? 山東省東營(yíng)市第二中學(xué) 李紅秀

在高考中常常會(huì)遇到這樣一類求最值的問(wèn)題,它們的條件式和待求式隸屬完全對(duì)稱式,即對(duì)于含有n個(gè)變?cè)膞1,x2,……,xn式子中,若將任意兩個(gè)變?cè)獂i,xj(i,j=1,2,3,……,n,i≠j)交換位置,其結(jié)果保持不變.為了幫助學(xué)生理解并掌握解決此類問(wèn)題的方法,教師在高三二輪復(fù)習(xí)時(shí)將此類問(wèn)題整合成專題,以此通過(guò)專項(xiàng)訓(xùn)練幫助學(xué)生明晰問(wèn)題的本質(zhì),掌握解決此類問(wèn)題的巧解和通法,有效提高學(xué)生解決此類問(wèn)題的能力.筆者將專題教學(xué)過(guò)程整理成文,供大家參考、借鑒,若有不足請(qǐng)指正.

1 教學(xué)過(guò)程

1.1 呈現(xiàn)課例,引出主題

師:請(qǐng)大家思考一下,以下兩個(gè)問(wèn)題該如何求解?

問(wèn)題給出后,先讓學(xué)生獨(dú)立思考,然后請(qǐng)兩位學(xué)生板演解題過(guò)程.

師:請(qǐng)大家仔細(xì)觀察以上兩位同學(xué)的解答過(guò)程,看看你有什么發(fā)現(xiàn)?

師:在應(yīng)用均值不等式時(shí),一定要注意它的適用條件,否則會(huì)引發(fā)錯(cuò)誤.

師:生1在求解過(guò)程中運(yùn)用了幾次均值不等式?

生齊聲答:兩次.

師:應(yīng)用兩次均值不等式的問(wèn)題,常常容易忽視取等條件而引發(fā)錯(cuò)誤.對(duì)于例1,是否可以通過(guò)有效的轉(zhuǎn)化,使其只應(yīng)用一次均值不等式來(lái)解決呢?

師:不錯(cuò),生3充分利用已知條件,利用“整1代入法”有效地避免了應(yīng)用兩次均值不等式.

設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生熟悉的內(nèi)容出發(fā),復(fù)習(xí)并鞏固了均值不等式的適用條件.在此過(guò)程中,教師引導(dǎo)學(xué)生觀察分析,讓學(xué)生嘗試將應(yīng)用兩次均值不等式轉(zhuǎn)化為應(yīng)用一次,繼而在問(wèn)題的引導(dǎo)下誘發(fā)深度思考.這樣通過(guò)再觀察、再思考,優(yōu)化了解題思路,有效避免了兩次應(yīng)用均值不等式易產(chǎn)生錯(cuò)解的風(fēng)險(xiǎn).

1.2 問(wèn)題探究,形成規(guī)律

生4:我認(rèn)為可以,這就是取等的條件.

生5:我認(rèn)為不可以,這應(yīng)該是一個(gè)巧合.

師:是什么原因成就了“巧合”呢?這其中蘊(yùn)含著什么奧秘呢?(預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生分析、交流.)

生6:這里涉及a,b兩個(gè)量,若將其互換位置題目還是不變.

設(shè)計(jì)意圖：從結(jié)果出發(fā),讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)運(yùn)用均值不等式與利用代入法所得到的最值相等,由此引出出現(xiàn)這一現(xiàn)象的奧秘,讓學(xué)生深刻理解完全對(duì)稱式,并知曉在解決完全對(duì)稱式問(wèn)題時(shí),可以令兩個(gè)量相等來(lái)巧妙地解決問(wèn)題.這樣,通過(guò)深入探究發(fā)現(xiàn)題目中的奧秘,不僅提升了解題效率,而且讓學(xué)生感悟探索規(guī)律的重要性,有利于激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.

1.3 變式拓展,深化理解

師:現(xiàn)在大家請(qǐng)看例3該如何求解呢?

例3若x>0,y>0,x+2y+2xy=8,則x+2y的最小值為_(kāi)_____.

問(wèn)題給出后,部分學(xué)生嘗試?yán)谩按敕ā鼻蠼?但是發(fā)現(xiàn)兩變量互換后,題目發(fā)生了變化,所以放棄了該方法,走上了“消元”的老路.

師:想一想,是否可以將題目轉(zhuǎn)化成完全對(duì)稱式呢?若將其中一個(gè)量變一變,你會(huì)發(fā)現(xiàn)什么呢?

生7:令2y=t,則有x+t+xt=8,求x+t的最小值.經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)化,已知等式和待求式中的兩個(gè)量互換后,題目不變,可看作是關(guān)于x,t的完全對(duì)稱式,此時(shí)令x=t,求得x=2,即當(dāng)x=2,y=1時(shí)取最小值,所求的最小值為4.

生7的答案給出后,學(xué)生紛紛感嘆該方法之妙.

