胡芳芳 張永

摘?要：在大思政的背景下，各高校教師積極探索將思政元素融入高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，如何將高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)探索的結(jié)果和積累的經(jīng)驗(yàn)穩(wěn)落地、見(jiàn)實(shí)效，作出更加優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)，既是課程思政建設(shè)的基本要求，也是高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)涵提升的必然選擇。本文以定積分概念為例，挖掘定積分概念蘊(yùn)含的思政元素，闡述教學(xué)設(shè)計(jì)思路，給出在教學(xué)過(guò)程中怎樣具體實(shí)施課程思政。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；課程思政；立德樹(shù)人；定積分

中圖分類號(hào)：G4?????文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A??????doi：10.19311/j.cnki.16723198.2024.06.069

0?引言

課程思政是高校貫徹立德育人要求的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)的重要舉措，是完善全員全程全方位“傳道授業(yè)解惑”的立德樹(shù)人過(guò)程。2020年教育部印發(fā)《高等學(xué)校課程思政建設(shè)指導(dǎo)綱要》，強(qiáng)調(diào)高校思政教育工作，要充分發(fā)揮思想政治課之外的其他各類各門課程在“鑄魂育人”作用。

在大思政的背景下，各高校教師積極探索將思政元素融入高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，并取得一些成果，如何將高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)探索的結(jié)果和積累的經(jīng)驗(yàn)穩(wěn)落地、見(jiàn)實(shí)效，從而作出更加的優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)，這既是課程思政建設(shè)的基本要求，也是高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)涵提升的必然選擇。

本文以案例研究為基礎(chǔ)，以解決問(wèn)題為導(dǎo)向，以高等數(shù)學(xué)課程為依托，將問(wèn)題驅(qū)動(dòng)法、教師引導(dǎo)法和講授法相互結(jié)合進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，調(diào)動(dòng)學(xué)生充分融入課堂教學(xué)，結(jié)合數(shù)學(xué)家的精神感染力量，講好數(shù)學(xué)家的故事，從培育科學(xué)思維和職業(yè)素養(yǎng)的角度入手，學(xué)習(xí)踏踏實(shí)實(shí)的探索精神，樹(shù)立文化自信和認(rèn)同感，激勵(lì)學(xué)生自豪感和使命感，增強(qiáng)愛(ài)國(guó)情懷，有效提升解決實(shí)際問(wèn)題的能力。本文將高等數(shù)學(xué)與課程思政相結(jié)合，其教學(xué)方法、設(shè)計(jì)思路具有普適性，適合在各高校高等數(shù)學(xué)課程中進(jìn)行嘗試，具有廣泛的參考意義。

1?教學(xué)設(shè)計(jì)思路

教師在授課過(guò)程中將課程思政融入定積分的概念，創(chuàng)造數(shù)學(xué)情境，以此來(lái)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題，以解決課程基本問(wèn)題的主要思想為主線。首先，通過(guò)播放賽里木湖的風(fēng)景，介紹賽里木湖的由來(lái)，并從不規(guī)則的湖面，引出不規(guī)則圖形的面積計(jì)算問(wèn)題，結(jié)合新疆歷史、生態(tài)環(huán)境，進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生的環(huán)保意識(shí)和保護(hù)環(huán)境的責(zé)任感。將不規(guī)則圖形面積的計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為曲邊梯形面積的計(jì)算問(wèn)題，借助劉徽“割圓術(shù)”的思想，啟發(fā)學(xué)生尋找思路，在領(lǐng)會(huì)其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想的同時(shí)，激發(fā)學(xué)生民族自豪感。其次，用畫板動(dòng)畫演示對(duì)曲邊梯形無(wú)限分割，無(wú)限逼近的過(guò)程，重點(diǎn)演示“直與曲的轉(zhuǎn)化，有限向無(wú)限的轉(zhuǎn)化”思想，滲透“以直代曲”的數(shù)學(xué)思想，帶領(lǐng)學(xué)生歸納總結(jié)定積分的定義，并給出定義中的符號(hào)說(shuō)明，啟發(fā)學(xué)生感受定義所蘊(yùn)含的辯證唯物主義的哲學(xué)思想。隨后，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)理論知識(shí)解決課前提出的實(shí)例問(wèn)題，增強(qiáng)學(xué)生的分析能力及運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，激勵(lì)學(xué)生為今后我國(guó)的科學(xué)、社會(huì)、經(jīng)濟(jì)的發(fā)展作出貢獻(xiàn)。最后，對(duì)本節(jié)課進(jìn)行及時(shí)的總結(jié)和反思，引領(lǐng)學(xué)生課后繼續(xù)深度思考，真正把所學(xué)的理論知識(shí)運(yùn)用到生活實(shí)踐中，達(dá)到數(shù)學(xué)生活化。

