王天予,唐 平,周大瓊,梁修書(shū)

(1.重慶交通大學(xué)交通運(yùn)輸學(xué)院,重慶 402260)

(2.重慶文理學(xué)院數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院,重慶 402160)

(3.重慶城市職業(yè)學(xué)院,重慶 402160)

(4.重慶市江津區(qū)教師發(fā)展中心,重慶 402260)

常規(guī)的磁懸浮系統(tǒng)中存在無(wú)法確定具體參數(shù)、非線性以及不穩(wěn)定開(kāi)環(huán)等特征,如何更好地進(jìn)行懸浮控制一直是業(yè)內(nèi)研究的熱點(diǎn)問(wèn)題。20世紀(jì)90年代,龍志強(qiáng)等[1]進(jìn)行了非線性補(bǔ)償以及PI控制的設(shè)計(jì),汪科任等[2]針對(duì)懸浮穩(wěn)定性設(shè)計(jì)了以增益矩陣為基礎(chǔ)的懸浮矩陣,然而以上技術(shù)沒(méi)有解決多電磁鐵時(shí)對(duì)應(yīng)的誤差協(xié)同及補(bǔ)償。針對(duì)多電磁鐵懸浮系統(tǒng),本文以滑模理論為依據(jù)設(shè)計(jì)了磁懸浮系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型,加入擾動(dòng)觀測(cè)器以及協(xié)同控制律,增強(qiáng)了磁懸浮車輛懸浮控制的穩(wěn)定性,經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,該方法有效可行。

1 磁懸浮系統(tǒng)

1.1 系統(tǒng)簡(jiǎn)介

以磁懸浮列車單節(jié)車廂為例,磁懸浮系統(tǒng)構(gòu)造如圖1所示,系統(tǒng)包括5組磁懸浮架,用來(lái)支撐和保證車體懸浮穩(wěn)定[3],磁懸浮架主要由極板、電磁鐵模塊、托臂、防滾吊桿以及防滾梁等組成。

圖1 磁懸浮系統(tǒng)示意圖

1.2 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模及分析

對(duì)磁懸浮系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模,所建動(dòng)力學(xué)模型如圖2所示。圖中,電磁鐵懸浮模塊1由電磁鐵線圈1、2組成,電磁鐵懸浮模塊2由電磁鐵線圈3、4組成。電磁鐵懸浮模塊1、2的電磁力分別為Fm1與Fm2,電磁鐵懸浮模塊1、2與軌道之間的懸浮間隙分別為τm1與τm2,O為質(zhì)心,模塊中心到O的距離為a,剛性極板相對(duì)于水平面的傾角為α。

圖2 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

設(shè)4個(gè)電磁鐵線圈有相同的匝數(shù)Nm,則基于圖2所示的動(dòng)力學(xué)模型[4]并結(jié)合電磁學(xué)理論[5],可以將磁懸浮系統(tǒng)電磁力描述為:

(1)

式中:μ0為空氣磁導(dǎo)率,S為磁極面積,im1、im2分別為電磁鐵懸浮模塊1、2的控制電流,t為時(shí)間。

由于極板的傾角很小,且電磁鐵懸浮模塊與軌道間的懸浮間隙也很小,因此結(jié)合圖2及式(1)可以將極板的傾角α近似為:

(2)

中心點(diǎn)豎直方向?qū)?yīng)的位移分量τg為:

(3)

極板旋轉(zhuǎn)引起的位移τα為:

(4)

極板質(zhì)量對(duì)模型影響較小,可以忽略不計(jì),則模型在豎直方向上受到的合力Fg為:

Fg=Fm1+Fm2-2msg

(5)

式中:電磁鐵懸浮模塊1及2的質(zhì)量均為ms,g為重力加速度。

極板與質(zhì)心產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩Tα為:

Tα=-(Fm1-Fm2)a

(6)

質(zhì)心的動(dòng)力學(xué)方程如下:

(7)

(8)

設(shè)mα=I/a2,mα為極板旋轉(zhuǎn)的等效轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)量,結(jié)合式(6)及式(8)可以得到:

(9)

式中:Fα為導(dǎo)致極板旋轉(zhuǎn)的合力。將公式(7)代入式(9),合并同類項(xiàng)可以得到:

(10)

2 滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

2.1 擾動(dòng)觀測(cè)器設(shè)計(jì)

為了更好地量化干擾量,需要設(shè)計(jì)擾動(dòng)觀測(cè)器[6-7]。建立一數(shù)學(xué)模型,該模型可以在控制器中更好地處理干擾量對(duì)磁懸浮控制的影響。假設(shè)干擾項(xiàng)Wi(t)和未建模時(shí)的動(dòng)態(tài)非線性特性ΔDmi及氣動(dòng)阻力ΔBmi以及它們的導(dǎo)數(shù)是已知的有界函數(shù),設(shè)定觀測(cè)誤差分別為:

(11)

(12)

其中:

(13)

2.2 滑?？刂坡稍O(shè)計(jì)

加入擾動(dòng)觀測(cè)器以及斬波器[8]的滑?？刂葡到y(tǒng)如圖3所示。

圖3 滑膜控制系統(tǒng)

模型跟蹤誤差ei(t)為:

ei(t)=xi1(t)-xd

(14)

式中:xd為期望輸出。

式(14)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得到磁懸浮架的速度和加速度:

(15)

(16)

結(jié)合圖3,可以將滑模協(xié)同控制律μi(t)設(shè)定為:

μi(t)=μieq(t)+μisw(t)+μioh(t)

(17)

