韋 凱 方棋洪

(湖南大學(xué)機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院，長沙 410082)

泊松比μ是材料固有的彈性常數(shù)，在《材料力學(xué)》教材[1]與通常授課中，泊松比僅作為“軸向拉伸或壓縮時的變形”等類似章節(jié)中的一小部分，課堂授課時僅簡單介紹橫向應(yīng)變與縱向應(yīng)變、泊松比定義和常用材料的泊松比值等概念。此外，現(xiàn)有《材料力學(xué)》教材和課程僅介紹了泊松比值在0～0.5 之間的常見傳統(tǒng)材料。實際上，隨著前沿科技和學(xué)術(shù)研究的發(fā)展，近年來在傳統(tǒng)材料基礎(chǔ)上，材料科學(xué)研究已經(jīng)突破傳統(tǒng)材料的設(shè)計理念，尤其是基于力學(xué)設(shè)計等理念開發(fā)出了許多有著廣泛應(yīng)用前景的新材料，以滿足國家的重大需求和解決重大工程問題[2]。

新興的力學(xué)超材料通過設(shè)計新奇特殊的人工微結(jié)構(gòu)，可實現(xiàn)超常的負(fù)泊松比性能[3-4]。這類負(fù)泊松比超材料具有變形主動控制、抗剪切、抗壓、抗沖擊和斷裂韌性高等優(yōu)異的性能，在血管支架、緊固件、緩沖器、隔振器、智能展開結(jié)構(gòu)和變體飛行器等領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景[5-9]。由于負(fù)泊松比材料具有反常的“拉脹”效應(yīng)，在諸多工程結(jié)構(gòu)中得以廣泛應(yīng)用。圖1 列舉了部分代表性工程應(yīng)用實例：負(fù)泊松比材料在受壓時反而在橫向截面收縮，因而可以設(shè)計圖中的無需充氣的汽車輪胎；汽車安全帶采用負(fù)泊松比織物材料制造，可在受拉時與人體接觸面積增大；負(fù)泊松比材料由于具有良好的能量吸收效應(yīng)，可以用于運(yùn)動鞋與安全頭盔，增強(qiáng)它們的能量吸收與緩存效果。目前，代表性負(fù)泊松比超材料類型包括：內(nèi)凹蜂窩、雙箭頭內(nèi)凹三角形、穿孔平板、旋轉(zhuǎn)多邊形、中心對稱手性材料等多類多種[10]。關(guān)于負(fù)泊松比超材料的設(shè)計理論、制造工藝與性能表征的相關(guān)科學(xué)研究已有大量文獻(xiàn)報道和學(xué)術(shù)專著出版[4,10-11]。然而，現(xiàn)有的關(guān)于泊松比概念在材料力學(xué)課程教學(xué)中的內(nèi)容遠(yuǎn)遠(yuǎn)落后于上述提及的前沿研究，不利于基礎(chǔ)力學(xué)課程與學(xué)術(shù)前沿研究的有效融合，達(dá)不到學(xué)生綜合科學(xué)素質(zhì)的進(jìn)一步培養(yǎng)[12-13]。

圖1 負(fù)泊松比材料在汽車輪胎、安全帶、運(yùn)動鞋以及防護(hù)頭盔中的應(yīng)用實例

此外，有限元分析[14]利用數(shù)值方法對現(xiàn)實的力學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值模擬，是一種高效率、低成本的力學(xué)實踐分析方法，在科學(xué)研究和工程實際中具有廣泛的應(yīng)用。為此，本文采用有限元分析代替?zhèn)鹘y(tǒng)的材料力學(xué)實驗，以期能夠更加直觀地展示超材料負(fù)泊松比效應(yīng)的變形模式，從而充分利用教學(xué)課時，解決了實驗開展困難、實驗過程繁瑣等教學(xué)問題，促使學(xué)生了解先進(jìn)的力學(xué)分析手段[15]，并達(dá)到負(fù)泊松比的材料力學(xué)課程教學(xué)目的。

