張 莉,朱 磊

(1.江蘇安全技術(shù)職業(yè)學院機械工程系, 江蘇 徐州 221011)

(2.中國礦業(yè)大學材料與物理學院, 江蘇 徐州 221116)

三平移一轉(zhuǎn)動(3T1R)并聯(lián)機構(gòu)廣泛應用于高速分揀、搬運和碼垛等工程應用領(lǐng)域[1-2]。近年來專家學者對3T1R并聯(lián)機器人機構(gòu)的研究越來越多[3]。如章鵬程等[4]構(gòu)造的新型3T1R力觸覺主端操作并聯(lián)機構(gòu);劉偉等[5]根據(jù)位移流形理論對具有固定轉(zhuǎn)動軸線和變轉(zhuǎn)動軸線特性的3T1R機構(gòu)進行構(gòu)型綜合,設(shè)計了具有兩種運動模式的3T1R并聯(lián)機構(gòu);沈惠平等[6]根據(jù)并聯(lián)機構(gòu)拓撲結(jié)構(gòu)設(shè)計理論提出一種低耦合度三平移一轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu);Zhao等[7]提出一種具有空間三維移動且繞z軸轉(zhuǎn)動的4PPa-2PaR結(jié)構(gòu)的四自由度并聯(lián)機器人,具有幾何對稱、運動學簡單、平移工作空間沿直線方向無限擴展等優(yōu)點?；谝陨涎芯績?nèi)容,本文提出一種具有三平移一轉(zhuǎn)動的四自由度2-P(RPR_RRR)R并聯(lián)機器人機構(gòu)。

1 機構(gòu)設(shè)計

1.1 機構(gòu)模型介紹

圖1為2-P (RPR_RRR) R并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)簡圖,支鏈1和支鏈2均由RRR構(gòu)成,Ri1∥Ri2∥Ri3(i=1,2),Ri1∥Ri3⊥Pi2(i=3,4),其中R14、R24均垂直于動平臺平面。動平臺內(nèi)切圓半徑為r,R11到P1與R21到P2的距離均為m1,R31到P1與R41到P2的距離均為m2。移動副P1和P2的最大位移為l1,移動副P32和P42的最大位移為l2。機構(gòu)三維模型如圖2所示。

圖1 2-P(RPR_RRR)R并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)簡圖

圖2 2-P(RPR_RRR)R并聯(lián)機構(gòu)三維模型

1.2 機構(gòu)的自由度計算

進行自由度分析前需要確定每個回路方程的獨立位移方程數(shù)[8],分析過程如下:

1)確定第1個獨立運動回路位移方程數(shù),第1個獨立運動回路由單開鏈SOC{P1-R11-R12-R13-}與SOC{-R31-P32-R13}構(gòu)成:

ξL1=dim{Mb1∪Mb2}=

(1)

式中:ξL1為第1個回路的獨立位移方程數(shù),Mbi為每條支鏈的方位特征集,t表示移動副,r表示轉(zhuǎn)動,dim為方位特征集的維數(shù)。

第1個獨立運動回路子并聯(lián)機構(gòu)的自由度為:

(2)

式中:F1-2為第1個獨立運動回路的自由度,fi為支鏈第i個運動副的自由度,ξLj為第j個回路的獨立位移方程數(shù)。

2)確定第2個獨立運動回路位移方程數(shù),子并聯(lián)機構(gòu)由單開鏈SOC{P2-R21-R22-R23-}與SOC{-R41-P42-R24}構(gòu)成:

ξL2=dim{Mb1∪Mb2}=

(3)

第2個獨立運動回路子并聯(lián)機構(gòu)的自由度為:

(4)

3)確定第3個獨立運動回路位移方程數(shù),第3個獨立運動回路由單開鏈SOC{-R14-}與SOC{-R24-}構(gòu)成:

ξL3=dim{MR∪(MH1∩MH2)∪MR}=4

(5)

并聯(lián)機構(gòu)自由度F1-2-3為:

(6)