式中:μisw(t)、μieq(t)分別為第i個(gè)電磁鐵模塊中的切換控制律和等效控制律[11],μioh(t)為耦合協(xié)同時(shí)對(duì)應(yīng)的補(bǔ)償項(xiàng)。

基于擾動(dòng)觀測(cè)器預(yù)估值,等效控制律可以表述為:

(18)

切換控制律可以表述為:

(19)

式中:ξ1、ξ2為切換系數(shù)。切換控制律能夠使模型到達(dá)滑模面的狀態(tài),但采用sgn()函數(shù)無(wú)法保證引入的控制量具有連續(xù)性,容易出現(xiàn)振顫現(xiàn)象[12],因此使用飽和函數(shù)sat()函數(shù)等效sgn():

(20)

式中:φ0為邊界層厚度。由于采用了飽和函數(shù),因此能夠保證控制量的連續(xù)性。

耦合協(xié)同時(shí)對(duì)應(yīng)的補(bǔ)償項(xiàng)為:

(21)

由式(21)可以看出,補(bǔ)償項(xiàng)受電磁鐵模塊同步誤差及交叉耦合系數(shù)的影響,當(dāng)系數(shù)c1、c2均為0時(shí),將不能實(shí)現(xiàn)控制協(xié)同的功能,不能夠補(bǔ)償間隙產(chǎn)生的同步誤差。

3 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

3.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

通過(guò)設(shè)計(jì)磁懸浮系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)對(duì)協(xié)同控制效果的有效性進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。搭建的平臺(tái)如圖4所示,包括電磁鐵模塊2組、磁懸浮控制器2套、磁懸浮傳感器2個(gè)。磁懸浮控制器的通信以及耦合通過(guò)CAN總線連接實(shí)現(xiàn),電磁鐵控制模塊示意圖如圖5所示。

圖4 磁懸浮系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

圖5 電磁鐵控制模塊示意圖

實(shí)驗(yàn)分兩組進(jìn)行,通過(guò)對(duì)比兩組實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。一組實(shí)驗(yàn)使用傳統(tǒng)PID控制,不加入?yún)f(xié)同控制,PID的比例增益Kp的值設(shè)為9 500,積分增益Ki的值設(shè)為100,微分增益Kd的值設(shè)為370;另一組實(shí)驗(yàn)使用基于滑模理論的控制系統(tǒng),系統(tǒng)參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 基于滑模理論的控制系統(tǒng)參數(shù)

3.2 結(jié)果分析

第一組實(shí)驗(yàn)僅通過(guò)PID控制進(jìn)行系統(tǒng)控制,設(shè)計(jì)工況為空氣彈簧均不進(jìn)行充氣,當(dāng)磁懸浮架穩(wěn)定在靜態(tài)懸浮狀態(tài)時(shí),在平臺(tái)上方1 m的位置間隔7 s先后施加100 N的載荷,沖擊力實(shí)驗(yàn)中數(shù)據(jù)采樣的頻率為512 Hz。磁懸浮模塊的懸浮間隙變化如圖6所示,懸浮電流波動(dòng)如圖7所示。

圖6 PID控制懸浮間隙

圖7 PID控制懸浮電流

由圖可知,僅為PID控制時(shí),兩次載荷沖擊下電磁鐵模塊1懸浮間隙波動(dòng)幅值最大為0.430 mm,電磁鐵模塊2懸浮間隙波動(dòng)幅值最大為0.030mm。電磁鐵模塊1的電流波動(dòng)幅值最大為4.7 A,電磁鐵模塊2電流波動(dòng)幅值較小,在1.0 A左右。

第二組實(shí)驗(yàn)工況、條件與第一組相同,控制系統(tǒng)采用以滑模理論為基礎(chǔ)、加入?yún)f(xié)同控制律的控制系統(tǒng),得到的懸浮間隙變化如圖8所示,懸浮電流波動(dòng)如圖9所示。

圖8 改進(jìn)控制系統(tǒng)懸浮間隙

圖9 改進(jìn)控制系統(tǒng)懸浮電流

由圖可知,兩次載荷沖擊下電磁鐵模塊1懸浮間隙波動(dòng)幅值最大為0.262 mm,電磁鐵模塊2波動(dòng)幅值最大為0.249 mm。電磁鐵模塊1懸浮電流波動(dòng)幅值最大為2.12 A,電磁鐵模塊2懸浮電流波動(dòng)幅值最大為2.21 A。

綜合圖6～圖9可知,單純使用PID控制系統(tǒng),電磁鐵模塊1與電磁鐵模塊2的懸浮間隙差值較大,最大為0.400 mm,電流波動(dòng)差值最大達(dá)到3.7 A;使用基于滑模理論的控制系統(tǒng)時(shí),由于加入了協(xié)同控制律,懸浮間隙差值最大僅為0.013 mm,電流波動(dòng)值最大僅為0.09 A。由此可以看出,改進(jìn)控制系統(tǒng)能夠更好地降低懸浮間隙差值,與單純PID控制相比,跟蹤誤差約減少了40%,在更大程度上避免了滑橇觸軌。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)磁懸浮車輛懸浮控制問(wèn)題,提出了基于滑模理論和協(xié)同控制律的控制系統(tǒng)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,該系統(tǒng)能更好地避免電磁鐵的耦合擾動(dòng),提高車輛穩(wěn)定性。與傳統(tǒng)的PID控制相比,基于滑模理論的控制具有更好的魯棒性和適應(yīng)性,但仍有優(yōu)化空間,如優(yōu)化擾動(dòng)觀測(cè)器性能、實(shí)現(xiàn)更好的協(xié)同控制等。未來(lái),將繼續(xù)關(guān)注磁懸浮車輛的研究動(dòng)態(tài),以期取得更多創(chuàng)新成果。