蘇 昂 張大鵬 張文沁 關(guān)棒磊,2) 李 璋

*(國防科技大學(xué)空天科學(xué)學(xué)院，長沙 410073)

?(圖像測量與視覺導(dǎo)航湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長沙 410073)

彈性固體和黏性流體是在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中研究較多的兩類簡單物質(zhì)或材料，而有些材料在力學(xué)性能上表現(xiàn)為線彈性和理想黏性的組合，稱為線黏彈性體（linear viscoelasticity body），線黏彈性理論是固體力學(xué)原理[1]課程中的重要內(nèi)容。國防科技大學(xué)固體力學(xué)教學(xué)團(tuán)隊(duì)長期針對固體火箭發(fā)動機(jī)結(jié)構(gòu)完整性評估需求開展固體推進(jìn)劑力學(xué)性能研究[2-4]，因此在線黏彈性理論實(shí)驗(yàn)教學(xué)環(huán)節(jié)一般以固體推進(jìn)劑這種黏彈性材料為例，依據(jù)《GJB 770B—2005 火藥試驗(yàn)方法》中規(guī)定的單向拉伸法，采用電子萬能試驗(yàn)機(jī)對固體推進(jìn)劑（通常使用仿真藥，不可燃、力學(xué)性能與真藥一致）進(jìn)行單軸拉伸實(shí)驗(yàn)，得到材料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線。該實(shí)驗(yàn)只能獲取拉伸方向的一維數(shù)據(jù)，無法實(shí)現(xiàn)二維全場測量，測量結(jié)果不便于可視化，因此實(shí)驗(yàn)結(jié)果展示不夠直觀。

近年來，隨著現(xiàn)代光測實(shí)驗(yàn)力學(xué)技術(shù)的發(fā)展，以數(shù)字圖像相關(guān)（digital image correlation，DIC）為代表的方法以其精度高、全場測量、成本低和使用方便等特點(diǎn)，在實(shí)驗(yàn)力學(xué)領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[5-6]。在材料力學(xué)課程的實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，也有部分高校開始了數(shù)字圖像相關(guān)方法的應(yīng)用和實(shí)踐，比如金屬頸縮實(shí)驗(yàn)[7]、板狀試樣剪切應(yīng)變場測量實(shí)驗(yàn)[8]、金屬材料單軸拉伸測量實(shí)驗(yàn)[9]、純彎曲梁三維應(yīng)變場測量實(shí)驗(yàn)[10]、鋁合金拉伸和梁模型三點(diǎn)彎的實(shí)時(shí)三維數(shù)字圖像相關(guān)實(shí)驗(yàn)[11]、帶孔低碳鋼拉伸和高溫鎳基合金熱變形測量實(shí)驗(yàn)[12]、基于拍照手機(jī)的數(shù)字圖像相關(guān)實(shí)驗(yàn)[13]等。以上實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)通過在材料力學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)環(huán)節(jié)引入數(shù)字圖像相關(guān)測量方法，為學(xué)生提供了豐富的可視化實(shí)驗(yàn)結(jié)果，有效調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性。

針對固體力學(xué)原理中線黏彈性理論的實(shí)驗(yàn)教學(xué)需求，本文以固體推進(jìn)劑為例，探索和設(shè)計(jì)采用二維數(shù)字圖像相關(guān)的黏彈性材料單軸拉伸實(shí)驗(yàn)教學(xué)方法，通過實(shí)驗(yàn)使學(xué)生了解和掌握數(shù)字圖像相關(guān)方法的基本原理，增強(qiáng)學(xué)生動手實(shí)驗(yàn)分析和解決問題的能力。數(shù)字圖像相關(guān)方法可以得到固體推進(jìn)劑二維應(yīng)變場，能夠?yàn)閷W(xué)生提供更直觀的線黏彈性材料全場應(yīng)變可視化結(jié)果。此外實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，將數(shù)字圖像相關(guān)方法測量的應(yīng)變場與國標(biāo)規(guī)定的固體推進(jìn)劑單向拉伸法測量的應(yīng)變進(jìn)行對比，可發(fā)現(xiàn)二者具有明顯差異。針對該問題引導(dǎo)學(xué)生展開研討和深入分析，有助于學(xué)生加深對線黏彈性理論的理解及創(chuàng)新性思維能力的提升。

