范興明 封 浩 張 鑫

最小二乘算法優(yōu)化及其在鋰離子電池參數(shù)辨識中的應用

范興明 封 浩 張 鑫

（桂林電子科技大學機電工程學院 桂林 541004）

傳統(tǒng)最小二乘法（LS）用于鋰離子電池模型在線參數(shù)辨識精度低，通過帶遺忘因子遞推最小二乘算法能夠有效地提高辨識精度，但固定的遺忘因子影響模型動態(tài)特性。遺忘因子的自適應處理能提高算法對動態(tài)系統(tǒng)的參數(shù)辨識能力，而目前的自適應方法容易忽略模型參數(shù)的穩(wěn)定性，同時方法待定系數(shù)范圍較大且難以確認。為了得到高精度且穩(wěn)定性良好的模型參數(shù)，該文設計了一種精度和穩(wěn)定性兼優(yōu)且更簡單的自適應遺忘因子遞推最小二乘（AFFRLS）改進方法，并與其他AFFRLS、可變遺忘因子遞推最小二乘（VFFRLS）進行仿真對比分析。結(jié)果表明，改進的AFFRLS能夠在模型精度和參數(shù)穩(wěn)定性取得更好的平衡，且對不同的在線工況具有良好的適用性。

鋰離子電池模型 參數(shù)辨識 最小二乘法 自適應遺忘因子

0 引言

鋰離子電池為新能源汽車提供主要動力來源，具有能量密度大、輸出電壓高等特點。實際應用中，掌握電池荷電狀態(tài)（State of Charge, SOC）對電池的管理和控制至關重要。鋰電池充放電過程具有動態(tài)非線性特性，內(nèi)部伴隨著復雜的電化學反應，并受到外部因素的影響，導致準確地估算SOC成為難題[1]。

目前國內(nèi)外學者通過模型方法模擬電池內(nèi)部電動力過程和電化學反應過程，常見的模型有：等效電路模型（Equivalent Circuit Model, ECM）[2-3]、電化學模型（Electrochemical Model, EM）[4]、電化學阻抗模型（Electrochemical Impedance Model, EIM）[5]。其中EM模擬準確度更高，但結(jié)構(gòu)復雜，估算參數(shù)較多；ECM由電壓源、電阻、電容組合表示，結(jié)構(gòu)比EM簡單；EIM模擬電池動態(tài)特性良好，但參數(shù)的獲取依賴精密儀器，難以在線應用。綜合模擬精度和模型復雜度，二階RC等效電路模型常被用來研究電池內(nèi)部電動力過程和電化學反應過程。獲得高精度的模型參數(shù)是建立模型的關鍵，辨識模型參數(shù)有離線和在線辨識方法[6]。離線方法通過實驗獲取模型參數(shù)，但參數(shù)結(jié)果難以反映電池時變特性；在線方法利用電池工況測量的端電壓和輸出電流，通過算法辨識模型參數(shù)，辨識結(jié)果精度更高，動態(tài)特性良好。

