賈 悅

(西北工業(yè)大學力學與土木建筑學院，西安 710129)

2023 年7 月26—28 日，由中國力學學會主辦，《力學與實踐》編委會、教育部“基礎力學課程虛擬教研室”、教育部“材料力學課程虛擬教研室”、中國力學學會教育工作委員會承辦，教育部高等學校力學基礎課程教學指導分委員會、北京力學會協(xié)辦的“基礎力學教學的基本問題研修班（第3 期）——理論力學中的動力學問題”在清華大學舉行。研修班旨在提高全國高?；A力學教師的教學水平，促進基礎力學教育教學發(fā)展。本次研修班吸引了來自全國各地近百名基礎力學教師參加，其中有14 名教師進行了課程試講，并得到了專家們的點評和指導。

本次研修班延續(xù)了前兩期研修班的優(yōu)良傳統(tǒng)，即邀請國內基礎力學領域的權威專家進行示范課和動力學知識內容串講，本次研修班邀請的是國家級教學名師李俊峰教授。李俊峰教授不僅有深厚的理論知識功底和豐富的教學經(jīng)驗，而且有獨到的教學理念和方法。對動力學知識部分的串講，他打破傳統(tǒng)思路，從分析力學入手，再到動力學三大定律，最后到靜力學部分內容，不僅講授了力學基本概念和具體知識點，而且傳達出對基礎力學教學的激情和熱愛。此外，本次研修班還邀請了國內基礎力學教育教學研究領域的優(yōu)秀代表進行教育教學研究報告。報告主要比較了清華大學版、哈工大版、上交大版、東北大學版、礦大版共5 種國內主要《理論力學》教材的特點，包括內容編排、理論闡述、例題習題、工程應用、插圖格式等方面，充分展示了基礎力學教材的多樣性和發(fā)展趨勢，為老師們在力學教材和課程設計方面提供了值得借鑒的方法。

本次研修班相比前兩期研修班有以下兩個特點。

（1）本次研修班以理論力學中的動力學為主題，吸引了多位一線教師參加課程試講。教師們都針對動力學章節(jié)中的一些難點和特色專題進行了精彩的授課，例如：變質量系統(tǒng)的動力學方程、剛體自由轉動、歐拉動力學方程、陀螺近似理論、達朗貝爾原理、動量矩定理等，這些內容不僅涵蓋了不同教師所在學校專業(yè)特色所需的知識點，也展示了其他高校不常見的教學內容。此外，本次研修班的課程試講教師人數(shù)較前兩期有了大幅增長，反映出參會教師們高度重視這次課程試講，并積極參與，將其視為檢驗自己、提升自己、超越自己的良機。在課程試講過程中，專家們對每一位教師的講課內容與講課方式進行了多方位點評，客觀清晰、針對性強，并給出了在力學教學中要注意的事項和改進建議，這對于提升一線力學教師教學水平有著重要的作用。筆者將參加此次研修班的主要收獲總結如下。

①水小平教授高度重視教師板書和PPT 中講課內容的規(guī)范性和準確性，以期使授課發(fā)揮示范作用。例如，水教授多次強調公式中正斜體的規(guī)范使用，并給出了簡單的記憶規(guī)則。

② 李俊峰教授強調在備課時要高度重視學情分析，針對不同專業(yè)背景和學期學時的學生，制定適宜的教學目標和策略：對于已經(jīng)掌握或簡單的內容，要壓縮課時，節(jié)省課堂時間；要精心備課，細致考慮教學內容，選取有代表性的例題，使每一道例題都能展現(xiàn)理論力學的基本原理和方法；要清楚理論力學習題和大學物理中力學之間的區(qū)別和聯(lián)系，避免學生對兩者混淆；要緊密結合工程實踐，提升理論力學學習的價值和意義；要豐富課堂內容，引導學生積極思考，增強師生互動，營造活躍的課堂氛圍。

③殷雅俊教授認為理論力學既是一門實用性強的工程課程，又是一門內涵深刻和美感獨特的理論課程。例如，在理論力學中，許多公式體現(xiàn)出的數(shù)學的對稱性，不僅可以簡化問題，還可以增強美感。此外，在理論力學中也運用了一些高等數(shù)學和線性代數(shù)的運算規(guī)律，如求導與求和符號交換次序的條件。這種看似簡單的交換律，在數(shù)學上需要一致收斂性的假設條件。如果在公式推導過程中注意到這些細節(jié)，并且有針對性地提出問題并加以引導，就能促使學生深入思考。因此，理論力學中高等數(shù)學公式的應用和推導不但能幫助學生更好地理解和掌握力學規(guī)律，而且能培養(yǎng)學生的邏輯思維能力。

