官永秋，盧友軍，魏嘉銀，余江浩，吳 森，羅莎莎

(貴州民族大學(xué)數(shù)據(jù)科學(xué)與信息工程學(xué)院，貴州 貴陽 550025)

互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)和社交軟件的快速發(fā)展使得大量用戶可以通過社交平臺發(fā)布、評論或轉(zhuǎn)發(fā)信息[1]。由于網(wǎng)絡(luò)的開放性以及部分用戶本身知識有限，難以辨別信息的真實性與可靠性，會對社交網(wǎng)絡(luò)上未經(jīng)證實的謠言進行傳播[2]。在某些政治或商業(yè)利益的驅(qū)使下，謠言的肆意傳播可能會對國家安全、經(jīng)濟繁榮、社會穩(wěn)定造成重大影響。面對新媒體技術(shù)的突飛猛進，高校越來越多地采用線上授課，而這種方式也面臨一定的網(wǎng)絡(luò)輿情壓力[3]。因此，探索謠言傳播機制，分析謠言傳播動力學(xué)性質(zhì)，為相關(guān)部門制定有效的謠言控制策略以減少謠言傳播帶來的不利影響尤為重要。

考慮到謠言傳播與流行病傳播之間的相似性特征，Daley和Kendal兩人[4]通過對流行病與謠言的對比研究，將種群分為未知者、傳播者和免疫者，提出了DK 謠言傳播模型。此后，Maki 等人[5]改進了DK模型，提出了MK 模型。DK 模型假定傳播者與傳播者接觸時兩者都變?yōu)槊庖哒?，而MK 模型假定只有初始傳播者變?yōu)槊庖哒摺Ｈ欢?，DK 和MK 模型都忽略了社交網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特征。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的興起在一定程度上推動了謠言傳播的研究。例如，考慮現(xiàn)實復(fù)雜系統(tǒng)具有小世界和無標(biāo)度特性，Zanette等人[6]研究了小世界網(wǎng)絡(luò)上的謠言傳播動力學(xué)行為。Moreno等人[7]研究了無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上的謠言傳播動力學(xué)行為。根據(jù)其網(wǎng)絡(luò)節(jié)點度分布的不同，網(wǎng)絡(luò)又可分為均勻網(wǎng)絡(luò)和非均勻網(wǎng)絡(luò)。為此，Zhang 等人[8,9]研究了均勻網(wǎng)絡(luò)和非均勻網(wǎng)絡(luò)上的傳播動力學(xué)性質(zhì)。上述研究表明，網(wǎng)絡(luò)的均勻性和非均勻性結(jié)構(gòu)對謠言傳播具有重要影響。

為更好的理解和控制謠言傳播，更精確地描述謠言傳播動力學(xué)，許多學(xué)者考慮了不同謠言傳播機制[10-14]。例如，Wang 等人[10]通過引入無知節(jié)點和擴散節(jié)點之間的信任機制，提出了一種具有信任機制的謠言傳播模型。Salma 等人[11]考慮了某些人在謠言傳播過程中并不會立即成為傳播者，而是處于潛伏狀態(tài)，提出了一個具有潛伏機制的謠言傳播模型。Ling 等人[12]考慮謠言內(nèi)容的吸引力和模糊性，建立了具有猶豫機制的謠言傳播模型。Wang 等人[13]在經(jīng)典謠言傳播模型中考慮了自我凈化機制，分析了模型中傳播閾值與自我凈化水平的相關(guān)性，研究了自凈水平和遺忘率對關(guān)鍵指標(biāo)的影響。Zhou 等人[14]在SIR 模型的基礎(chǔ)上引入了和諧機制，和諧機制和傳播機制的本質(zhì)區(qū)別在于，傳播者無論他們認(rèn)為謠言是真是假都會傳播，而和諧機制是需要相信謠言是真的，才能繼續(xù)傳播，否則他們不會傳播謠言。上述研究表明，不同謠言傳播機制對謠言傳播動力學(xué)行為具有不同的影響。

