徐 鋒 盧明軒 許紅飛 上官偉 王 剛, 胡立強(qiáng) 管 輝 鄭程程,2)

*(中交第一航務(wù)工程局有限公司城市交通工程有限公司，天津 300457)

?(山東科技大學(xué)山東省土木工程防災(zāi)減災(zāi)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東青島 266590)

**(福建工程學(xué)院土木工程學(xué)院，福州 350118)

我國(guó)地下隧道蓬勃發(fā)展，除了常見(jiàn)的地下公路隧道、鐵路隧道和水工隧洞，位于城市中的市政隧道和地下能源洞庫(kù)也日漸興起[1]。目前，中國(guó)在隧道和地下工程數(shù)量上占據(jù)首位，也是發(fā)展提速最快和地下工程地質(zhì)條件最為復(fù)雜的國(guó)家。對(duì)隧道和地下工程遇到的難題進(jìn)行研究，對(duì)我國(guó)交通網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃，提高隧道施工質(zhì)量具有重要意義[2]。隧道在開(kāi)挖時(shí)會(huì)破壞圍巖原有的應(yīng)力平衡狀態(tài)，使圍巖的初始應(yīng)力場(chǎng)發(fā)生改變。圍巖自身具有一定承載能力，在承載能力范圍以內(nèi)，能達(dá)到平衡狀態(tài)，不會(huì)發(fā)生破壞；但是對(duì)于軟巖或者高地應(yīng)力條件下，僅靠圍巖的承載能力，不能保持平衡狀態(tài)，就會(huì)導(dǎo)致坍塌變形[3-4]。因此，研究襯砌-錨桿支護(hù)圍巖結(jié)構(gòu)對(duì)于深埋圓形隧道建設(shè)具有重要的意義。

國(guó)外學(xué)者[5-8]對(duì)錨桿支護(hù)圍巖等進(jìn)行相關(guān)的研究，采用改進(jìn)數(shù)值分析等手段對(duì)錨桿支護(hù)圍巖結(jié)構(gòu)進(jìn)行相應(yīng)研究，充分考慮錨桿和圍巖的耦合作用，給出隧道開(kāi)挖時(shí)的解析解，并對(duì)錨桿支護(hù)作用下的隧道掘進(jìn)時(shí)進(jìn)行三維數(shù)值模擬，發(fā)現(xiàn)錨桿支護(hù)圍巖對(duì)圍巖的黏聚力有一定的增強(qiáng)作用。錨桿的存在對(duì)于地下工程長(zhǎng)期運(yùn)營(yíng)的穩(wěn)定以及維持結(jié)構(gòu)安全具有重要意義，王剛等[9-10]對(duì)錨桿支護(hù)地下工程進(jìn)行相應(yīng)的研究，闡述錨固區(qū)錨桿與圍巖以及支護(hù)結(jié)構(gòu)的關(guān)系，對(duì)地下工程設(shè)計(jì)提供一定的依據(jù)。Fenner 公式[11-12]、修正的Fenner 公式和Kastner 公式[13]給出在深埋圓形硐室的解析式，對(duì)其塑性區(qū)范圍與圍巖的力學(xué)材料參數(shù)進(jìn)行闡述。榮傳新等[14]結(jié)合彈塑性損傷理論，推導(dǎo)出在地下水滲流影響下，地下無(wú)壓硐室的彈塑性解析解。侯公羽等[15]推導(dǎo)出無(wú)壓圓形隧道在不同屈服準(zhǔn)則情形下的理論解答。黃阜等[16-17]對(duì)無(wú)壓隧洞在水的滲透作用以及Hoek-Brown 屈服準(zhǔn)則條件下的彈塑性解析解進(jìn)行討論分析，并給出水的滲透效應(yīng)對(duì)廣義非線性屈服準(zhǔn)則基礎(chǔ)上的隧洞彈塑性影響的解答。張常光等[18]利用統(tǒng)一強(qiáng)度與塑性軟化模型，給出地下井壁巖體關(guān)于彈性極限載荷、井口壓力以及井壁位移的解析解，在此基礎(chǔ)上，討論塑性區(qū)軟化區(qū)域大小與井口壓力、井壁位移之間的關(guān)系。Lee 等[19]推導(dǎo)出在水滲透作用下，圓形隧洞的圍巖應(yīng)力和位移分布彈塑性解析式。李宗利等[20]和劉成學(xué)等[21]分別給出無(wú)壓隧道和應(yīng)力重分布隧道在滲流力作用下的彈塑性解答。王睢等[22-23]給出深埋有壓硐室在滲流力作用影響下的彈塑性解答。李政林等[24]給出圍巖松動(dòng)圈在雙線性損傷理論基礎(chǔ)上的預(yù)測(cè)和解析式表達(dá)。王明斌等[25]通過(guò)構(gòu)造應(yīng)力復(fù)變函數(shù)，給出有壓隧道的彈塑性解析解新表達(dá)形式。