1 線黏彈性理論

蠕變和松弛是黏彈性材料兩種基本的力學(xué)行為，它們分別反應(yīng)恒定應(yīng)力和恒定應(yīng)變兩種特殊情況下黏彈性材料的力學(xué)性能。蠕變是黏彈性材料在恒定應(yīng)力作用下，應(yīng)變隨時(shí)間逐漸增加的現(xiàn)象。黏彈性材料在突加階躍應(yīng)力作用下的蠕變曲線如圖1(a)所示，應(yīng)變隨時(shí)間而蠕變，曲線最終趨近于一條水平漸近線。蠕變曲線表征的函數(shù)稱為蠕變函數(shù)，蠕變?nèi)崃縅(t)即定義為單位階躍應(yīng)力的蠕變函數(shù)。在線性黏彈性的假設(shè)下，突加恒定應(yīng)力σ(t)=σ0H(t)作用下，其中H(t)表示階躍函數(shù)，應(yīng)變ε隨時(shí)間的變化表示為

圖1 黏彈性材料的蠕變和松弛曲線

松弛是在應(yīng)變不變時(shí)黏彈性材料的應(yīng)力隨時(shí)間逐漸減小的一種現(xiàn)象。黏彈性材料在突加階躍應(yīng)變作用下的松弛曲線如圖1(b)所示，應(yīng)力隨時(shí)間而松弛，曲線最終趨近于某一水平漸近線。松弛曲線表征的函數(shù)稱為松弛函數(shù)，松弛模量Y(t)即定義為單位階躍應(yīng)變的松弛函數(shù)。在線性黏彈性的假設(shè)下，突加恒定應(yīng)變ε(t)=ε0H(t)作用下，應(yīng)力σ隨時(shí)間的變化表示為

線黏彈性材料的性質(zhì)介于線彈性性質(zhì)與力學(xué)黏性性質(zhì)之間，因此可以用有限個(gè)表征線彈性的線性彈簧和有限個(gè)表征線黏性的線性黏壺的組合模型來表示。將一個(gè)彈簧和一個(gè)黏壺串聯(lián)構(gòu)成Maxwell 模型，將一個(gè)彈簧和一個(gè)黏壺并聯(lián)構(gòu)成Kelvin 模型，通常為了描述比較復(fù)雜的材料性質(zhì)，將多個(gè)Maxwell 單元并聯(lián)或多個(gè)Kelvin 單元串聯(lián)組成廣義Maxwell 模型和廣義Kelvin 模型，如圖2 所示，其中Ei和ηi分別表示模型中彈簧的彈性模量和黏壺的黏性系數(shù)。

圖2 常用的線黏彈性模型

對于固體推進(jìn)劑通常選用一個(gè)N階的廣義Maxwell 模型來描述其黏彈性力學(xué)行為，設(shè)τi=ηi/Ei，可以得到其松弛模量

設(shè)推進(jìn)劑受外部作用為隨時(shí)間變化的應(yīng)變ε(t)（對應(yīng)試驗(yàn)機(jī)的單軸拉伸加載過程），根據(jù)疊加原理可以得到材料的黏彈性松弛型本構(gòu)方程

根據(jù)該本構(gòu)方程，當(dāng)已知黏彈性材料的應(yīng)變加載過程和材料松弛模量各階參數(shù)時(shí)，可以通過積分計(jì)算得到每個(gè)時(shí)刻對應(yīng)的應(yīng)力。

2 實(shí)驗(yàn)教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)備

實(shí)驗(yàn)設(shè)備主要包括電子萬能試驗(yàn)機(jī)和二維DIC 測量系統(tǒng)。實(shí)驗(yàn)采用WDW-10 型電子萬能試驗(yàn)機(jī)，通過下部橫梁豎直方向的移動來實(shí)現(xiàn)試驗(yàn)件的單軸拉壓加載。二維DIC 測量系統(tǒng)由測量相機(jī)、照明光源和圖像采集計(jì)算機(jī)組成，如圖3所示。測量相機(jī)分辨率為2448 × 2048，每秒成像10 幀，使用普通定焦鏡頭，焦距35 mm。將測量相機(jī)放置于試件正前方垂直成像，保證攝像機(jī)視場在拉伸過程中剛好覆蓋推進(jìn)劑試件，此時(shí)攝像機(jī)分辨能力約為0.081 7 mm/pixel（毫米/像素）。

圖3 二維DIC 測量系統(tǒng)