受上述研究工作的啟發(fā)，考慮到每個人的個人知識背景差異，在謠言傳播過程中知道真相的人會對謠言進行辟謠、種群動態(tài)移入和移出以及網(wǎng)絡(luò)的均勻性等特征。本文引入了辟謠機制，在SIR 模型的基礎(chǔ)上提出了新的具有辟謠機制的SICR 謠言傳播模型。圍繞該模型的平衡點存在性、基本再生數(shù)和平衡點處的穩(wěn)定性進行分析。

1 SICR 謠言傳播模型描述

在SICR 謠言傳播模型中，未知者I 表示從未聽到過謠言的人，傳播者S 表示聽到謠言并積極傳播謠言的人，辟謠者C 表示知道真相并對謠言進行辟謠的人，免疫者R表示聽到謠言但不傳播謠言的人。SICR 謠言傳播模型的傳播規(guī)則如下：

設(shè)I(t)、S(t)、C(t)、R(t)分別表示在t 時刻未知者、傳播者、辟謠者、免疫者種群密度，N(t)表示t時刻總的人群密度，并且滿足關(guān)系I(t)＋S(t)＋C(t)＋R(t)＝N (t)。SICR 謠言傳播模型的傳播規(guī)則示意圖如圖1 所示。

圖1 SICR 謠言傳播規(guī)則示意圖

2 平衡點和基本再生數(shù)

在謠言傳播中，基本再生數(shù)是判斷謠言是否發(fā)生爆發(fā)性傳播的一個重要控制參數(shù)。研究系統(tǒng)穩(wěn)定性主要是研究模型在平衡點處的穩(wěn)定性。接下來，首先分析模型的平衡點存在性和基本再生數(shù)。

2.1 不變集與平衡點存在性

由(1)式可知，

通過常數(shù)變易法可得

對N(t)求極限，有

可以得到SICR 模型的正向不變集為

其中，

2.2 基本再生數(shù)

基本再生數(shù)R0是指一個傳播者在其平均傳播周期內(nèi)所能傳播的平均人數(shù)。若R0＞1，則謠言不會傳播；若R0＜1，則謠言將爆發(fā)性傳播，R0＝1 是謠言傳播的一個重要閾值參數(shù)。下面，結(jié)合平衡點E0和下一代矩陣法[15]計算基本再生數(shù)R0。

其中，

由(7)式和(8)式可得，在平衡點E0處的雅可比矩陣分別為

于是，結(jié)合(9)式和(10)式有

由(12)式可知，特征方程的2 個特征根分別為

根據(jù)下一代矩陣法，可得基本再生數(shù)

3 穩(wěn)定性分析

穩(wěn)定性是謠言傳播動力學(xué)系統(tǒng)的一個重要特性，一個穩(wěn)定的系統(tǒng)是分析謠言是否可控的前提。由于系統(tǒng)的穩(wěn)定性是相對于平衡點而言的，接下來我們利用Routh-Hurwitz 準(zhǔn)則[16]分別分析SICR謠言傳播模型在平衡E0和E1處的穩(wěn)定性。

利用線性化方法，將系統(tǒng)(1)線性化，可得雅可比矩陣為

其中，

定理1 當(dāng)R0＜1 且時，E0在內(nèi)局部漸近穩(wěn)定。

證明 根據(jù)(15)式可以得到系統(tǒng)(1)在E0處的雅可比矩陣為

由(17)式可知，矩陣J（E0）的特征值分別為

當(dāng)R0＜1 且時，所有特征值均有負(fù)實部，根據(jù)Routh-Hurwitz 判據(jù)可知，SICR 謠言傳播模型在E0處是局部漸近穩(wěn)定的。

證明 根據(jù)(15)式，可以得到系統(tǒng)(1)在E1處的雅可比矩陣為

根據(jù)特征方程可得

由(29)式可知，其特征方程為

特征方程系數(shù)分別為

由此可得

定理3 當(dāng)R0＜1 時，E0在內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的，反之則不穩(wěn)定。