本文基于等效材料法，在Drucker-Prager 屈服準(zhǔn)則（簡(jiǎn)稱P-D 準(zhǔn)則）條件下，研究深埋圓形隧道襯砌-錨桿支護(hù)圍巖的彈塑性解答。在研究過(guò)程中，給出D-P 屈服準(zhǔn)則下的塑性區(qū)半徑、襯砌和圍巖的徑向應(yīng)力與環(huán)向應(yīng)力表達(dá)式。在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究不同錨桿彈性模量、錨桿支護(hù)角度對(duì)襯砌與錨固區(qū)徑向應(yīng)力、環(huán)向應(yīng)力以及塑性區(qū)擴(kuò)展的作用機(jī)理。

1 塑性區(qū)位于襯砌內(nèi)部應(yīng)力表達(dá)式推導(dǎo)

1.1 模型建立

假設(shè)圓形隧道存在于無(wú)限大彈性體內(nèi)，計(jì)算模型如圖1。隧道內(nèi)半徑為ρ0，隧道襯砌外半徑為ρ1，隧道錨固區(qū)半徑為ρ2，隧道襯砌內(nèi)壁壓力為P，地應(yīng)力為P0。襯砌的彈性模量為E1，泊松比為μ1，黏聚力與內(nèi)摩擦角分別為c1，φ1；巖體的彈性模量為E2，泊松比為μ2，黏聚力與內(nèi)摩擦角分別為c2，φ2。設(shè)屈服半徑為ρp，設(shè)壓正拉負(fù)。隧道在施工開(kāi)挖時(shí)期，在開(kāi)挖卸載的影響下，或者地應(yīng)力大于支護(hù)產(chǎn)生的壓力，地應(yīng)力釋放的應(yīng)力重分布導(dǎo)致開(kāi)挖面附近的隧道襯砌和圍巖產(chǎn)生屈服。在D-P 準(zhǔn)則模型中，多數(shù)情況下環(huán)向應(yīng)力為第一主應(yīng)力。

1.2 塑性區(qū)位于襯砌內(nèi)部塑性區(qū)應(yīng)力表達(dá)式推導(dǎo)

塑性區(qū)交界面位于隧道襯砌內(nèi)部時(shí)，如圖1所示，此時(shí)ρ0≤ρp≤ρ1，為軸對(duì)稱問(wèn)題，應(yīng)力應(yīng)滿足平衡方程

式中，σρ為徑向應(yīng)力，σθ為環(huán)向應(yīng)力。此時(shí)應(yīng)力在塑性區(qū)內(nèi)還應(yīng)滿足屈服條件——D-P 準(zhǔn)則模型

式中，I1為應(yīng)力張量的第一不變量；J2為應(yīng)力偏量的第二不變量，形式為

式中，σz為Z方向應(yīng)力，α 與k是關(guān)于巖體強(qiáng)度的參數(shù)，在平面應(yīng)變問(wèn)題的前提下，形式為

在塑性變形過(guò)程中的微小塑性變形的時(shí)間增量?jī)?nèi)，塑性應(yīng)變?cè)隽颗c瞬時(shí)應(yīng)力偏量成正比，可以得出[26]