實(shí)驗(yàn)用固體推進(jìn)劑試樣為《GJB 770B—2005 火藥試驗(yàn)方法》413.1 中規(guī)定的啞鈴形B 型，尺寸如圖4(a)所示，試樣厚度為10 mm，工程標(biāo)距為70 mm，總長度為120 mm。試樣采用啞鈴形便于設(shè)計(jì)夾具加持，有助于保證斷裂發(fā)生在試驗(yàn)直線段內(nèi)，避免試樣在夾持端部位置斷裂。根據(jù)圣維南原理，作用在物體局部上的自平衡力系所引起的應(yīng)力和應(yīng)變在遠(yuǎn)處可以忽略不計(jì)，因此試樣采用啞鈴形還可以保證試驗(yàn)直線段內(nèi)應(yīng)力均勻分布。啞鈴形推進(jìn)劑試樣實(shí)物照片見圖4(b)，推進(jìn)劑表面本身具有顆粒狀的紋理，因此實(shí)驗(yàn)過程中在推進(jìn)劑表面無需粘貼人工散斑，使用測量相機(jī)直接對推進(jìn)劑拍攝即可。

圖4 固體推進(jìn)劑啞鈴形標(biāo)準(zhǔn)試樣

2.2 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容

首先架設(shè)二維DIC 測量系統(tǒng)對安裝在試驗(yàn)機(jī)夾具上的固體推進(jìn)劑試樣拍攝，然后控制試驗(yàn)機(jī)分別進(jìn)行如圖5 所示的定速拉伸和階梯拉伸，記錄試驗(yàn)機(jī)位移和拉力以及相機(jī)圖像數(shù)據(jù)。拉伸實(shí)驗(yàn)開始前，控制試驗(yàn)機(jī)施加10 N 預(yù)緊力以消除夾具與推進(jìn)劑試樣之間的間隙。

圖5 固體推進(jìn)劑單軸拉伸加載路徑

定速拉伸實(shí)驗(yàn)的應(yīng)變加載過程可分為兩個(gè)階段，如式(5)所示，根據(jù)固體力學(xué)原理課程中的線黏彈性理論，將式(5)代入式(4)并分段求積分可得t時(shí)刻的應(yīng)力響應(yīng)如式(6)所示

式中，k為應(yīng)變加載曲線的斜率，表示應(yīng)變加載速率，也叫應(yīng)變率，τi=ηi/Ei，其中Ei和ηi分別為線黏彈性模型中彈簧的彈性模量和黏壺的黏性系數(shù)。

階梯拉伸實(shí)驗(yàn)的應(yīng)變加載過程可分為4 個(gè)階段，如式(7)所示，同理分段求積分可得t時(shí)刻的應(yīng)力響應(yīng)如式(8)所示

定速拉伸和階梯拉伸實(shí)驗(yàn)均采用位移控制模式，位移加載速率為v，設(shè)推進(jìn)劑試樣試驗(yàn)段標(biāo)距為L，t時(shí)刻試驗(yàn)段伸長量為vt，此時(shí)試驗(yàn)段應(yīng)變ε=vt/L，應(yīng)變加載曲線的斜率k=v/L。記推進(jìn)劑試樣試驗(yàn)段寬為b，厚為w，則試驗(yàn)段橫截面積為A=bw。設(shè)試驗(yàn)機(jī)測量的拉力為F，則該時(shí)刻推進(jìn)劑試驗(yàn)段的應(yīng)力為σ=F/A。

試驗(yàn)時(shí)，提供事先標(biāo)定好的固體推進(jìn)劑松弛模量各階參數(shù)，見表1。利用式(6)和式(8)計(jì)算某時(shí)刻推進(jìn)劑試樣試驗(yàn)段的理論應(yīng)力值，將理論值與試驗(yàn)機(jī)測量的實(shí)際應(yīng)力值對比，驗(yàn)證理論應(yīng)力計(jì)算的正確性。

表1 固體推進(jìn)劑松弛模量各階參數(shù)

定速拉伸和階梯拉伸實(shí)驗(yàn)過程約30 s，每個(gè)實(shí)驗(yàn)中相機(jī)將分別拍攝得到約320 幀序列圖像數(shù)據(jù)。二維DIC 圖像數(shù)據(jù)處理使用Ncorr 開源軟件[14]，經(jīng)過設(shè)置參考圖像、讀入實(shí)驗(yàn)序列圖像、設(shè)置測量區(qū)域、設(shè)置DIC 參數(shù)、選取種子點(diǎn)、DIC 匹配處理、位移場標(biāo)定和應(yīng)變場計(jì)算等步驟，得到推進(jìn)劑試樣表面的二維位移場和應(yīng)變場。將二維DIC 測量系統(tǒng)得到二維位移場和應(yīng)變場進(jìn)行可視化顯示，然后將DIC 測量的推進(jìn)劑試驗(yàn)段應(yīng)變數(shù)值與試驗(yàn)機(jī)測量的應(yīng)變對比并分析二者之間產(chǎn)生差異的原因。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

