shù)的尾1式，可以很清楚地看出系統(tǒng)由哪些典型的環(huán)節(jié)（元部件）組成，在對系統(tǒng)做頻域分析和系統(tǒng)矯正的時候，系統(tǒng)函數(shù)經(jīng)常采用尾1式，即典型環(huán)節(jié)組合形式。常見的典型環(huán)節(jié)，有比例環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、純積分環(huán)節(jié)等，我們可以看出，除延遲環(huán)節(jié)，其他典型環(huán)節(jié)的零極點(diǎn)都在S平面的左半平面，所以，如果一個系統(tǒng)是由典型環(huán)節(jié)（延遲環(huán)節(jié)除外）組成的，系統(tǒng)就是最小相位系統(tǒng)。

系統(tǒng)函數(shù)的10大特點(diǎn)：（1）傳遞函數(shù)是一種數(shù)學(xué)模型，是對微分方程在零初始條件下進(jìn)行拉氏變換得到的。（2）傳遞函數(shù)與微分方程一一對應(yīng)，有相通性。（3）傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù)，分子的階數(shù)m一般低于或等于分母的階數(shù)n，即m≤n，且所有系數(shù)均為實數(shù)。（4）傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而與輸入信號的形式和大小無關(guān)。（5）傳遞函數(shù)描述了系統(tǒng)的外部特性（輸出與輸入之間的關(guān)系），但它不反映系統(tǒng)的內(nèi)部物理結(jié)構(gòu)的有關(guān)信息，因為許多不同的物理系統(tǒng)具有完全相同的傳遞函數(shù)，這就是系統(tǒng)的相似性。（6）傳遞函數(shù)一旦確定，系統(tǒng)在一定的輸入信號下的動態(tài)特性就確定了。（7）傳遞函數(shù)的拉氏反變換是系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)，反過來單位脈沖響應(yīng)的拉氏變換是系統(tǒng)函數(shù)，即g（t）=L-1［G（s）］ G（s）=L［g（s）］。（8）傳遞函數(shù)只能表示輸入與輸出的函數(shù)關(guān)系，至于系統(tǒng)中的中間變量無法反映出來。（9）一個傳遞函數(shù)只能表示一個輸入對一個輸出的函數(shù)關(guān)系。（10）傳遞函數(shù)概念僅適用于線性定常系統(tǒng)，具有復(fù)變函數(shù)的所有性質(zhì)。