常見的在線參數(shù)辨識算法有遺傳算法（Genetic Algorithm, GA）[7]、遞推最小二乘算法（Recursive Least Square, RLS）[8]、粒子群算法（Particle Swarm Optimization, PSO）[9]、擴展卡爾曼濾波（Extended Kalman Filter, EKF）[10]等。其中，GA辨識精度和收斂速度與算法參數(shù)有關，算法易陷入局部最優(yōu)。RLS結(jié)構(gòu)簡單，但辨識誤差較大。PSO用于參數(shù)辨識，與RLS和EKF相比，準確度較低[11]。而EKF需要計算雅可比矩陣，計算量較大。為了進一步提高RLS辨識精度，不少研究對RLS進行了優(yōu)化。例如，帶遺忘因子最小二乘（Forgetting Factor Recursive Least Square, FFRLS）通過遺忘因子來調(diào)整新舊數(shù)據(jù)的比例，降低舊數(shù)據(jù)占比，加快算法收斂速度[1,12]。基于傅里葉變換的偏置補償遞推最小二乘對系統(tǒng)噪聲進行補償[13]，精度較高，但收斂速度不及FFRLS。用于分數(shù)階的重復預測遞推最小二乘，通過修正分數(shù)階導數(shù)的近似誤差，來提高辨識精度，算法結(jié)構(gòu)復雜[14]。解耦加權(quán)遞推最小二乘將模型的快、慢動態(tài)參數(shù)進行辨識[15]，計算量比FFRLS大。遞推擴展最小二乘[16]引入遺忘因子和噪聲估計，但結(jié)構(gòu)比FFRLS復雜。FFRLS用于在線參數(shù)辨識，精度高，結(jié)構(gòu)簡單，易于在微控制器實現(xiàn)應用。電池充放電過程中的電壓電流動態(tài)變化，固定的遺忘因子影響參數(shù)辨識結(jié)果的時變性和辨識精度。因此，對遺忘因子作動態(tài)處理，通過改變遺忘因子的權(quán)重來適應系統(tǒng)的動態(tài)變化[17]，文獻[18]提出了可變遺忘因子遞推最小二乘（Variable Forgetting Factor Recursive total Least Squares, VFFRLS），通過修正誤差實時改變遺忘因子大小。文獻[19]通過模擬退火算法優(yōu)化FFRLS，實現(xiàn)遺忘因子動態(tài)變化，但計算較為復雜。文獻[20]設計了一種自適應表達式，通過修正誤差對遺忘因子作自適應處理，與VFFRLS對比有更高的精度和響應速度。文獻自適應遺忘因子最小二乘（Adaptive Forgetting-Factor Least Square, AFFRLS）方法中的待定系數(shù)影響算法對誤差的跟蹤能力，其待定系數(shù)取值范圍較大，給實際應用帶來一定困難。且現(xiàn)有自適應方法容易忽略模型的參數(shù)穩(wěn)定性，而辨識參數(shù)波動過大容易引起算法發(fā)散。因此，本文設計了一種精度和穩(wěn)定性兼優(yōu)且更簡單的自適應遺忘因子遞推最小二乘改進方法。

本文在鋰離子電池二階RC等效電路模型的基礎上，首先通過電池動態(tài)應力測試（Dynamic Stress Test, DST）、美國聯(lián)邦城市運行工況（Federal Urban Driving Schedule, FUDS）動態(tài)工況數(shù)據(jù)，分析緩變與劇變工況下不同遺忘因子對FFRLS辨識參數(shù)穩(wěn)定性和精度的影響；然后利用固定遺忘因子值的FFRLS仿真表現(xiàn)，選擇合適的遺忘因子取值范圍；再將本文改進的AFFRLS用于在線參數(shù)辨識，通過兩種不同動態(tài)工況驗證算法的辨識精度和參數(shù)穩(wěn)定性；最后將本文改進的AFFRLS與文獻提及的VFFRLS[18]、自適應遺忘因子遞推最小二乘[20]進行對比分析。仿真結(jié)果表明，本文改進的AFFRLS在不同工況具有良好的適用性，在緩變和劇變工況下的精度都優(yōu)于文獻[18,20]中自適應遺忘因子最小二乘方法，且參數(shù)穩(wěn)定性優(yōu)于FFRLS取固定遺忘因子值為0.980、0.985的辨識結(jié)果。

1 鋰離子電池等效電路模型

ECM通過電壓源、電阻和電容的組合建立物理模型，模擬電池內(nèi)部復雜的電化學現(xiàn)象。選擇的二階RC等效電路模型包括電壓源、內(nèi)阻、兩個RC并聯(lián)網(wǎng)絡。鋰離子二階RC電池等效電路模型如圖1所示[20]。圖1中，oc為開路電壓，L為端電壓，()為輸出電流，0為內(nèi)阻；1、1分別為電化學極化電阻和電化學極化電容，其乘積表示電池內(nèi)部動態(tài)特性較長的時間常數(shù)；2、2分別為濃差極化電阻和濃差極化電容，其乘積表示電池動態(tài)特性較短的時間常數(shù)。模型在電池放電時()為正，充電時為負。

圖1 鋰離子二階RC電池等效電路模型

由基爾霍夫定律，等效電路可表示為

對式（1）進行拉氏變換得到

令時間常數(shù)111、222，化簡得

式中，0、1、2、3、4為常數(shù)。

2 最小二乘及其優(yōu)化方法

2.1 最小二乘原理

LS方法簡單，計算耗時短，辨識易于實現(xiàn)，目前在線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)均有應用。算法核心是使預測數(shù)據(jù)和實際數(shù)據(jù)之間誤差平方和最小[18]。算法簡單描述如下。