由平面應(yīng)變條件可得

結(jié)合式（2），式（3）和式（6），可得

將式（7）代入平衡方程式（1），得

式中，M1為積分常數(shù)，利用

將式（4）與式（10）代入式（8），得到塑性區(qū)徑向應(yīng)力表達(dá)式

利用關(guān)系式（7），得到塑性區(qū)環(huán)向應(yīng)力表達(dá)式

式中

式（11）與式（12）是在第一主應(yīng)力為環(huán)向應(yīng)力且以壓應(yīng)力為正的條件下，屈服條件為D-P 準(zhǔn)則所求解的圓形隧道襯砌塑性區(qū)的徑向應(yīng)力與環(huán)向應(yīng)力表達(dá)式。

1.3 塑性區(qū)位于襯砌內(nèi)部彈性區(qū)應(yīng)力表達(dá)式推導(dǎo)

隧道塑性區(qū)此時(shí)仍處于襯砌內(nèi)部，當(dāng)ρ＞ρp時(shí)，襯砌處于彈性階段，錨固區(qū)以及原巖體區(qū)同樣處于彈性階段，此時(shí)處于彈性階段的襯砌區(qū)、錨固區(qū)和原巖區(qū)的應(yīng)力、位移表達(dá)式應(yīng)滿足以下形式。

襯砌區(qū)：

錨固區(qū)：

原巖區(qū)：

以上為彈性區(qū)的應(yīng)力、位移表達(dá)通式，σρ1，σθ1和uρ1分別為襯砌彈性區(qū)徑向應(yīng)力、環(huán)向應(yīng)力與徑向位移；σρ2，σθ2和uρ2分別為錨固區(qū)彈性區(qū)徑向應(yīng)力、環(huán)向應(yīng)力與徑向位移；σρ3，σθ3和uρ3分別為原巖區(qū)徑向應(yīng)力、環(huán)向應(yīng)力與徑向位移。A1，A2，A3，B1，B2和B3為待求解未知數(shù)。

對(duì)于錨固區(qū)，將錨桿與圍巖視為均質(zhì)的復(fù)合體，利用參數(shù)等效公式，將錨固區(qū)的力學(xué)參數(shù)進(jìn)行表征。復(fù)合錨固區(qū)的彈性模量可以通過(guò)抗拉強(qiáng)度等效原理解得

式中，Eb和E2分別為錨桿和圍巖的彈性模量，sl和sr分別為錨桿的橫向與環(huán)向間距，rb為錨桿的橫截面半徑。

復(fù)合錨固區(qū)摩擦角φf(shuō)與黏聚力cf形式為

式中，cf和φf(shuō)分別為等效材料法下錨固區(qū)黏聚力與摩擦角；α 為錨桿密度因子。

列出應(yīng)力、位移邊界條件與接觸條件

式中，qρp為塑性區(qū)應(yīng)力，得到6 個(gè)平衡方程來(lái)求解A1，A2，A3，B1，B2和B3。將A1，A2，A3，B1，B2，B3代入應(yīng)力表達(dá)式，得到彈性區(qū)應(yīng)力表達(dá)。

由彈性區(qū)應(yīng)力的表達(dá)式可知

關(guān)系式在彈塑性交界面處同樣滿足，故

求得塑性區(qū)應(yīng)力qρp，具體表達(dá)式見(jiàn)附錄A。

ρp可以根據(jù)塑性區(qū)界面上的接觸條件式（22）來(lái)求解

這是關(guān)于ρp的超越方程，采用迭代法求解，此處設(shè)ρp=ρ0，彈塑性交界面處的徑向應(yīng)力大小為P，則可以求出第一臨界壓力P1。

2 塑性區(qū)位于錨固區(qū)應(yīng)力表達(dá)式推導(dǎo)

2.1 模型建立

假設(shè)圓形隧道存在于無(wú)限大彈性體內(nèi)，塑性區(qū)位于錨固區(qū)內(nèi)力學(xué)計(jì)算模型如圖2 所示。

圖2 塑性區(qū)位于錨固區(qū)內(nèi)力學(xué)計(jì)算模型Fig.2 Mechanical calculation model for the plastic zone located in the anchorage zone

2.2 塑性區(qū)位于錨固塑性區(qū)應(yīng)力表達(dá)式推導(dǎo)

