福建省福清第三中學(xué)(350000) 唐洵

1 題目呈現(xiàn)

題1(2023 年高考全國(guó)甲卷理第21 題) 已知函數(shù)f(x)=ax-x ∈

(1)當(dāng)a=8 時(shí),討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若f(x)＜sin 2x,求a的取值范圍.

2 解法展示

由于第(1)問較簡(jiǎn)單,本文不作闡述,僅給出解答過程.

下面來看第(2)問的解答過程.

解法1(整體構(gòu)造函數(shù),分類討論定界)

綜上所述,a的取值范圍為(-∞,3].

解法2(端點(diǎn)效應(yīng)引路,充要條件護(hù)航)

解法3(半分離參數(shù),凹凸性輔助)

圖1

解法4(先分離,再放縮,后完善)

注上述兩次放縮過程中,sinx=x,cosx=1 的等號(hào)同時(shí)取到.

3 命題手法

(2)凹凸性判定:設(shè)y=f(x)在[a,b]上連續(xù),且在(a,b)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù);若f(x) 在(a,b) 內(nèi)有f′′(x)＞0,則f(x) 在[a,b] 上是凹(下凸) 函數(shù),若f(x) 在(a,b) 內(nèi)有f′′(x)＜0,則f(x)在[a,b]上是凸(上凸)函數(shù);

(3)命題步驟:

第一步,選擇基礎(chǔ)函數(shù),明晰自身性質(zhì);命題者先選擇了三角函數(shù)y=sinx,y=cosx,y=tanx作為主干函數(shù),而這些函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性、周期性、凹凸性等函數(shù)性質(zhì)都是大家顯而易見、耳熟能詳?shù)?

4 同題賞析

事實(shí)上,筆者在研究的過程中,驚喜的發(fā)現(xiàn),2023 年全國(guó)高考的六套試卷中,竟然有5 個(gè)導(dǎo)數(shù)解答題的壓軸部分,均可基于上述命題手法解題:

題2(2023 年高考全國(guó)甲卷文第20 題) 已知函數(shù)f(x)=

(1)當(dāng)a=1 時(shí),討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若f(x)+sinx ＜0,求a的取值范圍.

圖2

題3(2023 年高考全國(guó)乙卷文第20 題) 已知函數(shù)f(x)=ln(1+x).

(1)當(dāng)a=-1 時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(x))處的切線方程.

(2)若函數(shù)f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,求a的取值范圍.

題5(2023 年新高考Ⅰ卷第19 題) 已知函數(shù)f(x)=a(ex+a)-x.

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)證明:當(dāng)a ＞0 時(shí),f(x)＞2lna+

圖3

圖4

5 經(jīng)典錯(cuò)例

題6(2020 年高考新課標(biāo)Ⅰ卷第21 題) 已知函數(shù)f(x)=ex+ax2-x.

(1)當(dāng)a=1 時(shí),討論f(x)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)x≥0 時(shí),f(x)≥+1,求a的取值范圍.

利用端點(diǎn)效應(yīng)解題存在著一定的局限性,筆者2019-2020 年從事高三教學(xué)工作,那時(shí)福建省使用新課標(biāo)Ⅰ卷,其壓軸題為題6,部分學(xué)生在整體構(gòu)造函數(shù)后,使用端點(diǎn)效應(yīng)求解題6 第(2)問,得到a的取值范圍為[-,+∞),進(jìn)而滿盤皆輸,糾其根本原因,就是對(duì)端點(diǎn)效應(yīng)的原理未進(jìn)行深入理解和探究,部分老師在教學(xué)時(shí)只注重技巧,不傳授本質(zhì);事實(shí)上,端點(diǎn)效應(yīng)的原理與曲線的切線密不可分,因此本道高考題的試題命制以及解題手法也與題1 至題5 一致,具體如下:

圖5