式中，()為系統(tǒng)測量誤差向量。

令待估計參數(shù)向量為

()=[12…12…]T

輸入數(shù)據(jù)量為

[(-1)(-2) …(-)(-1)(-2) …(-)]T

將式（5）寫成最小二乘形式為

經(jīng)過次觀測，取評價指標函數(shù)為

當輸入數(shù)據(jù)量較大時，常把式（7）用遞推形式表示，即遞推最小二乘（RLS），表達式為

則模型參數(shù)關系為最小二乘式，可表示為

由式（11）得到模型參數(shù)表達式為

2.2 帶遺忘因子最小二乘（FFRLS）

傳統(tǒng)RLS辨識模型參數(shù)時，隨著遞推過程舊數(shù)據(jù)不斷累積，新數(shù)據(jù)的修正作用受到影響。為了降低舊數(shù)據(jù)的比例，引入遺忘因子，F(xiàn)FRLS表達式為

式中，()為預測誤差。取值范圍一般在0.95～1，當=1時，算法回到最初的RLS。

當()較小時，說明辨識結(jié)果接近真實值，此時希望提高參數(shù)穩(wěn)定性；當()較大時，算法對系統(tǒng)跟蹤能力較差，需要降低值來提高算法精度，加快算法收斂速度。自適應方法將值隨系統(tǒng)動態(tài)變化而變化，能有效提高算法對動態(tài)系統(tǒng)時變參數(shù)的跟蹤能力和算法精度。

2.3 可變遺忘因子最小二乘（VFFRLS）

文獻[18]基于可變遺忘因子策略，提出了一種VFFRLS算法，根據(jù)誤差大小變化來調(diào)整值。值更新表達式為

當2()趨于0時，值趨于1；當2()趨于無窮時，值趨于min[18]?？勺冞z忘因子策略能夠?qū)崿F(xiàn)值自適應變化，且方法簡單。但趨于最小值的速度受值大小影響，對系數(shù)取值要求較高。值與min取合理范圍，其算法參數(shù)辨識效果會更好。

2.4 自適應遺忘因子最小二乘（AFFRLS）

文獻[20]提出的AFFRLS在()大于預測允許誤差時，值趨于min；相應地，小于預測允許誤差時，值變大。表達式為

2.5 AFFRLS改進方法

上述自適應方法容易忽略參數(shù)結(jié)果的穩(wěn)定性問題，且參數(shù)待定系數(shù)需進一步確認。本文尋求算法辨識精度和穩(wěn)定性的平衡，將在緩變和劇變工況數(shù)據(jù)下進行仿真分析。當()較大時，希望值快速接近最小值，提高辨識精度；而()在誤差允許范圍內(nèi)，值應當趨于最大值，提高參數(shù)穩(wěn)定性。為了實現(xiàn)上述目的，本文提出了一種新的改進AFFRLS，表達式為

改進的AFFRLS參數(shù)辨識流程如圖2所示。首先由測量數(shù)據(jù)組成()，結(jié)合式（13）和式（10）計算增益、預測端電壓及預測誤差，并更新參數(shù)向量。將參數(shù)向量通過式（11）和式（12）計算得到模型參數(shù)，后由式（16）自適應更新算法值。

圖2 改進AFFRLS方法參數(shù)辨識流程

3 基于FFRLS在線參數(shù)辨識與仿真分析

首先利用DST和FUDS工況數(shù)據(jù)對不同值下FFRLS進行在線參數(shù)辨識，分析緩變和劇變工況下不同值對辨識結(jié)果的影響。

本文數(shù)據(jù)集來自馬里蘭大學高級生命周期工程研究中心[21]，測試電池為18650鎳鈷錳酸鋰/石墨鋰離子單體電池，容量為2 A?h，實驗表明增量開路電壓（Open Circuit Voltage, OCV）實驗建立的OCV-SOC關系更準確，OCV-SOC仿真數(shù)據(jù)選取25℃增量OCV實驗數(shù)據(jù)。選取25℃實驗環(huán)境下DST、FUDS實驗數(shù)據(jù)用于模型在線辨識。模型辨識精度通過實測端電壓和模擬端電壓的平均絕對誤差（Mean Absolute Error, MAE）、方均根誤差（Root Mean Squared Error, RMSE）和最大絕對誤差值（Maximum absolute Error, ME）衡量。

選取的DST實驗數(shù)據(jù)集在電池放電至SOC為80%基礎上靜置2 h，再以一定規(guī)律的充放電電流周期性循環(huán)模擬動態(tài)工況，單次循環(huán)時間為360 s。取遺忘因子分別為0.980、0.985、0.990、0.995、1，對DST實驗數(shù)據(jù)進行仿真分析，參數(shù)辨識結(jié)果如圖3所示。