1 基于內(nèi)凹蜂窩超材料的負(fù)泊松比教學(xué)探索

1.1 教學(xué)步驟

課程教學(xué)首先對正、零和負(fù)泊松比概念以及相關(guān)理論分析進(jìn)行闡述，講解內(nèi)凹蜂窩的材料力學(xué)分析過程并適當(dāng)演示，講解結(jié)束后引導(dǎo)學(xué)生采用有限元軟件分析內(nèi)凹蜂窩超材料的泊松比性能特點，具體教學(xué)內(nèi)容如下。

1.1.1 泊松比基本概念介紹

泊松比μ又稱為橫向變形系數(shù)，定義為在縱向方向，受單向拉伸或壓縮加載時，材料的橫向應(yīng)變ε′與縱向應(yīng)變ε比值的相反數(shù)，量綱為一。即

如圖2 所示，材料發(fā)生縱向伸長而橫向截面縮小變形時，其泊松比為正值。相反的，當(dāng)縱向伸長而橫向截面也增大時，其泊松比為負(fù)值。自然地，當(dāng)材料縱向伸長而橫向截面尺寸不變時，泊松比為零。可見負(fù)泊松比材料具有反常的“拉脹效應(yīng)”。

圖2 材料的正、零及負(fù)泊松比示意圖

對于各向同性材料，μ可用體積模量B和剪切模量G來表示，即

由于 0＜B/G ＜∞，因此不同于傳統(tǒng)的材料力學(xué)課程僅簡單地介紹和限定材料的泊松比取值為 0＜μ＜0.5，理論上各向同性材料的泊松比范圍應(yīng)為 -1＜μ＜0.5[16]。同時，根據(jù)式(2)，實現(xiàn)負(fù)泊松比效應(yīng)的前提條件為材料的體積模量小而剪切模量大，即容易發(fā)生體積應(yīng)變，而非剪切應(yīng)變。常見的負(fù)泊松比工程材料包括高分子內(nèi)凹泡沫材料、氧化鋯陶瓷、液態(tài)金屬合金和一些生物材料[4]。

1.1.2 內(nèi)凹蜂窩超材料的泊松比性能理論分析

內(nèi)凹蜂窩超材料可以實現(xiàn)泊松比定制化設(shè)計，是當(dāng)前負(fù)泊松比的學(xué)術(shù)研究熱點，該超材料的幾何構(gòu)型如圖3(a)所示。超材料內(nèi)部所有的桿件均為剛性連接，主要產(chǎn)生彎曲變形，因此可采用梁理論進(jìn)行分析。設(shè)定組成超材料的基體材料楊氏模量為E，梁的面內(nèi)寬度為t，面外厚度為b，截面積為A，慣性矩為I。以y方向加載均勻分布應(yīng)力σy為例，選取如圖3(b)所示的周期代表性單元，載荷等效作用在梁的節(jié)點上，保證該單元的泊松比性能與超材料的泊松比性能等效。由于代表性單元在x和y方向上的結(jié)構(gòu)和載荷都是對稱的，因此單元簡化為圖3(c)所示的三梁結(jié)構(gòu)，節(jié)點等效載荷Fy=σyL2sinθ。由于梁僅有彎曲變形，兩根豎直梁的彎曲變形被對稱邊界條件約束，因此三梁結(jié)構(gòu)進(jìn)一步簡化為分析單根斜梁的受力和變形模式，如圖3(d)所示。根據(jù)力的平衡條件，斜梁的彎矩M為

圖3 內(nèi)凹蜂窩超材料在y 方向加載下的受力與泊松比分析

計算斜梁的撓度

計算撓度在x和y方向上的分量，并計算應(yīng)變

根據(jù)泊松比的定義，可得

同理，在x方向加載時，可得

由式(6)和式(7)可以得出，內(nèi)凹蜂窩超材料的泊松比受長度L1，L2及角度θ控制，與基體材料的材料參數(shù)無關(guān)，即表明：僅通過超材料的微結(jié)構(gòu)設(shè)計就可調(diào)控超材料的負(fù)泊松比性能，盡管基體材料本身具有正的泊松比屬性。