師:該方法是很簡(jiǎn)單,但若該題是簡(jiǎn)答題,是否也可以用這種方法解決呢?

生齊聲答:不能.

師:對(duì)的,該方法存在著先天的不足,所以對(duì)于常規(guī)方法,如消元法和均值不等式法還應(yīng)重點(diǎn)把握.

接下來(lái),教師預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生利用常規(guī)方法求解,學(xué)生分別應(yīng)用消元法、均值不等式法和消元法、求導(dǎo)法解決了問(wèn)題.

設(shè)計(jì)意圖：教師先啟發(fā)和指導(dǎo)學(xué)生將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為完全對(duì)稱式,巧妙順利地解決問(wèn)題.然后,引導(dǎo)學(xué)生將“巧解”與“常規(guī)方法”進(jìn)行對(duì)比,既讓學(xué)生感悟巧解的妙用,又讓學(xué)生知道常規(guī)方法才是解決問(wèn)題的通法.解題時(shí),要多角度觀察,根據(jù)不同的題型選擇不同的解決方案,提升解題效率.

1.4 部分對(duì)稱,知識(shí)升華

例4中有3個(gè)變量,其難度顯然有所提升,教師預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生通過(guò)小組合作的方式解決問(wèn)題.

生8:該題是填空題,可以應(yīng)用完全對(duì)稱式.

師:如何變成完全對(duì)稱式呢?

設(shè)計(jì)意圖：在原有認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上繼續(xù)拓展,進(jìn)一步強(qiáng)化應(yīng)用“完全對(duì)稱式求最值”的策略方法,升華學(xué)生的認(rèn)知.

這樣由淺入深的逐層滲透,深化了對(duì)“完全對(duì)稱式”的理解,學(xué)生的思維能力得到了穩(wěn)步提升.

2 教學(xué)思考

2.1 專題訓(xùn)練要控制好數(shù)量和節(jié)奏

在專項(xiàng)訓(xùn)練中,要選擇一些思維難度不大的問(wèn)題作為切入點(diǎn),以此調(diào)動(dòng)學(xué)生參與的積極性,并讓學(xué)生在積極參與中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題間的內(nèi)在聯(lián)系及蘊(yùn)含其中的規(guī)律,找到解決問(wèn)題的方法.同時(shí),要控制好教學(xué)節(jié)奏,通過(guò)自主學(xué)習(xí)和小組學(xué)習(xí)相結(jié)合的方式,培養(yǎng)學(xué)生合作意識(shí),讓學(xué)生在互動(dòng)交流中不斷優(yōu)化自己的認(rèn)知體系.在以上教學(xué)過(guò)程中,問(wèn)題給出后,都預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生思考,鼓勵(lì)學(xué)生提出自己的見(jiàn)解,并通過(guò)生評(píng)與師評(píng)給予及時(shí)的評(píng)價(jià),課堂氛圍活躍,促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展.

2.2 處理好“巧解”和“通法”的關(guān)系

在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)現(xiàn),學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中有“重巧解,輕通法”的現(xiàn)象.學(xué)生認(rèn)為巧解可以優(yōu)化運(yùn)算過(guò)程,提高解題效率.要知道,“巧解”雖好,但是并不通用,因此在解題時(shí)切勿忽視通性通法.在本課教學(xué)中,學(xué)生應(yīng)用“巧解”完成例3后,教師鼓勵(lì)學(xué)生應(yīng)用常規(guī)方法解題,繼而通過(guò)一題多解、一法多用,不斷優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu),提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力.

縱觀高考,其所考查的是基本知識(shí)和基本方法.因此,教學(xué)中要強(qiáng)調(diào)通性通法,淡化解題技巧,引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)的本質(zhì),實(shí)現(xiàn)知識(shí)的融會(huì)貫通.

2.3 鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑、反思、歸納

數(shù)學(xué)是一門(mén)抽象且復(fù)雜的學(xué)科.面對(duì)抽象的問(wèn)題時(shí),學(xué)生難免會(huì)出現(xiàn)這樣或那樣的問(wèn)題,因此在教學(xué)中要預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生思考、交流、歸納,以促進(jìn)知識(shí)的深化.同時(shí),要鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑,如在學(xué)習(xí)過(guò)程中,學(xué)生提出如下問(wèn)題:應(yīng)用“完全對(duì)稱式求最值”是否通用呢?該方法嚴(yán)謹(jǐn)嗎?是否存在特例呢?這樣,通過(guò)多思考、多探究,培養(yǎng)思維的深刻性、嚴(yán)謹(jǐn)性;通過(guò)質(zhì)疑、反思,對(duì)新方法形成客觀的認(rèn)識(shí),以避免因盲目套用而引發(fā)錯(cuò)誤.

總之,在教學(xué)過(guò)程中,教師要引導(dǎo)學(xué)生客觀地對(duì)待巧解,鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑、反思、交流,讓學(xué)生系統(tǒng)地、全面地理解和掌握相關(guān)知識(shí),有效提高解題能力.