由圖3a～圖3e參數(shù)辨識結(jié)果可知，=1時，圖形趨于一條直線，參數(shù)穩(wěn)定；=0.980時，算法最快收斂，整體上圖形波動幅度最大，參數(shù)波動反映了模型參數(shù)隨電壓電流變化而變化的時變特性。其中圖3a～圖3e的圖形趨勢顯示，隨著值減小參數(shù)圖形波動逐漸變大，參數(shù)穩(wěn)定性下降。誤差圖3f為基于模型參數(shù)的預測端電壓與實測端電壓誤差的時間變化曲線，可以看出，=0.980時誤差分布最接近0點，=1時誤差曲線在0點上下波動最明顯。

估算端電壓與實測端電壓誤差見表1。由表1可以得到，越接近1，誤差越大；MAE隨減小而減小，但從0.995到0.980變化逐漸不明顯；RMSE隨著減小而減小，變化幅度隨之變??；最大誤差隨著減小而持續(xù)減小。從誤差數(shù)據(jù)來看，越接近0.980，估計精度越高。減小時，舊數(shù)據(jù)在迭代過程的修正誤差比重下降，新數(shù)據(jù)比重增加，算法對系統(tǒng)時變參數(shù)的跟蹤能力得到加強。

表1 DST工況下端電壓估算結(jié)果

Tab.1 Results of terminal voltage estimation via DST

從辨識結(jié)果來看，對于參數(shù)0、1、2、1、2的辨識，隨著減小，算法收斂速度加快，精度逐漸提高，參數(shù)時變特性更好。但參數(shù)波動過大易引起算法發(fā)散。可見取合適的值對參數(shù)估算有著重要意義。

FUDS實驗是在電池滿電狀態(tài)放電至SOC為80%，后靜置2 h，以1 372 s劇烈變化的充放電電流開展。FUDS相比DST工況電池動態(tài)變化更劇烈，通過FUDS工況數(shù)據(jù)驗證不同值下FFRLS對復雜在線工況的辨識能力。

FUDS與DST工況辨識結(jié)果規(guī)律表現(xiàn)一致，圖形在此省略。FUDS仿真顯示，越小，收斂速度越快，參數(shù)曲線動態(tài)特性越明顯，取0.980時誤差分布最接近0點，而取1時誤差波動最明顯。

FUDS工況下端電壓估算結(jié)果見表2，可知FUDS工況下不同值誤差規(guī)律與DST工況下一致，整體上越小，誤差越小。最大絕對誤差在取0.980～0.990時無明顯變化，此時取=0.990對系統(tǒng)電壓電流劇烈變化跟蹤能力較好。表2與表1對比可得，表2中MAE與RMSE數(shù)值更大，差值小于0.24 mV，說明對于急劇變化的系統(tǒng)，F(xiàn)FRLS估算精度有所下降。

表2 FUDS工況下端電壓估算結(jié)果

Tab.2 Results of terminal voltage estimation via FUDS

由DST和FUDS仿真結(jié)果來看，對于不同動態(tài)工況，值減小，參數(shù)的精度得到提高，但穩(wěn)定性有所下降。當修正誤差較大時，通過減小值來增強算法對動態(tài)參數(shù)的跟蹤能力；當修正誤差較小時，應令值趨于1提高參數(shù)穩(wěn)定性。對值動態(tài)匹配能夠在算法辨識的精度和穩(wěn)定性中尋求平衡，并能提高不同工況下的適用性。

4 基于自適應遺忘因子最小二乘算法參數(shù)辨識與仿真分析

第3節(jié)得到了不同值下FFRLS對在線參數(shù)辨識結(jié)果的影響規(guī)律，綜合考慮精度和穩(wěn)定性，值取0.980～1。本節(jié)對本文改進AFFRLS、文獻[18]中VFFRLS、文獻[20]中AFFRLS進行仿真分析。首先通過DST工況數(shù)據(jù)進行在線參數(shù)辨識，仿真結(jié)果如圖4所示。

由圖4a～圖4e可以看出，VFFRLS圖形走勢最平緩，圖形波動最小，參數(shù)動態(tài)特性較差；固定值下FFRLS方法參數(shù)波動最大。另由圖4f中L預測誤差可知，估算前期和后期本文AFFRLS改進方法出現(xiàn)的誤差峰值更小，誤差波動小于文獻方法。