證明 針對系統(tǒng)(1)，構(gòu)造Lyapunov 函數(shù)形式如下

對等式(21)兩邊求導(dǎo)有

其中，

在模型的無謠言平衡點E0處，可知人群中未知者人群個體的占比不超過I0，即

將(24)式帶入(23)式并結(jié)合基本再生數(shù)R0，可以得到

根據(jù)Lyapunov 穩(wěn)定性理論可知，要使系統(tǒng)(1)在平衡點E0處全局漸近穩(wěn)定，只需要(26)式小于等于零，即

要使不等式(27)成立，只需R0＜1。對于(27)式，當(dāng)R0＜1 時，有dV(t)/dt≤0，當(dāng)且僅當(dāng)S(t)=0 時，有dV(t)/dt=0。因此，根據(jù)Lyapunov 穩(wěn)定性定理，SICR 謠言傳播模型在E0處是全局漸近穩(wěn)定的。

4 數(shù)值仿真分析

為驗證理論結(jié)果的正確性，在這一節(jié)進行數(shù)值仿真實驗分析。首先，建立一個節(jié)點數(shù)N=104，平均度k=10 的均勻網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)中的每個節(jié)點代表一個個體，每個個體處于未知者、傳播者、辟謠者和免疫者狀態(tài)之一。設(shè)初始時刻S(0)=10/N，C(0)=10/N，R(0)=0 和I(0)=1-S(0)-C(0)-R(0)。接下來分別針對SICR 模型在兩個平衡點處的局部穩(wěn)定性以及狀態(tài)改變參數(shù)、初始種群對謠言傳播的影響進行數(shù)值仿真分析。

4.1 模型在平衡點處的局部穩(wěn)定性分析

圖2 給出了SICR 模型在平衡點E0處的局部漸近穩(wěn)定性情況。圖2中的參數(shù)設(shè)置為。由式(14)有R0≈0.421，SICR模型的理論平衡點和仿真平衡點均為E1=(0.17，0，0，0.83)且。結(jié)合圖2和定理1 可知SICR 模型在E0處局部漸近穩(wěn)定。

圖2 SICR 模型在E0 處的局部穩(wěn)定性

圖3 給出了SICR 模型在平衡點E1處的局部漸近穩(wěn)定性情況。圖5 中參數(shù)設(shè)置為。由式(14)有，通過簡單計算SICR 模型的理論平衡點和仿真平衡點均為。結(jié)合圖3 和定理4 可知SICR模型在E1處局部漸近穩(wěn)定。

圖3 SICR 模型在E1 處的局部穩(wěn)定性

4.2 狀態(tài)改變參數(shù)對謠言傳播的影響

圖4 不同傳播率下傳播者的人群密度

圖5 不同辟謠率下傳播者的人群密度

圖6 不同遺忘率下的傳播者人群密度

4.3 群體初始值對謠言傳播的影響

圖7 顯示了不同傳播者初始值對傳播者人群密度的影響。在圖7中，保持上述參數(shù)不變。初始者密度分別設(shè)置為S(0)=0.01，0.02，0.03，0.04。從圖7 可以看出，初始值越大，傳播者人群密度越大，但對謠言達到頂峰和謠言消失的時間影響不大。

圖7 傳播者初始值對傳播者人群密度影響

圖8 顯示了不同辟謠者初始值對傳播者人群密度的影響。在圖8 中，保持上述參數(shù)不變。辟謠者初始密度分別為C(0)=0.01，0.03，0.05，0.07。從圖8 中可以看出，當(dāng)謠言爆發(fā)時，辟謠者的人群密度越高，傳播者的人群密度越低，說明辟謠者對謠言傳播有抑制作用，但是整體的變化率并不是很大。

圖8 辟謠者初始值對傳播者人群密度影響

5 結(jié)語

本文考慮了辟謠機制對謠言傳播的影響，在SIR模型的基礎(chǔ)上建立了SICR 謠言傳播模型。計算了該模型的無謠言平衡點和謠言盛行平衡點，分析了兩個平衡點處的局部漸近穩(wěn)定條件以及無謠言平衡點的全局漸近穩(wěn)定性條件。計算了基本再生數(shù)R0，得出了基本再生數(shù)與平均度有關(guān)。通過仿真驗證了理論結(jié)果的正確性，得出了抑制謠言傳播的有效方式，即在謠言爆發(fā)前可以通過控制初始人群密度來抑制謠言的傳播，當(dāng)謠言爆發(fā)后，可以加大政府或者官方媒體的辟謠力度，加強個人的辨別能力和防范意識，增加辟謠率，控制傳播率和遺忘率來抑制謠言傳播。