3.1 推進(jìn)劑應(yīng)力對比實(shí)驗(yàn)

如圖4 所示，實(shí)驗(yàn)使用的B 型啞鈴形固體推進(jìn)劑標(biāo)準(zhǔn)試樣標(biāo)距L為70 mm，試驗(yàn)段橫截面積A為100 mm2。如圖5 所示，定速拉伸和階梯拉伸實(shí)驗(yàn)中，根據(jù)設(shè)計(jì)的推進(jìn)劑拉伸加載路徑，設(shè)置試驗(yàn)機(jī)位移加載速率v為20 mm/min，即為1/3 mm/s，則應(yīng)變加載速率k為1/210 s-1。定速拉伸和階梯拉伸實(shí)驗(yàn)中，試驗(yàn)機(jī)測量的推進(jìn)劑試樣試驗(yàn)段拉伸位移-應(yīng)力曲線如圖6 所示。

圖6 試驗(yàn)機(jī)測量的拉伸實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)曲線

選取拉伸位移5 mm 時(shí)刻，將相關(guān)參數(shù)代入線黏彈性理論公式(6)和式(8)，分別計(jì)算定速拉伸和階梯拉伸實(shí)驗(yàn)該時(shí)刻推進(jìn)劑試驗(yàn)段理論應(yīng)力，并將其與試驗(yàn)機(jī)測量實(shí)際應(yīng)力進(jìn)行對比，結(jié)果見表2。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，理論計(jì)算的推進(jìn)劑試驗(yàn)段應(yīng)力值與試驗(yàn)機(jī)實(shí)測結(jié)果吻合較好，達(dá)到了線黏彈性理論的實(shí)驗(yàn)教學(xué)目的。

表2 拉伸5 mm 時(shí)試樣試驗(yàn)段應(yīng)力對比

3.2 推進(jìn)劑二維DIC 實(shí)驗(yàn)

以定速拉伸實(shí)驗(yàn)為例，試驗(yàn)機(jī)夾具軸向（縱向）拉伸位移5 mm 時(shí)，二維DIC 測量得到的推進(jìn)劑試樣全場變形如圖7 所示，包括二維位移場和二維應(yīng)變場，其中位移場展示了橫向和縱向位移，應(yīng)變場展示了切應(yīng)變和縱向應(yīng)變。

圖7 二維DIC 測量的位移場和應(yīng)變場

此時(shí)，試驗(yàn)機(jī)測量的推進(jìn)劑試樣拉伸位移量為5 mm，推進(jìn)劑標(biāo)準(zhǔn)試樣標(biāo)距L為70 mm，計(jì)算推進(jìn)劑試驗(yàn)段應(yīng)變?yōu)?/70，約為0.071 4。而觀察圖7(b)同時(shí)查閱計(jì)算數(shù)據(jù)可知，二維DIC 測量得到推進(jìn)劑試驗(yàn)段縱向（軸向拉伸方向）應(yīng)變約為0.057 到0.06 之間，二者具有較大差異。

首先分析這兩種應(yīng)變的計(jì)算方法不同，查閱Ncorr 軟件參考文獻(xiàn)[14]可知，該軟件的二維應(yīng)變場采用格林-拉格朗日（Green-Lagrangian）方法計(jì)算。設(shè)試驗(yàn)機(jī)軸向拉伸方向?yàn)閥方向，與之垂直的橫向?yàn)閤方向，記推進(jìn)劑試樣表面x方向的位移為u，應(yīng)變?yōu)镋xx，y方向的位移為v，應(yīng)變?yōu)镋yy，切應(yīng)變記為Exy，采用格林-拉格朗日方法計(jì)算的二維應(yīng)變場為

由式（11）可知，Ncorr 軟件得到的二維應(yīng)變場中y方向應(yīng)變Eyy由該方向位移導(dǎo)數(shù)的一次項(xiàng)和二次項(xiàng)以及正交方向位移導(dǎo)數(shù)的二次項(xiàng)等3部分組成。而由試驗(yàn)機(jī)單向拉伸位移量除以推進(jìn)劑試樣試驗(yàn)段標(biāo)距計(jì)算應(yīng)變的方法只考慮了拉伸方向（y方向）的一維應(yīng)變，也就是拉伸方向位移導(dǎo)數(shù)的一次項(xiàng)，那么理論上來說該應(yīng)變數(shù)值應(yīng)該比DIC 得到的結(jié)果小。然而實(shí)驗(yàn)觀察到的結(jié)果卻恰恰相反，DIC 二維應(yīng)變場中拉伸方向的應(yīng)變數(shù)值反而更小。