式中:MR為單開鏈SOC{-R14-}的方位特征集,MH1和MH2分別為混合支鏈1和混合支鏈2的方位特征集。

由上述分析可知,機構(gòu)執(zhí)行末端具有空間三維移動和繞z軸轉(zhuǎn)動的運動特性。

2 運動學分析

2.1 位置逆解分析

在底座、動平臺上定義靜坐標系{o-xyz}、動坐標系{o-uvw}。根據(jù)位置輸出位姿向量p(x,y,z,θ)T分析得到主動副輸入位移(d1,d2,d3,d4),將動坐標系下的位置坐標轉(zhuǎn)換成靜坐標系下坐標的轉(zhuǎn)換矩陣TOP為:

(7)

式中:θ為旋轉(zhuǎn)角度。

Ri4點在動坐標系下的坐標向量pR14(0,-r,0)T和pR24(-r,0,0)T,利用坐標轉(zhuǎn)換原理可得Ri4點在靜坐標系下坐標向量:

(8)

根據(jù)位置特點,可得逆解表達式:

(9)

2.2 位置正解分析

可根據(jù)式(9)推導得到位置正解(x,y,z,θ)表達式:

(10)

根據(jù)上述正解表達式可知機構(gòu)的位置正解有4組。

2.3 位置逆解算例分析

隨機生成幾組(x,y,z,θ)值,利用式(9)得到輸入位移值(d1,d2,d3,d4),令r=0.2 m,m1=0.1 m,m2=0.1 m,得到的位置逆解算例見表1。

表1 逆解算例

由表可知,一組(x,y,z,θ)參數(shù)只能得到一組運動輸入值。

2.4 位置正解算例分析

根據(jù)2.3節(jié)的結(jié)構(gòu)參數(shù)和表1的部分運動輸入值,通過式(10)得到正解(x,y,z,θ),詳見表2。

表2 正解算例

算例分析得到的正解和表1的逆解可以相互驗證,證明了正解公式的正確性。

3 奇異分析

3.1 機構(gòu)雅可比矩陣

(11)

其中:

M12=M13=M14=M21=M23=M24=M31=M42=0

M11=M22=1

M32=-2(m2-y+rcosθ)

M33=2(z-m1)

M34=2(m2-y)

M43=2(z-m1)

M41=-2(m2-x+rcosθ)

M44=2(m2-x)

式中:JX為正雅可比矩陣,Jd為逆雅可比矩陣。

由此可計算得到:

(12)

式中:det()表示矩陣行列式的值。

3.2 逆解奇異性分析

逆解奇異滿足條件為det(Jd)=0且det(JX)≠0,令det(Jd)=0,即d3=0或d4=0兩種情況。由于移動副的限制,這類情況無法出現(xiàn),因此這類奇異不存在。

3.3 正解奇異性分析

正解奇異滿足條件為det(Jd)≠0且det(JX)=0,令det(JX)=0,即{z=-m1,x=y},當R31、R41、p共面時正解奇異出現(xiàn)。正解奇異如圖3所示。

圖3 正解奇異

4 工作空間分析

工作空間是評價并聯(lián)機構(gòu)運動性能的重要指標[9]。取動平臺半徑r=0.2 m,m1=0.05 m,m2=0.05 m;移動副P1和P2的最大位移l1=0.4 m,移動副P32和P42的最大位移l2=0.4 m。采用蒙特卡洛法完成可達工作空間以及定姿態(tài)工作空間搜索。

4.1 可達工作空間分析

選擇上述尺寸參數(shù)進行并聯(lián)機構(gòu)工作空間算例分析,搜索得到的可達工作空間如圖4所示。

圖4 3T1R機構(gòu)可達工作空間轉(zhuǎn)動能力分布圖

由圖可得:工作空間呈對稱分布,沿著各個投影面為正方形,沿著z軸方向呈中間高兩邊低分布;無空洞且邊界光滑。

4.2 定姿態(tài)工作空間分析

以姿態(tài)角0°、60°、120°作為算例對機構(gòu)在不同姿態(tài)角下的定姿態(tài)工作空間進行分析,如圖5所示。

圖5 3T1R機構(gòu)定姿態(tài)工作空間圖

分析可知:姿態(tài)角越大所對應定姿態(tài)工作空間越小,且不同姿態(tài)角下沿著xoy投影的形狀均為正方形;姿態(tài)角為0°、60°時的定姿態(tài)工作空間接近于正方體,姿態(tài)角為120°時的定姿態(tài)工作空間為1/4半錐形。