（2）本次特色內容是邀請了水小平教授進行全國周培源大學生力學競賽漫談。全國周培源大學生力學競賽是國內大學生重要的力學類競賽項目[1]，其考察內容覆蓋理論力學與材料力學兩門課程的理論和實驗，著重考核靈活運用基礎知識、分析和解決問題的能力，對我國力學教學具有重要的促進作用，同時也是展示力學教學水平與教學改革成果的一個窗口。水小平教授作為基礎力學國內教學的帶頭人，他通過真題解讀，深刻理解周培源大學生力學競賽出題的精髓和考查的重點，從出題人的視角分析競賽真題的目的和意義，揭示基礎力學知識之間的聯(lián)系和規(guī)律。他還分享了多年來參與全國周培源大學生力學競賽仲裁組工作的經(jīng)驗和感受，以及對基礎力學教育教學改革和發(fā)展的看法和建議。水教授的漫談既有理論深度，又有實踐廣度，既有思想高度，又有情感溫度，讓參會者受益匪淺。

本文基于此次研修班的學習心得，從以下3個方面進行討論：首先，通過分析研修班中兩個有趣且有意義的內容，展示理論力學的科學性和嚴謹性；其次，由于研修班不僅涉及理論，還涉及拓展，通過回顧力和力學的發(fā)展歷史，闡明力學從物理學中逐步獨立出來的原因和過程；最后，結合科學方法指導實踐教學，探討B(tài)OPPPS 模式在理論力學教學中的應用效果和優(yōu)勢，從而將理論力學的科學性和嚴謹性貫穿于教學實踐中。本文旨在為理論力學教學和研究提供一些參考和啟發(fā)。

1 理論力學嚴謹性探討

理論力學是工科生第一門力學基礎課，它系統(tǒng)地介紹了物體機械運動的基本概念、原理和定律。理論力學起到基礎課和專業(yè)基礎課重要橋梁的作用，其中基礎課主要包括大學數(shù)學、線性代數(shù)、程序設計語言等，繼理論力學以后，會根據(jù)專業(yè)不同學習其他力學課程如材料力學、結構力學、彈性力學、塑性力學、流體力學等。在理論力學中，主要研究對象是點或剛體等高度抽象的物體。理論力學是以牛頓力學為代表的一門學科，在動力學專題中也包括歐拉力學和拉格朗日力學。在每期研修班中，都會涉及一些有趣而有意義的話題內容。例如，第1 期研修班中，薛克宗老先生深入分析了主矢和主矩的概念和意義；第2 期研修班中，王琪教授闡述了平面運動剛體角速度的定義方法；第3 期研修班中，水小平教授在全國周培源大學生力學競賽漫談中，多次強調理論力學概念的嚴謹性，指出不可隨意混淆不同概念，即使是最常見最基本的概念，在學習過程中也要注意區(qū)分和聯(lián)系。下面，以此次研修班課堂上提到的理論力學中的兩種平衡狀態(tài)及純滾動現(xiàn)象為例，探討理論力學科學的嚴謹性。

1.1 理論力學中的兩種平衡狀態(tài)：剛體平衡與力系平衡

剛體平衡是指剛體在力系的作用下相對于慣性參考系處于靜止或勻速直線運動的狀態(tài)，即剛體上各點的加速度恒保持為零。力系平衡是力系等效的延伸，是指作用于一個剛體上的力系等效于零力系（用平衡力系表示就是力系的主矢為零：，且力系對任一點A的主矩為零：。在理論力學中，有時候會把力系平衡和系統(tǒng)平衡混淆。一般來說，力系的平衡條件只是剛體平衡的必要條件，而非充分條件。例如一均質圓盤繞垂直于盤面的質心軸作勻角速轉動時，作用于圓盤上的力系是平衡力系，但圓盤上除了定軸上的點靜止外其余的各點均處于勻速圓周運動，不符合剛體平衡的定義。對于由多個剛體組成的系統(tǒng)（簡稱物系）或變形體，力系平衡條件更是物系或變形體平衡的必要條件。將一個平衡力系作用在平衡的物系或可變形的物體上，它們是否平衡還要考慮物系各剛體相互連接的約束形式及其位置或變形體的變形特性。下面給出兩個例子。（1）如圖1 所示，剪刀是由兩個剛體通過鉸鏈連接的系統(tǒng)。如果在平衡的剪刀上作用一對平衡力，那么力系平衡條件成立，但是剪刀不一定平衡，因為還要看兩個刀片之間的鉸鏈連接，其位置是否在這一對平衡力的作用線上。（2）如圖2 所示，彈簧是一個變形體。如果在彈簧兩端沿彈簧的中心線作用一對平衡力，那么力系平衡條件成立，但是彈簧并不平衡，因為還要滿足彈簧的變形條件，只有當彈簧變形產(chǎn)生的力達到彈簧所受到的力的大小時彈簧才平衡。