2?教學(xué)過(guò)程

2.1?案例欣賞，問(wèn)題導(dǎo)入

首先播放賽里木湖視頻，簡(jiǎn)單介紹賽里木湖的形成過(guò)程及歷史文化：賽里木湖由于海拔、地形、氣候等因素造就了它的獨(dú)特魅力，如今的賽里木湖景區(qū)有珍稀瀕危和重大科研價(jià)值的關(guān)鍵動(dòng)植物種類多達(dá)184種，實(shí)現(xiàn)了人與自然的和諧共存，由于豐富的人文資源和動(dòng)植物資源，培養(yǎng)學(xué)生保護(hù)生態(tài)環(huán)境意識(shí)，樹(shù)立人與自然和諧共處理念，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。隨后，借助測(cè)量不規(guī)則的賽里木湖湖面面積問(wèn)題，引出計(jì)算不規(guī)則圖形面積問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生善于觀察、勤于思考的能力。

2.2?引導(dǎo)轉(zhuǎn)化，建立模型

在我們生活中大到測(cè)量各省占地面積，小到測(cè)量湖面面積，那對(duì)于這樣不規(guī)則圖形的面積計(jì)算問(wèn)題該如何解決？以賽里木湖規(guī)劃圖為例，先讓學(xué)生通過(guò)觀察獨(dú)立思考，對(duì)于這樣不規(guī)則的湖面，以我們目前掌握的方法無(wú)法直接進(jìn)行求解，引導(dǎo)學(xué)生用水平和垂直的直線對(duì)湖面進(jìn)行分割，分割后得到若干規(guī)則圖形（可求面積）和帶有曲邊的不規(guī)則圖形（引入曲邊梯形定義），將分割過(guò)程以動(dòng)畫的形式展示并將靠近岸邊的不規(guī)則圖形抽象到平面直角坐標(biāo)系中，湖的邊界就是曲線，帶領(lǐng)學(xué)生從圖形上直觀的認(rèn)識(shí)由x=a，x=b，x軸，以及曲線y=f（x）（其中函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［a，b］上非負(fù)、連續(xù)）所圍成的類似于梯形的圖形稱為曲邊梯形，此過(guò)程將生活中的實(shí)際問(wèn)題化為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題并建立數(shù)學(xué)模型：求解一個(gè)曲邊梯形的面積。實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)模型的過(guò)程如圖1所示。

對(duì)于圖1中曲邊梯形面積的計(jì)算，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題來(lái)建立數(shù)學(xué)模型，對(duì)數(shù)學(xué)模型來(lái)進(jìn)行求解，從而解決實(shí)際問(wèn)題，在此過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的洞察力和想象力，提升學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力，促使學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和其他能力協(xié)同發(fā)展。

2.3?分析模型，形成概念

要想解決靠近岸邊的不規(guī)則圖形的面積問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生回顧劉徽“割圓術(shù)”的基本思想，就是說(shuō)分割越細(xì)，誤差就越小，無(wú)限細(xì)分就能逐步接近圓周率的實(shí)際值。劉徽首創(chuàng)“割圓術(shù)”的方法，可以說(shuō)他是中國(guó)古代極限思想的杰出代表，對(duì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展研究作出了重要貢獻(xiàn)，激發(fā)學(xué)生愛(ài)國(guó)熱情。如今正處于數(shù)據(jù)互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代，尤其是未來(lái)在人工智能這一領(lǐng)域的賽道中，鼓勵(lì)學(xué)生要有迎難而上、敢為人先的探索精神和刨根問(wèn)底、嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的求實(shí)精神。必須要堅(jiān)持顯性教育與隱性教育相統(tǒng)一、課程與思政有機(jī)結(jié)合，這是實(shí)現(xiàn)立德樹(shù)人、育人育才有機(jī)結(jié)合的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，這樣才能達(dá)到更好地教學(xué)效果。接著借助多媒體演示割圓術(shù)的過(guò)程，如圖2所示。