接下來觀察實(shí)驗(yàn)拉伸過程，如圖8 所示，定速拉伸實(shí)驗(yàn)開始前在推進(jìn)劑表面用兩條黑線標(biāo)記出該啞鈴形試樣試驗(yàn)段，黑線的起止點(diǎn)分別是啞鈴形試樣圓弧段終點(diǎn)位置（參考圖4(a)），黑線之間的距離為試驗(yàn)段標(biāo)距70 mm。隨著定速拉伸實(shí)驗(yàn)的進(jìn)行，推進(jìn)劑逐漸拉長，此時(shí)可以發(fā)現(xiàn)事先標(biāo)記的黑線由直線逐漸變化為曲線。因此也就意味著，推進(jìn)劑試樣試驗(yàn)段存在向中間收縮的趨勢，采用試驗(yàn)機(jī)拉伸位移量除以試驗(yàn)段標(biāo)距計(jì)算的單向拉伸應(yīng)變數(shù)值將不再準(zhǔn)確，該應(yīng)變數(shù)值會比實(shí)際應(yīng)變值偏大。以上實(shí)驗(yàn)分析與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合，也就解釋了二維DIC 測量的拉伸方向應(yīng)變比采用試驗(yàn)機(jī)拉伸位移量計(jì)算的應(yīng)變小的原因。

圖8 推進(jìn)劑試樣拉伸過程

但是在3.1 節(jié)，根據(jù)試驗(yàn)機(jī)拉伸位移量計(jì)算應(yīng)變并進(jìn)而計(jì)算推進(jìn)劑試驗(yàn)段內(nèi)部應(yīng)力時(shí)，應(yīng)力計(jì)算值與實(shí)際測量值卻是完全一致的。原因在于用于計(jì)算理論應(yīng)力的固體推進(jìn)劑松弛模量各階參數(shù)（見表1）標(biāo)定過程中，同樣是采用了試驗(yàn)機(jī)拉伸位移量除以推進(jìn)劑試驗(yàn)段標(biāo)距作為應(yīng)變數(shù)值。因此，在推進(jìn)劑試驗(yàn)段應(yīng)力對比實(shí)驗(yàn)中根據(jù)拉伸位移量計(jì)算的理論應(yīng)力值與實(shí)際測量的應(yīng)力值是吻合的。如果在固體推進(jìn)劑力學(xué)性能參數(shù)測量過程中，推進(jìn)劑材料參數(shù)分別使用DIC 方法和試驗(yàn)機(jī)拉伸位移方法測量得到，由于兩種方法中應(yīng)變測量的差異，將導(dǎo)致測量的推進(jìn)劑材料參數(shù)不兼容而出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤，這一點(diǎn)需要引起學(xué)生的注意和思考。

4 結(jié)論

針對固體力學(xué)原理課程線黏彈性理論的教學(xué)需求，結(jié)合課題組長期以來承擔(dān)的科研任務(wù)，以固體推進(jìn)劑材料為例，探索設(shè)計(jì)了基于數(shù)字圖像相關(guān)方法的實(shí)驗(yàn)教學(xué)內(nèi)容。首先，根據(jù)材料的黏彈性松弛型本構(gòu)方程計(jì)算推進(jìn)劑試驗(yàn)段應(yīng)力值并與試驗(yàn)機(jī)直接測量得到的應(yīng)力值對比，以加深學(xué)生對線黏彈性理論的理解；然后，采用二維DIC測量系統(tǒng)測量推進(jìn)劑試驗(yàn)段完整的二維位移場和應(yīng)變場，通過測量結(jié)果的可視化以更加直觀地觀察黏彈性材料單向拉伸時(shí)的變形情況。在此基礎(chǔ)上，對比分析試驗(yàn)機(jī)直接測量的應(yīng)變與二維DIC測量的應(yīng)變之間的差異，分析推進(jìn)劑試驗(yàn)段拉伸過程中存在向中間收縮現(xiàn)象是導(dǎo)致試驗(yàn)機(jī)直接測量的應(yīng)變比二維DIC 測量的應(yīng)變大的原因，實(shí)驗(yàn)分析和研討過程有助于加深學(xué)生對黏彈性材料特性的理解。