圖1 剪刀受到一對平衡力的作用

圖2 彈簧受到一對平衡力的作用

1.2 理論力學中的純滾動現(xiàn)象：摩擦力的作用與影響

純滾動是理論力學中常見的一種運動，其指滾動剛體和接觸面之間是沒有相對滑動的滾動，也稱為滾而不滑。純滾動剛體，其與接觸面的兩個接觸的點的速度相等。例如，一個均質圓輪在水平面上做純滾動，那么它與地面接觸點的速度等于零，所受的摩擦力為靜摩擦力，因此這個摩擦力并不做功。提到摩擦力，很多人會習慣性地將摩擦力和純滾動聯(lián)系到一起，認為摩擦力是產(chǎn)生純滾動的原因。其實不然，純滾動不一定要有摩擦力，例如，在太空艙中，圓輪可以在不受摩擦力的條件下在空中作純滾動，只要圓輪的初始狀態(tài)是純滾動，并且沒有其他外力去主動改變這種運動，圓輪就可以保持純滾動，這一過程中并不會產(chǎn)生摩擦力。但是，如果圓輪的初始狀態(tài)不是純滾動，而是靜止或者有相對滑動，那么要使圓輪達到純滾動的狀態(tài)，就需要有摩擦力的作用。摩擦力是使圓輪的質心產(chǎn)生加速或減速的一個力，摩擦力對圓輪質心的力矩還可以改變圓輪的角速度，從而使圓輪的質心速度和角速度達到純滾動的條件，即質心速度等于圓輪半徑與角速度的乘積（vc=rω）。因此，摩擦力和純滾動之間的關系取決于初始條件和受力情況，在某種理想情況下剛體可以做無摩擦的純滾動，但在絕大多數(shù)實際問題中，圓盤在做純滾動時是必須有靜摩擦力的作用的，當然靜摩擦力必須小于最大靜摩擦力，否則不能實現(xiàn)純滾動。

2 力與力學的起源

“基礎力學教學的基本問題研修班”涉及了力學的多個方面，不僅包括理論，還有一些拓展和思考。例如，李俊峰教授介紹了速度和加速度的歷史，揭示了它們的由來和演變。速度和加速度是描述物體運動狀態(tài)的物理量，但是人類對它們的認識并非一開始就很清晰。早在古代，我國就有了一些測量物體運動快慢的工具和方法，比如日晷。但是直到17 世紀，意大利科學家伽利略才通過實驗發(fā)現(xiàn)了勻變速直線運動，并提出了加速度的概念。李俊峰教授還提出了一個問題：力和力學似乎是密不可分的，但是它們之間的歷史跨度比速度和加速度更長久。下文將簡單探討力與力學的起源和歷史。

力是一個很古老的概念，最早提出力的概念的是春秋戰(zhàn)國時期的墨子，墨子在他的《墨經(jīng)》一書中提到“力，形之所以奮也”，它的意思是，力是使物體運動的原因。這是墨子對力樸素的理解，物體運動的變化都需要力的作用。

物體的運動有兩種基本形式：移動和轉動。移動是由力引起的，轉動是由力矩引起的。力矩的概念最早也是由墨子提出。在《墨經(jīng)》中這樣描述了一個實驗：“招負橫木，則本短標長；兩加焉重相若，則標必下，標得權也”。這段話的解釋是：把一根木頭橫放在一塊石頭上，使它平衡（圖3(a)）。因為木頭的根部比尖部粗，所以支點距離根部的距離要比距離尖部的距離短。如果在木頭的兩端各綁一塊相同重量的石頭，那么木頭就會傾斜，尖部向下（圖3(b)）。雖然尖部和根部都受到豎直向下大小相等壓力的作用，但是由于尖部石頭的壓力對支點的力矩大于根部石頭的壓力對支點的力矩，所以尖部會產(chǎn)生向下的轉動。

圖3 力矩

在人類歷史上，雖然人類對力的認識和研究有上千年的歷史，但是力學成為一門學科是近一百多年的歷史。力學是物理學的一個重要分支，它主要研究力對物體產(chǎn)生的效果。力對物體的作用有兩種效果，即內效應和外效應，其中內效應指的是力可以使物體發(fā)生變形，外效應指的是力可以改變物體的運動。力學和其他自然學科的發(fā)展規(guī)律相似，早期人類的力學知識源于農(nóng)業(yè)和生活，從農(nóng)耕和生活中總結了很多力學相關的經(jīng)驗。例如：早在公元前3000 年古埃及人用弓鉆摩擦生火；公元前1500 年我國古代商的象形文字中就出現(xiàn)了帶輪子的車字（圖4），表明人類已經(jīng)知道用輪子滾動減少摩擦力的作用效果。

