廣東省廣州市華南師范大學(xué)附屬中學(xué)(510630) 周建鋒

1 問(wèn)題的提出

新課程改革對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)尤為關(guān)注,而科學(xué)性、嚴(yán)謹(jǐn)性是一切素養(yǎng)的基礎(chǔ).學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)解析幾何,既有對(duì)圖形特性的研究,也有對(duì)代數(shù)特性的研究,將數(shù)與形完美結(jié)合,對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算有著十分重要的意義.然而,因?yàn)閳A錐曲線圖形的特殊性,極易出現(xiàn)邏輯或運(yùn)算錯(cuò)誤,甚至包括出題者都極易犯錯(cuò).

筆者在2021 年某地高考模擬題中發(fā)現(xiàn)一道錯(cuò)題,原題及解答如下:

(1)求曲線C的方程;

2 問(wèn)題辨析

有些曲線由于完備性,曲線中的某些點(diǎn)是不存在的,要特別注意這些不存在的點(diǎn)是否會(huì)對(duì)后面的問(wèn)題產(chǎn)生影響.本題中的橢圓去掉了左、右兩個(gè)頂點(diǎn),則直線l不能過(guò)這兩個(gè)頂點(diǎn),忽視這個(gè)隱含條件導(dǎo)致了錯(cuò)題的產(chǎn)生.

3 其它典型案例

解析幾何類似的由于忽視隱含條件導(dǎo)致求解或命題錯(cuò)誤的例子還有很多,再舉幾例:

3.1 忽視曲線的完備性

例1(2010 年廣東省高考數(shù)學(xué)試卷(理科) 第20 題)一條雙曲線-y2=1 的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,點(diǎn)P(x1,y1),Q(x1,-y1)是雙曲線上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)求直線A1P與A2Q交點(diǎn)的軌跡E的方程式;

(2)若過(guò)點(diǎn)H(0,h)(h ＞1)的兩條直線l1和l2與軌跡E都只有一個(gè)公共點(diǎn),且l1⊥l2,求h的值.[1]

辨析上述解答是當(dāng)時(shí)許多考生的錯(cuò)誤解法.

與文初的模擬題類似,同樣是因?yàn)楹鲆暳饲€的完備性,直接導(dǎo)致后面的解答出現(xiàn)錯(cuò)漏,這是值得我們反思的.

3.2 忽視最值成立的條件

例2已知F是雙曲線=1 的左焦點(diǎn),A(1,4),P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn),則|PF|-|PA|的最小值為_(kāi)___.

錯(cuò)解設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為F1,則|PF|-|PA|=|PF1|-|PA|+2a≥-|AF1|+2a=-1(當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在AF1延長(zhǎng)線上時(shí)取等號(hào)),所以|PF|-|PA|的最小值為-1.

辨析本題中等號(hào)成立的條件是點(diǎn)P在AF1延長(zhǎng)線上,漸近線y=然而檢驗(yàn)如圖1,所以AF1延長(zhǎng)線與雙曲線右支無(wú)交點(diǎn),等號(hào)不成立! 同理,不作|PF|=|PF1|+2a的轉(zhuǎn)換,直接求|PF|-|PA|的最小值,要求點(diǎn)P在AF的延長(zhǎng)線上,也不可能與雙曲線右支有交點(diǎn).這又是一道忽視驗(yàn)證條件產(chǎn)生的錯(cuò)題!

圖1

例3拋物線y2=4x上兩動(dòng)點(diǎn)A,B滿足|AB|=3,求AB中點(diǎn)M到y(tǒng)軸距離的最小值.

錯(cuò)解如圖2,設(shè)拋物線焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線x=-1,分別過(guò)A,B,M向準(zhǔn)線作垂線,垂足分別為C,D,E,則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離d=|ME|-1.而

圖2

辨析這種錯(cuò)解仍然是忽視了最值成立的條件,只是這個(gè)條件比較隱蔽.拋物線最短的焦點(diǎn)弦為通徑,此時(shí)通徑長(zhǎng)為4,但|AB|=3＜4,所以弦AB不可能過(guò)焦點(diǎn)F,因而取不到最小值

3.3 忽視雙曲線的特殊性

辨析因?yàn)閨PF1|＜a+c,所以點(diǎn)P在靠近F1的那支上,所以|PF2|＞|PF1|,所以|PF2|-|PF1|=2×3=6.又因?yàn)閨PF1|=7,所以|PF2|=13.