圖4f誤差曲線中，在算法開始階段，受參數(shù)初始值設定不當?shù)挠绊懀A測誤差出現(xiàn)短暫波動，但隨迭代過程逐漸得到修正。從276～8 898 s數(shù)據(jù)點，本文改進AFFRLS辨識絕對誤差小于5 mV，大部分預測誤差小于1 mV。電壓、電流輸入數(shù)據(jù)平穩(wěn)性越差，誤差短期內(nèi)增大越明顯。如在數(shù)據(jù)點1 383 s與1 384 s處，電流變化差值為3 A，1 384 s處本文改進AFFRLS預測端電壓誤差為-3.598 6 mV，文獻AFFRLS為-3.944 1 mV，VFFRLS為-4.130 4 mV，本文改進AFFRLS較文獻兩種方法分別提高了8.8%、12.9%。算法后期鋰電池荷電狀態(tài)減小，電壓、電流波動變大，誤差明顯增大。如數(shù)據(jù)點9 932 s和9 933 s差值為3.5 A，9 933 s處本文改進AFFRLS預測誤差為16.854 0 mV，文獻自適應FFRLS為25.685 0 mV，VFFRLS為38.483 1 mV，此時改進的AFFRLS預測誤差比文獻自適應FFRLS和VFFRLS分別提高34.4%和56.2%?？梢姅?shù)據(jù)平穩(wěn)性下降時，本文AFFRLS辨識精度優(yōu)于文獻方法，有效地降低了算法對數(shù)據(jù)平穩(wěn)性的依賴。

圖4f在預測誤差小于1 mV的時間段內(nèi)，三種自適應方法趨于相同的最大值，此時三種自適應方法具有相似的辨識表現(xiàn)。以5 000～5 200 s數(shù)據(jù)點為例，該時間段內(nèi)本文改進AFFRLS的預測端電壓MAE為0.124 3 mV，ME為0.851 6 mV；文獻自適應FFRLS的預測端電壓MAE為0.138 5 mV，ME為0.894 6 mV；VFFRLS預測端電壓MAE為0.146 3 mV，ME為0.931 1 mV。此時本文改進AFFRLS預測準確度較文獻自適應FFRLS、VFFRLS仍得到提升，MAE分別提升了10.3%、15%，ME分別提升4.8%、8.5%。三種自適應方法整體辨識誤差見表3。

表3 DST工況下變遺忘因子方法辨識誤差對比

Tab.3 Identification error comparison of variable forgetting factor methods via DST

從表3可知，三種變遺忘因子方法中本文AFFRLS精度最高。由圖4a～圖4e可知，本文改進AFFRLS得到的模型參數(shù)動態(tài)特性優(yōu)于文獻自適應方法，其對動態(tài)系統(tǒng)的時變跟蹤能力更強。與值為0.980和0.985的FFRLS參數(shù)圖形對比，本文AFFRLS穩(wěn)定性更好。因此，可以認為提出的方法具備較高的辨識準確度和良好的穩(wěn)定性。

FUDS仿真結(jié)果如圖5所示。從圖5a～圖5e可知，提出的AFFRLS辨識結(jié)果穩(wěn)定性要優(yōu)于值為0.980和0.985的FFRLS。圖5f與圖4f對比，F(xiàn)UDS較DST工況電壓、電流變化更為劇烈，此時FUDS工況下端電壓預測誤差短期內(nèi)出現(xiàn)增大較DST工況更加頻繁。例如，電流在9 432 s和9 433 s差值為3.75 A，算法預測誤差大幅增大。9 433 s處改進的AFFRLS預測誤差為3.100 6 mV，文獻自適應FFRLS為5.666 1 mV，VFFRLS為10.105 1 mV，此時本文改進AFFRLS預測誤差比文獻方法分別提高了45.3%、69.3%。FUDS工況下短期數(shù)據(jù)大幅變化時，本文改進AFFRLS辨識準確度仍優(yōu)于文獻兩種自適應方法。