此時(shí)ρp≥ρ1，塑性區(qū)的應(yīng)力滿足平衡微分方程和屈服條件、錨固區(qū)內(nèi)的屈服應(yīng)力與1.2 形式相同，屈服區(qū)界面的邊界條件為代入式（8）得

解得積分常數(shù)M2為

將積分常數(shù)M2代回錨固區(qū)塑性應(yīng)力表達(dá)式，解得錨固區(qū)塑性應(yīng)力表達(dá)式σρ2p和σθ2p，具體表達(dá)式見(jiàn)附錄A。

2.3 塑性區(qū)位于錨固彈性區(qū)應(yīng)力表達(dá)式推導(dǎo)

彈性區(qū)原巖和錨固區(qū)的應(yīng)力、位移表達(dá)式與式（15）和式（16）形式相同，邊界條件和接觸條件為

同理聯(lián)立方程求解未知數(shù)A2，A3，B2和B3，將未知數(shù)代入應(yīng)力表達(dá)式，得到彈性區(qū)的應(yīng)力表達(dá)式，在本文第1 節(jié)已作描述，不再贅述。

此時(shí)彈塑性界面在錨固區(qū)，利用應(yīng)力關(guān)系式

可以得到qρp的表達(dá)式

再利用式（27）來(lái)定位彈塑性區(qū)界面，這是關(guān)于ρp的超越方程，采用迭代法求解。

3 模型驗(yàn)證與算例分析

3.1 數(shù)值模擬驗(yàn)證

結(jié)合現(xiàn)場(chǎng)點(diǎn)載荷試驗(yàn)結(jié)果，通過(guò)數(shù)值模擬與現(xiàn)場(chǎng)位移監(jiān)控量測(cè)對(duì)比所得到的襯砌與圍巖參數(shù)如表1 所示。錨桿長(zhǎng)度為3 m，半徑為0.21 m，彈性模量為2.0×1011Pa，錨桿支護(hù)角度為11.4°。為了更好地保證模型驗(yàn)證的正確性，模型半徑為30 m，隧道半徑為4 m，模型的半徑長(zhǎng)度大于隧道半徑長(zhǎng)度6 倍，以消減邊界效應(yīng)的影響。邊界條件設(shè)置環(huán)形法向應(yīng)力約束，隧道y軸自由面法向位移約束。在模型最外側(cè)邊界處施加環(huán)向初始地應(yīng)力P0=10 MPa，隧道襯砌內(nèi)邊界環(huán)向襯砌內(nèi)壓P=2 MPa。

表1 襯砌及圍巖計(jì)算參數(shù)Table 1 Calculation of elastic parameters for lining and surrounding rock

數(shù)值模擬計(jì)算的徑向應(yīng)力和理論計(jì)算的數(shù)值對(duì)比如圖3 所示，徑向應(yīng)力在襯砌內(nèi)部呈遞增趨勢(shì)，軟巖的徑向應(yīng)力相較于硬巖數(shù)值較大且斜率較大，在襯砌與錨固區(qū)的邊界處數(shù)值最大，然后隨徑向距離的增大逐漸減小，最后趨近于初始地應(yīng)力。在兩種計(jì)算情形下，襯砌區(qū)的誤差整體上略大于錨固區(qū)，軟巖數(shù)值模擬與理論計(jì)算的誤差較大，平均誤差為7.04%，硬巖的平均誤差明顯較小，平均誤差為5.06%。采用FLAC3D 數(shù)值模擬軟件計(jì)算云圖如圖4 所示。

圖3 數(shù)值模擬與理論計(jì)算徑向演化曲線Fig.3 Radial evolution curve of numerical simulation and theoretical calculation

圖4 數(shù)值模擬應(yīng)力云圖Fig.4 Numerical simulated stress cloud diagram

3.2 有無(wú)錨固彈塑性算例分析

采用上述模型數(shù)據(jù)，當(dāng)P=2 MPa 時(shí)，有無(wú)錨固不同徑向距離徑向應(yīng)力和環(huán)向應(yīng)力演化曲線如圖5 所示。