4.3 轉(zhuǎn)動能力分析

選擇上述尺寸參數(shù)進行搜索得到轉(zhuǎn)動能力,即機構(gòu)的執(zhí)行末端在可達工作空間內(nèi)的任意點的最大轉(zhuǎn)角范圍,得到不同高度下的轉(zhuǎn)動能力(本文用數(shù)值量化轉(zhuǎn)動能力),如圖6所示。

圖6 3T1R機構(gòu)可達工作空間轉(zhuǎn)動能力分布圖

由圖可知,絕大部分工作空間的轉(zhuǎn)動能力都較大(指標大于0.5),在靠近z軸的部分有較大的空間轉(zhuǎn)動能力,這部分體積占比為25.13%。分析不同高度截面下的轉(zhuǎn)動能力可知:整周轉(zhuǎn)動的面積逐漸減少,并且形狀為正方形。

5 多目標參數(shù)優(yōu)化設(shè)計

5.1 優(yōu)化模型的建立和算法選擇

為了選取合適的機構(gòu)設(shè)計參數(shù),現(xiàn)以工作空間體積和全局轉(zhuǎn)動能力作為優(yōu)化設(shè)計目標,建立機構(gòu)的多設(shè)計參數(shù)多目標優(yōu)化模型,分別以工作空間體積V和轉(zhuǎn)動能力指標T為優(yōu)化目標,具體約束如下所示。

(13)

(14)

優(yōu)化采用NSGA-II算法[10]。其中,經(jīng)典算法選擇迭代次數(shù)為100、種群大小為300,適應度計算方法采用非支配排序法,重組方式選擇分散重組,交叉分布數(shù)量為20,變異分布數(shù)量為20。,得到了約束條件下的Pareto優(yōu)化前沿解集,如圖7所示。

圖7 Pareto優(yōu)化前沿解集

由圖可知,在體積小于0.85 m3的區(qū)域,全局轉(zhuǎn)動能力都在0.92以上,在這個區(qū)域兩個優(yōu)化目標背離程度較低;在體積大于0.85 m3的區(qū)域,轉(zhuǎn)動能力迅速降低,此時兩個優(yōu)化目標背離程度較大,體積為0.98 m3時,全局轉(zhuǎn)動能力已經(jīng)降到0.62?？梢愿鶕?jù)需求從此優(yōu)化前沿解曲線中,獲得滿足兩個目標的參數(shù)值,部分的Pareto優(yōu)化解列于表3中,并得到轉(zhuǎn)動能力占比η。

表3 部分Pareto解

5.2 優(yōu)化算例

根據(jù)5.1節(jié)仿真結(jié)果,列出了部分參數(shù)下的轉(zhuǎn)動能力空間分布,如圖8所示,并且計算整周回轉(zhuǎn)的工作空間占比,見表4?？梢园l(fā)現(xiàn)參數(shù)優(yōu)化后整周回轉(zhuǎn)工作空間占比都較高,第二組參數(shù)得到的最高占比為95.0%,形狀接近于一個長方體,第4組參數(shù)轉(zhuǎn)動能力為1的占比為87.6%。通過算例和多目標能夠指導實際的參數(shù)選擇,以此平衡轉(zhuǎn)動能力和工作空間大小。

表4 整周回轉(zhuǎn)的工作空間占比

圖8 優(yōu)化后的工作空間

6 結(jié)束語

本文構(gòu)造的結(jié)構(gòu)簡單、具有解析式位置正解的2-P(RPR_RRR)R并聯(lián)機器人機構(gòu)可以改變執(zhí)行末端姿態(tài)方向且可以沿著任意方向移動。根據(jù)奇異性分析可知,機構(gòu)不存在逆解奇異,當動靜平臺共面且支鏈1和支鏈2移動輸入位移相同時,機構(gòu)存在位置正解奇異。研究表明:機構(gòu)的操作性能較好,具有較大的可達工作空間和定姿態(tài)工作空間;工作空間邊界光滑、對稱分布,無明顯空洞情況。