圖5f中短期內(nèi)三種方法取得相近的預測誤差曲線，本文改進AFFRLS比文獻方法仍有小幅度提升。以5 900～6 100 s數(shù)據(jù)點為例，本文改進AFFRLS端電壓預測誤差MAE為0.199 1 mV，ME為0.797 mV；文獻自適應FFRLS對應MAE為0.226 7 mV，ME為0.808 3 mV；VFFRLS對應MAE為0.217 6 mV，ME為0.820 8 mV。該時間段本文改進AFFRLS端電壓預測誤差MAE較文獻自適應FFRLS、VFFRLS分別提升了12.2%、8.5%，ME分別提升1.4%、2.9%。

由圖5a～圖5e，劇變工況下VFFRLS辨識參數(shù)最為平緩。從表4誤差結(jié)果來看，提出的AFFRLS精度最高，其MAE與表2中值取0.985時接近，RMSE介于值為0.980和0.985之間。綜合DST和FUDS工況仿真結(jié)果來看，提出的AFFRLS方法精度最高，穩(wěn)定性優(yōu)于為0.980和0.985的FFRLS方法，且在緩變和劇變工況下都做到了精度上的提高。

表4 FUDS工況下變遺忘因子方法辨識誤差對比

Tab.4 Identification error comparison of variable forgetting factor methodsvia FUDS

圖6呈現(xiàn)了三種自適應方法值與誤差關系，VFFRLS方法在DST和FUDS工況下，值隨誤差變化最緩慢，本文AFFRLS對誤差跟蹤能力更好?；谙嗤A設基準誤差，本文自適應方法能快速識別系統(tǒng)動態(tài)變化，降低自適應方法對數(shù)據(jù)平穩(wěn)性的依賴，有效提高辨識精度。與另外兩種自適應方法相比，改進的AFFRLS有良好的仿真效果。

圖6 DST與FUDS工況下λ值與誤差關系

DST與FUDS工況變遺忘因子方法計算時間對比見表5。表5中，1表示算法平均計算時間，2表示預測誤差達到連續(xù)3次小于0所需時間，DST和FUDS兩種工況下base=0。仿真在Matlab 2021a平臺，CPU為I5-7300HQ_@2.5 GHz環(huán)境中進行，時間數(shù)據(jù)取20次仿真平均值。由表5可知，兩種工況下1基本一致。DST緩變工況開始階段電壓、電流波動較平緩，三種方法2無明顯差別，但本文改進AFFRLS在FUDS劇變工況下2較文獻[18]VFFRLS、文獻[20]AFFRLS分別提高了40.1%、15.4%?？梢姳疚母倪MAFFRLS算法收斂速度更快，對誤差的跟蹤能力更好。且本文改進AFFRLS避免了EKF的雅可比矩陣計算、GA和PSO繁瑣的迭代過程，用于在線參數(shù)辨識時計算速度更快。

表5 DST與FUDS工況變遺忘因子方法計算時間對比

Tab.5 Calculation time comparison of variable forgetting factor methodsvia DST and FUDS

圖7 DST與FUDS工況下λ值與時間關系

從圖7中值隨時間分布情況可知，F(xiàn)UDS工況下值以接近0.980區(qū)域分布點居多，DST則以取1為主?？梢妼τ贒ST和FUDS工況，提出的AFFRLS有著不同的自適應表現(xiàn)，對()具有良好的跟隨性。

5 結(jié)論

在線參數(shù)辨識方法能夠獲得動態(tài)特性良好的電池模型，F(xiàn)FRLS用于在線參數(shù)辨識方法簡單，易于工程應用，但單一的遺忘因子影響算法對動態(tài)系統(tǒng)的時變跟蹤能力。固定值的FFRLS仿真結(jié)果表明，值接近1，模型參數(shù)精度低、時變特性較差；值減小，模型精度提高，對系統(tǒng)動態(tài)變化跟蹤性能更好。但參數(shù)波動過大易引起算法發(fā)散?？梢娙『线m的值對模型參數(shù)精度和穩(wěn)定性有重要意義。

為了獲得高精度且穩(wěn)定性良好的參數(shù)辨識結(jié)果，設計了一種AFFRLS改進方法，與文獻AFFRLS、VFFRLS進行仿真對比分析，結(jié)果表明，本文AFFRLS精度最高，辨識結(jié)果較文獻方法動態(tài)特性更好；相比固定值取0.980、0.985的FFRLS參數(shù)辨識結(jié)果，本文AFFRLS穩(wěn)定性更好。從值和誤差關系來看，本文AFFRLS能夠快速識別誤差變化。且本文AFFRLS在DST和FUDS工況參數(shù)辨識有不同的自適應表現(xiàn)，對誤差有著良好的跟蹤能力。