圖4 車字的演變

但是，早期的人類對力學的掌握僅僅局限于技術層面，即只利用力學的經(jīng)驗用于生活和生產(chǎn)，直到17 世紀牛頓將力學帶入了精細科學，用科學的方法研究力學問題，總結力學規(guī)律。但是，力學始終沒有從物理學中獨立出來，甚至常常被歸為數(shù)學。牛頓也是通過幾何學研究力學問題，而且當時的力學家都是數(shù)學家。直到18—19 世紀，隨著彈性力學、塑性力學、流體力學等力學分支的建成，以及納維、柯西、歐拉、伯努利、達朗貝爾等力學家對力學概念和原理的明確，才奠定了力學理論基礎，也使得力學產(chǎn)生了很多新的分支并得到廣泛應用，從而使得力學體系變得龐大，從物理中獨立出來成為一門學科。因為力學是一門基礎學科，也是一門應用學科，它在理論研究和工程實踐中都有重要作用。因此，力學是第一個同時可以授予理學或工學學位的專業(yè)。

3 BOPPPS 模型在教學課程設計中的應用：以動量矩定理為例

“基礎力學教學的基本問題研修班”的一個亮點是學員課程試講和專家點評。為了得到專家的認可和提升自己的教學水平，學員們常常采用一些新穎的教學方式和方法。下面通過一個完整的實例，介紹一種名為BOPPPS 的教學模式，并用它來設計理論力學的試講課程。BOPPPS[2]是一種教學模式，用于教師技能培訓工作坊的微課演練。它由6 個步驟組成：分別是bridge-in（引入）、objective（目標）、pre-assessment（前測）、participatory learning（參與式學習）、post-assessment（后測）和summary（總結）。實踐表明這種教學模式能夠激發(fā)學生的學習興趣，提高教學效果和效率。

筆者在本次研修班課程試講的內容是動量矩定理，采用BOPPPS 課程設計模式，具體步驟如下。

（1）B——引入：回顧動能定理和動量定理，說明它們均是基于牛頓第二定律，分別建立了動能和功、動量和力的關系。引入動量矩定理，它建立了動量矩和力矩的關系。

（2）O——目標：通過本課程的學習，學生能夠做到以下幾點。

①解釋質點系相對于定點或定軸的動量矩及其動量矩定理；

②求解平行移動剛體和定軸轉動剛體的動量矩問題；

③應用動量矩守恒定律求解問題。

（3）P1——前測：復習力矩的概念，為學習動量矩概念做鋪墊。

（4）P2——參與式學習：采用傳統(tǒng)的授課方式和方法，講解動量矩定理的內容和應用。

（5）P3——后測：設計動量矩定理問題，檢測學生是否能夠正確地求解和分析。

（6）S——總結：總結本課程的重點和難點，強調動量矩定理的物理意義和實際應用。

其中，后測和總結可以合并，這樣可以更具體地回顧本課程的要點。雖然這種教學模式比較傳統(tǒng)和單一，但是對于教學效果是有益的，能夠實現(xiàn)教學目標。BOPPPS 課程設計適用于講解小內容或單個知識點，如果教學時間過長，各個部分的聯(lián)系就會變弱，尤其是后測的檢測效果就會降低。

4 結論

本文以“基礎力學教學的基本問題研修班（第3 期）”為背景，探討了理論力學教學的課程內容、科學性、歷史性和課程設計方法?？偨Y為以下幾點：（1）回顧了研修班的優(yōu)秀傳統(tǒng)內容，如教學名師李俊峰教授的示范課及動力學知識串講。另外介紹了較前兩期的新特點及體會，如教學名師水小平教授對全國周培源大學生力學競賽的漫談。（2）基于本次研修班討論的一些內容，分析理論力學科學的嚴謹性。分別討論了剛體平衡與力系平衡，純滾動與摩擦力兩組概念之間的區(qū)別和聯(lián)系。（3）從發(fā)展史的角度，探討了力與力學的起源，分析了力的概念演變和發(fā)展，以及它對力學的理論建設和實際應用的影響和意義。（4）根據(jù)試講實踐，說明了BOPPPS教學課程設計的原則和步驟，并給出了具體的實施案例和效果評價。本文的研究對于提高理論力學教學的質量和效果有一定的參考價值，可以為教師提供一些教學思路和方法，也可以為學生提供一些學習策略和技巧。