圖5 演化曲線Fig.5 Evolution curve

ρ0＜ρp＜ρ1，錨桿錨固作用對(duì)襯砌內(nèi)塑性區(qū)擴(kuò)展影響較小，變化率在2%以下。并且，錨桿錨固作用對(duì)襯砌徑向應(yīng)力演化只存在數(shù)值方面影響，軟巖條件下，襯砌-錨桿支護(hù)圍巖力學(xué)模型的襯砌徑向應(yīng)力大于硬巖；在錨固區(qū)，從襯砌與錨固區(qū)邊界到錨固區(qū)與原巖區(qū)邊界，徑向應(yīng)力呈遞減趨勢(shì)；軟巖徑向應(yīng)力大于硬巖徑向應(yīng)力；軟巖有錨固區(qū)與軟巖無(wú)錨固區(qū)的相同徑向距離處的徑向應(yīng)力變化率要大于硬巖。沿徑向距離環(huán)向應(yīng)力在襯砌內(nèi)部存在較大的波動(dòng)，且在襯砌與圍巖的交界面上出現(xiàn)較大的跳躍。襯砌-錨桿支護(hù)軟巖的環(huán)向應(yīng)力與環(huán)向應(yīng)力變化率較大；環(huán)向應(yīng)力的峰值出現(xiàn)在彈塑性交界面處，軟巖情形下，有無(wú)錨固的峰值分別為71.81 MPa 與66.30 MPa，硬巖則為54.91 MPa 和54.31 MPa。軟巖在襯砌與錨固區(qū)交界面右側(cè)處的環(huán)向應(yīng)力分別為8.87 MPa和6.30 MPa，硬巖則為10.45 MPa 與8.68 MPa，錨固區(qū)的環(huán)向應(yīng)力大于無(wú)錨固區(qū)的環(huán)向應(yīng)力。在錨固區(qū)，軟巖相同徑向距離的環(huán)向應(yīng)力變化率大于硬巖。

3.3 不同錨桿彈性模量彈塑性算例分析

當(dāng)P=2 MPa＜P1時(shí)，不同錨桿彈性模量下不同徑向距離徑向應(yīng)力和環(huán)向應(yīng)力演化曲線如圖6所示。ρ0＜ρp＜ρ1，錨桿錨固作用對(duì)塑性區(qū)擴(kuò)展影響較小，變化率在1%以下。在襯砌內(nèi)部，錨桿彈性模量提升對(duì)徑向應(yīng)力變化影響并不明顯，襯砌-錨桿支護(hù)軟巖力學(xué)準(zhǔn)則下襯砌徑向應(yīng)力大于硬巖，徑向應(yīng)力變化率與前者一致；在錨固區(qū)，從襯砌與錨固區(qū)邊界到錨固區(qū)與原巖區(qū)邊界，徑向應(yīng)力呈遞減趨勢(shì)；軟巖徑向應(yīng)力大于硬巖徑向應(yīng)力；軟巖錨固區(qū)相同徑向距離處的徑向應(yīng)力變化率要大于硬巖。從圖6 可以看出，沿徑向距離環(huán)向應(yīng)力在襯砌內(nèi)部有較大的波動(dòng)，且在襯砌與圍巖的交界面上存在較大的跳躍。襯砌-錨桿支護(hù)軟巖的環(huán)向應(yīng)力與環(huán)向應(yīng)力變化率較大；環(huán)向應(yīng)力的峰值出現(xiàn)在彈塑性交界面處，軟巖情形下，峰值分別為68.34 MPa，69.71 MPa 與70.43 MPa，硬巖則為54.31 MPa，54.31 MPa 與54.91 MPa。軟巖在襯砌與錨固區(qū)交界面右側(cè)處的環(huán)向應(yīng)力分別為6.90 MPa，7.45 MPa 與7.96 MPa，硬巖則為8.74 MPa，9.06 MPa 與9.45 MPa，從圖中可以看出，硬、軟巖環(huán)向應(yīng)力隨著徑向距離的增大，差異逐漸減小。相同錨固參數(shù)下，硬巖的環(huán)向應(yīng)力大于軟巖環(huán)向應(yīng)力。隨錨桿彈性模量的提升，錨固區(qū)的環(huán)向應(yīng)力呈遞增趨勢(shì)，但在整個(gè)錨固區(qū)，軟巖不同徑向距離的環(huán)向應(yīng)力變化率大于硬巖環(huán)向應(yīng)力變化率。