本文AFFRLS改進方法結(jié)構(gòu)簡單，計算速度快，用于鋰離子電池模型參數(shù)辨識時，能夠在精度和穩(wěn)定性上取得更好的平衡，對于不同的工況具有良好的適用性。將本文AFFRLS與卡爾曼濾波方法結(jié)合進行鋰電池SOC預測，能夠提高SOC的預測精度，且有利于避免模型參數(shù)劇烈變化帶來的算法發(fā)散問題。所研究的改進方法可為進一步利用AFFRLS和無跡卡爾曼濾波進行荷電狀態(tài)評估提供支撐。

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Optimization of Least Squares Method and Its Application in Parameter Identification of Lithium-Ion Battery Model

Fan Xingming Feng Hao Zhang Xin

（Department of Electrical Engineering & Automation Guilin University of Electronic and Technology Guilin 541004 China）

Offline and online methods are used to identify model parameters, but the model dynamic characteristic obtained by the online method is better. The recursive least squares method is simple and often used for online parameter identification of lithium-ion battery models. However, the least square method(RLS) has a low identification accuracy. Thus, the forgetting factor recursive least square method was proposed to improve the accuracy of parameter identification. To improve the dynamic identification ability, the variable forgetting factor least square (VFFRLS) method and adaptive forgetting factor recursive least square (AFFRLS) method appear. Yet the current adaptive methods tend to ignore the stability of model parameters, and the undetermined coefficient range of this method is large and difficult to confirm. The model parameter changes drastically, and it is easy to cause the divergence of the algorithm. This paper proposes a simpler AFFRLS method without an undetermined coefficient to address these issues. And it takes into account the accuracy and stability of the model.

Firstly, based on dynamic stress testing (DST) and Federal City Operating Conditions (FUDS) data, the FFRLS method with fixed forgetting factor value is simulated and analyzed, and the influence trend of different forgetting factors on the accuracy and stability of model parameters is obtained. Secondly, the proposed AFFRLS method is compared with other AFFRLS and VFFRLS, and the stability and accuracy of the identification parameters are analyzed. Finally, the error tracking ability and convergence speed of the three adaptive methods are analyzed, and the adaptive performance of the proposed AFFRLS to DST and FUDS conditions are analyzed.

The FFRLS simulation results with fixed forgetting factor() value show that whenvalue decreases, the algorithm has better tracking ability for time-varying parameters, the convergence speed is accelerated, and the identification accuracy is effectively improved. However, when thevalue decreases, the parameter changes drastically, and the stability decreases. It can be seen that obtaining the appropriatevalue is important for the identification ability of the adaptive methods. The results of the three adaptive methods simulations show that the improved AFFRLS in this paper has better tracking ability for time-varying parameters and high model accuracy. And it has better stability of the parameter obtained by FFRLS with fixedvalues of 0.980 and 0.985. It can be seen that the proposed AFFRLS can achieve a better balance between accuracy and stability.The relationship between thevalue and the error of the adaptive methods shows that the improved AFFRLS can track the error variation better. By comparing the operation time with the three methods, the results show that the proposed AFFRLS has a faster convergence rate. According to the relationship betweenvalue and time in DST and FUDS conditions, the improved AFFRLS method has the majority ofvalue near 0.980 in the FUDS condition, and the majority ofvalue is 1 in the DST condition.

The simulation analysis shows that: (1) The proposed AFFRLS method can improve the accuracy of thealgorithm and take the stability of model parameters into consideration, and it has a good balance between algorithm accuracy and parameter stability. Applying the proposed AFFRLS method and Kalman filter to predict the state of charge can improve the prediction accuracy. (2) The proposed AFFRLS method has better tracking ability for error variation and faster convergence speed. (3) The proposed method can improve the algorithm's accuracy under both slow and drastic conditions, so it's suitable for different online conditions.

Lithium-ion battery model, parameter identification, least square method, adaptive forgetting factor

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.222214

TM912

國家自然科學基金項目（61741126）和廣西自然科學基金項目（2022GXNSFAA035533）資助。

2022-11-24

2023-02-28

范興明 男，1978年生，教授，博士生導師，研究方向為智能化電器和高電壓新技術。E-mail：fanxm_627@163.com

張 鑫 女，1976年生，碩士，高級實驗師，研究方向為智能化電器。E-mail：zhangxin_wt@163.com（通信作者）

（編輯 郭麗軍）