接下來(lái)借鑒“割圓術(shù)”思想，引導(dǎo)學(xué)生自行發(fā)現(xiàn)“以直代曲”方法，從而增強(qiáng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)和探索信心。到目前，我們所求面積的圖形多為直邊圖形，例如：三角形、矩形等，但是對(duì)于這樣的曲邊梯形，它面積的精確值是無(wú)法直接求解的，但可以先求它的近似值，如何來(lái)求近似值呢？引導(dǎo)學(xué)生不妨以矩形面積來(lái)近似代替曲邊梯形面積，上方空白區(qū)域是誤差，當(dāng)用兩個(gè)矩形面積來(lái)近似代替時(shí)，誤差減小了，如果用四個(gè)矩形面積代替呢，誤差更小了，受此啟發(fā)，當(dāng)矩形的個(gè)數(shù)越來(lái)越多時(shí)，其面積之和與曲邊梯形的面積越來(lái)越接近，如果無(wú)限分割下去呢？所得矩形面積之和的極限就為曲邊梯形的面積。在整個(gè)過(guò)程中，借助極限思想，帶領(lǐng)學(xué)生體會(huì)用有限來(lái)研究無(wú)限的哲學(xué)思想，從“不變”認(rèn)識(shí)“變”，從直線形認(rèn)識(shí)曲線形，從近似認(rèn)識(shí)精確，在授課過(guò)程中將理論知識(shí)與唯物辯證法相結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生在掌握理論知識(shí)的同時(shí)，學(xué)會(huì)用唯物辯證法的原理分析和解決實(shí)際問(wèn)題，過(guò)程如圖?3。

通過(guò)上述分析，計(jì)算曲邊梯形的面積所采用的分析思路和求解方法分為四步，稱為積分“四步曲”：

第一步分割：取分點(diǎn)xi∈［a，b］（i=0，1，2，…，n）：

a=x0＜x1＜x2＜…＜xi-1＜xi＜…＜xn=b，

將底邊對(duì)應(yīng)區(qū)間［a，b］分成n個(gè)小區(qū)間［xi-1，xi］，其長(zhǎng)度依次記為Δxi=xi-xi-1，（i=0，1，2，…，n）。

第二步近似：在［xi-1，xi］上任取一點(diǎn)ξi，并以底為［xi-1，xi］、高為f（ξi）的矩形近似代替第i個(gè)小曲邊梯形（i=0，1，2，…，n），從而整不大曲邊格形面積的近似值為∑ni=1f（ξi）·Δxi，顯然，區(qū)間分劃愈細(xì)，則該梯形面積近似值的精度愈高。

第三步求和：將這n個(gè)小矩形面積求和得到整個(gè)曲邊梯形面積的近似值，需要特別注意的是這里得到的仍然是近似值。

第四步取極限：記λ=max1

nΔxi，令λ→0，此即意味著對(duì)區(qū)間［a，b］的分割無(wú)限加密（此時(shí)必有n→∞）．于是，我們便將其極限值limn→∞∑ni=1f（ξi）·Δxi定義為曲邊梯形的面積。

綜上所述，需要特別注意的是每一次的分割均是有限分割，恰恰是用無(wú)限次的有限分割最終達(dá)到了無(wú)限細(xì)分，其中每一次的有限分割都要保證分割、取點(diǎn)任意，幫助學(xué)生形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度。取極限的過(guò)程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，分析λ的含義，循序漸進(jìn)借助圖形幫助學(xué)生理解極限的思想，并將極限思想上升到哲學(xué)領(lǐng)域，即量變到質(zhì)變。告訴學(xué)生只有腳踏實(shí)地，?持續(xù)不斷努力，才能實(shí)現(xiàn)質(zhì)的飛躍，到達(dá)勝利彼岸。