1.1.3 內(nèi)凹蜂窩的數(shù)值仿真模擬（虛擬實驗）

相較于開展超材料的泊松比實驗教學(xué)，采用有限單元法的數(shù)值模擬類似于虛擬實驗，可以較大程度節(jié)省教學(xué)學(xué)時，并能夠更為直觀地展示負(fù)泊松比效應(yīng)。值得注意的是：前面分析的內(nèi)凹蜂窩超材料中角度θ的幾何約束范圍為0～90°，據(jù)此可在ABAQUS 有限元分析軟件建立4 種內(nèi)凹蜂窩超材料構(gòu)型，如圖4 所示。幾何參數(shù)及胞元數(shù)量見表1。數(shù)值仿真建模過程中，在模型的左側(cè)和右側(cè)施加對稱位移邊界條件，在右側(cè)和上側(cè)邊界約束旋轉(zhuǎn)變形，以滿足周期性位移邊界條件，消除邊界效應(yīng)。載荷邊界條件為在右側(cè)和上側(cè)邊界作用10 mm 的位移。有限元網(wǎng)格采用B21 單元，并進(jìn)行網(wǎng)格收斂性驗證，采用隱式有限元算法進(jìn)行求解，數(shù)值仿真計算得到的x和y正交方向的應(yīng)變及其計算得到的泊松比值結(jié)果匯總于表2 中。

表1 內(nèi)凹蜂窩的數(shù)值仿真模型參數(shù)

表2 內(nèi)凹蜂窩的數(shù)值仿真結(jié)果

圖4 4 種內(nèi)凹蜂窩的數(shù)值仿真模型

1.2 實踐和教學(xué)效果分析

針對內(nèi)凹蜂窩超材料的泊松比值分析，通過有限元軟件ABAQUS 的靜力學(xué)數(shù)值仿真計算可代替材料力學(xué)實驗，為學(xué)生提供完整的力學(xué)分析實踐流程，并對泊松比的理論分析結(jié)果進(jìn)行驗證，使學(xué)生直觀地觀察加載過程中內(nèi)凹蜂窩的變形模式和負(fù)泊松比效應(yīng)。

1.2.1 理論和仿真結(jié)果對比

針對內(nèi)凹蜂窩超材料，可根據(jù)式(6)和式(7)計算兩個方向泊松比的理論曲線，并將泊松比的數(shù)值仿真結(jié)果作散點，匯總得到如圖5 所示的泊松比-角度圖像，并進(jìn)行對比分析。圖5 表明理論值與仿真值吻合良好，證明了前述理論分析的精確性，滿足教學(xué)需求。

圖5 內(nèi)凹蜂窩超材料泊松比-角度圖像

1.2.2 內(nèi)凹蜂窩超材料的泊松比特性討論

分析圖5 中結(jié)果可知：內(nèi)凹蜂窩超材料兩個方向的泊松比在角度θ約束范圍內(nèi)均為負(fù)值，展現(xiàn)了良好的負(fù)泊松比調(diào)控能力。隨著角度θ增大，μxy逐漸減小，而μyx逐漸增大，內(nèi)凹蜂窩超材料的泊松比性能表現(xiàn)出顯著的各向異性。實際上，超材料的微結(jié)構(gòu)形式?jīng)Q定了泊松比的各向異性特性。當(dāng)角度為10° 時，內(nèi)凹蜂窩同時具有超越值為 -30 的極端單向負(fù)泊松比和另一方向上的近零泊松比。另一方面，當(dāng)角度為60° 時，內(nèi)凹蜂窩的負(fù)泊松比可接近各向同性材料的理論極限值 -1。

進(jìn)一步，豎直方向拉伸下內(nèi)凹蜂窩超材料的負(fù)泊松比數(shù)值仿真變形模式與演化如圖6 所示。與理論計算結(jié)果預(yù)測一致，4 種內(nèi)凹蜂窩的負(fù)泊松比構(gòu)型均表現(xiàn)出反常的“拉脹效應(yīng)”。由此可見，作為一種虛擬實驗的手段，有限元仿真分析方法可以精確模擬超材料在力學(xué)加載下的變形模式，能夠替代真實實驗，便捷直觀地展示材料的力學(xué)性能，加深了學(xué)生對泊松比的基本概念，尤其是負(fù)泊松比效應(yīng)的認(rèn)識和理解，從而開拓了學(xué)生的視野，提高了學(xué)生的實踐能力。