例5過(guò)雙曲線x2-=1 的右焦點(diǎn)作直線l交雙曲線A,B兩點(diǎn),則滿足|AB|=6 的直線l有()

A.4 條 B.3 條 C.2 條 D.1條

錯(cuò)解過(guò)焦點(diǎn)垂直于x軸的通徑長(zhǎng)為=6,由于通徑是焦點(diǎn)弦中最短的弦,所以滿足條件的直線l只有1 條.

辨析當(dāng)直線l的傾斜角為90°時(shí),|AB|==6;當(dāng)直線l的傾斜角為0°時(shí),|AB|=2＜6.故當(dāng)直線l適當(dāng)傾斜時(shí),還可作出兩條直線使得|AB|=6.

事實(shí)上,當(dāng)直線l斜率存在時(shí),設(shè)y=k(x-2),代入雙曲線方程得

解得k=±1,即當(dāng)k=±1 時(shí),也滿足|AB|=6.故選B.

對(duì)橢圓、拋物線而言,最短的焦點(diǎn)弦為通徑,但雙曲線的焦點(diǎn)弦還可能是左右兩支上的交點(diǎn)構(gòu)成的弦,最短長(zhǎng)不一定是通徑長(zhǎng).對(duì)于雙曲線=1(a ＞0,b ＞0),過(guò)右焦點(diǎn)的弦AB,若兩端點(diǎn)均在右支,則最短弦長(zhǎng)即為通徑長(zhǎng),即|AB|∈[,+∞);若兩端點(diǎn)分別在左、右兩支,則最短弦長(zhǎng)為2a,即|AB|∈[2a,+∞).如本題中通徑長(zhǎng)為6,弦AB端點(diǎn)同在右支時(shí),最短弦長(zhǎng)為6,只有唯一的一條弦;但端點(diǎn)分別在左、右兩支的弦最短為2,再加上對(duì)稱性,此時(shí)有兩條弦長(zhǎng)度為6,因而共計(jì)3 條弦滿足要求.

3.4 忽視幾何圖形的概念

例6已知圓C:x2+y2=1,過(guò)點(diǎn)P(-2,0)作直線l與圓C相交于A,B兩點(diǎn),求弦AB中點(diǎn)M的軌跡方程.

錯(cuò)解由圓的性質(zhì),OM⊥AB(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),即點(diǎn)M與兩定點(diǎn)P,O的連線始終垂直,所以點(diǎn)M在以O(shè)P為直徑的圓上,所以點(diǎn)M的軌跡方程為x(x+2)+y2=0,即x2+y2+2x=0.

辨析因?yàn)辄c(diǎn)M是弦AB的中點(diǎn),所以必然在圓C內(nèi),且M與O重合時(shí)也符合題意,所以點(diǎn)M的軌跡是方程應(yīng)為x2+y2+2x=0(-＜x≤0).還有一種錯(cuò)誤是認(rèn)為-≤x≤0,即弦AB重合為一個(gè)點(diǎn)時(shí)也符合題意.

筆者認(rèn)為點(diǎn)與線段還是不同的兩個(gè)圖形,正如點(diǎn)和圓被認(rèn)為是不同的圖形一樣.為此,筆者曾提出人教A 版教材選擇性必修一第108 頁(yè)例2 的一個(gè)問(wèn)題:

原文: 如圖3,在圓x2+y2=4 上任取一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P x軸的垂線段PD,D為垂足.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段PD的中點(diǎn)M的軌跡是什么? 為什么?

圖3

4 反思

數(shù)學(xué)思維的科學(xué)性和嚴(yán)謹(jǐn)性是數(shù)學(xué)教育一直追求的核心目標(biāo),是數(shù)學(xué)的基石,數(shù)學(xué)推理只有建立在科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)幕A(chǔ)上,邏輯鏈條才牢不可破.解析幾何是幾何和代數(shù)的完美結(jié)合,在問(wèn)題求解過(guò)程中,由于圖形特性和代數(shù)特性會(huì)產(chǎn)生一些隱含的約束條件,如斜率不存在、三角形三頂點(diǎn)不共線、圓的弦中點(diǎn)在圓內(nèi)、判別式大于0 導(dǎo)致的范圍問(wèn)題、方程同解變形導(dǎo)致的范圍問(wèn)題等.如果我們不加以重視,就會(huì)造成問(wèn)題求解中的錯(cuò)漏,甚至命題出現(xiàn)錯(cuò)誤.作為教育工作者更應(yīng)該警醒,教育學(xué)生注重解析幾何的這一特點(diǎn),而且在命制題目時(shí),更要注意對(duì)嚴(yán)謹(jǐn)性的考察,以免命制出錯(cuò)題,造成嚴(yán)重的影響.