下面帶領(lǐng)學(xué)生再來(lái)分析一個(gè)物理學(xué)問(wèn)題，求物體從T1時(shí)刻做變速直線運(yùn)動(dòng)至T2時(shí)刻，所經(jīng)過(guò)的路程s，對(duì)于變速直線運(yùn)動(dòng)這樣一個(gè)不恒定量的求解，仍然運(yùn)用積分“四步曲”求解數(shù)學(xué)模型，通過(guò)上述兩個(gè)問(wèn)題分析，可以看到：一個(gè)是物理學(xué)問(wèn)題，一個(gè)是幾何學(xué)問(wèn)題，所得的結(jié)論也具有共同特征：均為乘積的和的極限，通過(guò)概括總結(jié)上述共性得到定積分的定義，從而培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力和知識(shí)遷移能力。著重強(qiáng)調(diào)積分“四步曲”的重要性，為后續(xù)學(xué)習(xí)重積分、曲線積分奠定扎實(shí)的基礎(chǔ)。隨后，為了幫助學(xué)生更好地理解和掌握定積分的定義，對(duì)定積分的符號(hào)進(jìn)行說(shuō)明，加深學(xué)生對(duì)定積分概念的理解，掌握定積分的幾何意義，逐漸形成正確的數(shù)學(xué)觀。通過(guò)?PPT?對(duì)符號(hào)進(jìn)行說(shuō)明，如下圖?4。

2.4?應(yīng)用理論，解決問(wèn)題

分析完定義，帶領(lǐng)學(xué)生回到課前一開(kāi)始提出的問(wèn)題：如何計(jì)算賽里木湖的湖面面積。進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考定積分還可以解決生活中哪些實(shí)際問(wèn)題？讓學(xué)生積極參與到課堂教學(xué)中，了解所學(xué)知識(shí)的應(yīng)用領(lǐng)域，幫助學(xué)生樹(shù)立學(xué)以致用的意識(shí)。通過(guò)解決實(shí)際案例，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力，讓學(xué)生在具體實(shí)踐中感知自己對(duì)知識(shí)的掌握度，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)以致用的能力，進(jìn)一步對(duì)定積分的概念加以鞏固和理解。作為教師要善于用生活事例豐富課堂，調(diào)動(dòng)學(xué)生自主參與探究，引導(dǎo)學(xué)生將生活與學(xué)習(xí)聯(lián)系起來(lái)，讓學(xué)生感受生活中存在的數(shù)學(xué)，達(dá)到學(xué)以致用的目的。應(yīng)該把自己的學(xué)業(yè)和職業(yè)目標(biāo)與國(guó)家的發(fā)展目標(biāo)緊密結(jié)合起來(lái)，提高自身能力，以便更好地為國(guó)家的發(fā)展作出貢獻(xiàn)。

2.5?揭示本質(zhì)，落腳思政

2.6?繼續(xù)探索，課后延伸

通過(guò)學(xué)習(xí)定積分的概念，解決課堂中提出的實(shí)際問(wèn)題。課后讓學(xué)生以小組為單位收集定積分在實(shí)際生活中應(yīng)用案例，例如：火箭發(fā)射所做的功、“蛟龍”號(hào)載人潛水器在水下的壓強(qiáng)、北斗衛(wèi)星所受的地球引力等，與重大科技相聯(lián)系，激勵(lì)學(xué)生勇于探索科技領(lǐng)域，培養(yǎng)勇于獻(xiàn)身科研的精神，并通過(guò)數(shù)學(xué)建模方法解決，增強(qiáng)團(tuán)隊(duì)合作能力。

3?結(jié)束語(yǔ)

本文以定積分的概念為例，將概念的講解與課程思政元素的融入具體化，通過(guò)創(chuàng)設(shè)求“賽里木湖的湖面面積”問(wèn)題情景，培養(yǎng)學(xué)生人與自然和諧共處的環(huán)保意識(shí)；通過(guò)計(jì)算曲邊梯形的面積，培養(yǎng)學(xué)生“細(xì)分入微、以直代曲、積零為整、拋光磨平”的思維方式，掌握定積分的實(shí)質(zhì)；通過(guò)分析解決生活中的實(shí)際案例問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生知識(shí)應(yīng)用能力、抽象歸納能力和數(shù)學(xué)建模能力。

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