圖6 豎直方向拉伸下內(nèi)凹蜂窩超材料的負(fù)泊松比“拉脹效應(yīng)”

1.2.3 實踐問題

鑒于課程已經(jīng)基于經(jīng)典的內(nèi)凹蜂窩超材料，對負(fù)泊松比性能進(jìn)行了詳細(xì)教學(xué)，對于其他類型更多的負(fù)泊松比超材料（例如圖7 所示）的理論和仿真分析流程，在課后引導(dǎo)和幫助學(xué)生自主探索解決思路和數(shù)值仿真（虛擬實驗）技巧。

圖7 內(nèi)凹三角形及穿孔平板的負(fù)泊松比理論分析與數(shù)值仿真實踐問題

課后問題1：內(nèi)凹三角形超材料的兩斜桿長度分別為L1和L2，L1與豎直方向的夾角為θ。試分析：建立內(nèi)凹三角形泊松比理論分析的簡化結(jié)構(gòu)；理論分析內(nèi)凹三角形超材料的泊松比，討論其負(fù)泊松比的調(diào)控特性。

課后問題2：穿孔平板型超材料中橢圓孔的長軸為10 mm，短軸為6 mm，焦距為8 mm。孔的間距和平板尺寸如圖7 所示，L=14 mm。平板材料的楊氏模量為200 GPa，泊松比為0.3。試分析：建立穿孔平板型超材料的有限元數(shù)值仿真模型；進(jìn)行有限元仿真計算穿孔平板的泊松比，并討論其泊松比變化規(guī)律。

教學(xué)實踐成效：對學(xué)生就上述兩個課后問題的回答情況分析，大部分學(xué)生在課堂教學(xué)中理解了負(fù)泊松比的概念以及內(nèi)凹蜂窩的理論分析，并以此為基礎(chǔ)，能夠較好地完成課后問題1：內(nèi)凹三角形超材料的負(fù)泊松比理論分析。另一方面，由于對計算力學(xué)課程掌握水平的差異，僅有一部分學(xué)生能夠通過有限元軟件開展課后問題2 相關(guān)內(nèi)容的數(shù)值分析和探索。通過評閱學(xué)生對上述2個課后問題的解答情況，從而了解了學(xué)生對負(fù)泊松比概念的掌握程度。進(jìn)一步通過在課程教學(xué)中詳細(xì)分析講解兩個課后問題的解答過程和答案，從而引導(dǎo)學(xué)生加深對負(fù)泊松比材料的認(rèn)知和理解，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新實踐能力。

2 結(jié)論與展望

本文基于內(nèi)凹蜂窩超材料的理論分析和數(shù)值仿真對材料力學(xué)課程中的泊松比教學(xué)進(jìn)行了拓展和創(chuàng)新。結(jié)合新興的科研熱點——力學(xué)超材料，拓展了現(xiàn)有的材料力學(xué)關(guān)于泊松比概念的教學(xué)內(nèi)容。課程采用材料力學(xué)梁理論進(jìn)行代表性材料的負(fù)泊松比性能理論分析，并引入有限元分析數(shù)值仿真實踐，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，拓展了學(xué)生的視野，加深了學(xué)生對彎曲內(nèi)力、撓度、應(yīng)變、泊松比等多個材料力學(xué)重點知識的理解。培養(yǎng)了學(xué)生運(yùn)用理論知識進(jìn)行創(chuàng)新探索和實踐運(yùn)用的能力，加深了學(xué)生對于材料泊松比作為材料重要力學(xué)參數(shù)的理解。同時拓展了學(xué)生對于負(fù)泊松比材料前沿科學(xué)研究和工程應(yīng)用實例的認(rèn)識視野，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用材料力學(xué)軸向拉壓、梁彎曲等基礎(chǔ)知識，理論分析負(fù)泊松比超材料力學(xué)性能的能力。上述教學(xué)實踐為其他材料力學(xué)課程教學(xué)內(nèi)容改革提供了借鑒方案。