圖6 演化曲線Fig.6 Evolution curve

3.4 不同錨桿支護(hù)角度彈塑性算例分析

當(dāng)P=2 MPa＜P1時(shí)，不同錨桿支護(hù)角度下不同徑向距離徑向應(yīng)力和環(huán)向應(yīng)力演化曲線如圖7 所示。ρ0＜ρp＜ρ1，有無(wú)錨桿支護(hù)作用襯砌內(nèi)塑性區(qū)半徑響應(yīng)均較小，變化率在1%以下。在襯砌內(nèi)部，錨桿支護(hù)角度的減小對(duì)徑向應(yīng)力變化影響并不明顯，襯砌-錨桿支護(hù)軟巖襯砌部分徑向應(yīng)力大于硬巖徑向應(yīng)力，徑向應(yīng)力變化率差異不大；在錨固區(qū)，從襯砌與錨固區(qū)邊界到錨固區(qū)與原巖區(qū)邊界，徑向應(yīng)力呈遞減趨勢(shì)；軟巖徑向應(yīng)力整體上大于硬巖徑向應(yīng)力；軟巖與硬巖在錨固區(qū)變化率呈遞增趨勢(shì)，硬巖變化率增長(zhǎng)較為迅速。從圖7 可以看出，在襯砌內(nèi)部，不同徑向距離環(huán)向應(yīng)力在襯砌內(nèi)部有較大的波動(dòng)，且在襯砌與圍巖的交界面上出現(xiàn)較大的跳躍，襯砌-錨桿支護(hù)軟巖的環(huán)向應(yīng)力與環(huán)向應(yīng)力變化率較大；環(huán)向應(yīng)力的峰值出現(xiàn)在彈塑性交界面處，軟巖情形下，三者的峰值分別為69.71 MPa，71.81 MPa 與71.11 MPa，硬巖則為54.31 MPa，54.91 MPa與53.27 MPa。軟巖在襯砌與錨固區(qū)交界面右側(cè)處的環(huán)向應(yīng)力分別為7.45 MPa，8.87 MPa 與10.14 MPa，硬巖則為9.06 MPa，10.45 MPa 與12.33 MPa，從圖中可以看出，硬、軟巖環(huán)向應(yīng)力隨著徑向距離的增大，三者的差異逐漸減小。相同錨固參數(shù)下，硬巖的環(huán)向應(yīng)力略大于軟巖環(huán)向應(yīng)力。隨錨桿支護(hù)角度的減小，錨固區(qū)的環(huán)向應(yīng)力呈遞增趨勢(shì)，但在整個(gè)錨固區(qū)，硬巖環(huán)向應(yīng)力變化率大于軟巖環(huán)向應(yīng)力變化率。

圖7 演化曲線Fig.7 Evolution curve

4 結(jié)論

（1）本文基于D-P 屈服準(zhǔn)則，在平面應(yīng)變的條件下推導(dǎo)出具有襯砌-錨桿支護(hù)深埋隧道在不同施工階段下的彈塑性解答，通過(guò)FLAC3D 數(shù)值模擬驗(yàn)證了該模型的正確性，為施工設(shè)計(jì)提供了參考依據(jù)。

（2）塑性區(qū)位于襯砌內(nèi)部，錨桿的錨固作用對(duì)其塑性區(qū)擴(kuò)展響應(yīng)不明顯，塑性區(qū)擴(kuò)展到錨固區(qū)，軟巖中錨桿錨固作用對(duì)抑制塑性擴(kuò)展的響應(yīng)較好；塑性區(qū)擴(kuò)展到錨固區(qū)時(shí)，塑性區(qū)半徑與錨桿的彈性模量呈負(fù)相關(guān)趨勢(shì)，塑性區(qū)半徑與錨桿的支護(hù)角度呈正相關(guān)趨勢(shì)，軟巖中錨桿錨固作用對(duì)抑制塑性區(qū)擴(kuò)展的效果更為明顯。

附錄A