蘇教版小學(xué)《數(shù)學(xué)》二年級(jí)（下冊(cè)）安排了關(guān)于“有余數(shù)的除法”的學(xué)習(xí)內(nèi)容。對(duì)于學(xué)生而言，既要認(rèn)識(shí)“有余數(shù)的除法”的意義，又要在認(rèn)識(shí)意義的基礎(chǔ)上，探索余數(shù)和除數(shù)的關(guān)系，這是比較難的?；诖?，筆者作了一些探索。

借助直觀操作，連接“數(shù)”和“形”，明晰意義。教材的“例1”創(chuàng)設(shè)了“分鉛筆”的情境：“把10支鉛筆分給小朋友，每人分2支，可以分給幾人？每人分3支、4支、5支呢？在小組里分一分，說(shuō)一說(shuō)。”教學(xué)時(shí)，我先引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)圈小棒的過(guò)程，旨在讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)不管是“每人拿2支、3支、4支、5支”，都是“幾個(gè)幾個(gè)”地平均分。但從觀察的結(jié)果看，有的正好分完，有的不是正好分完，即分后有剩余。學(xué)生在“分”和“圈”的過(guò)程中，對(duì)不管是正好分完或分后有剩余，都有“每份一樣多”的直觀的認(rèn)識(shí)，緊扣了平均分的本質(zhì)。學(xué)生在后繼理解有余數(shù)除法的算式的意義時(shí)，能回憶圈小棒的直觀表象，從而來(lái)支撐理解有余數(shù)除法的意義。同樣，教學(xué)“例2”時(shí)，我組織學(xué)生進(jìn)行直觀操作，先讓學(xué)生用4根小棒擺一個(gè)正方形，再用8根小棒擺這樣的2個(gè)正方形，然后用12根、13根、14根、15根小棒擺正方形。后繼研究“余數(shù)和除數(shù)的關(guān)系”時(shí)都是用4根小棒擺正方形，學(xué)生自然理解了為什么余數(shù)要比除數(shù)小。

提供多元表征，對(duì)接“具象”與“抽象”，理解算理。布魯納指出：“人們通過(guò)行動(dòng)或者模式化的動(dòng)作、通過(guò)習(xí)俗化的表象和知覺(jué)、通過(guò)語(yǔ)言和推理來(lái)對(duì)其環(huán)境作出反應(yīng)?！被诙嘣碚髡J(rèn)知理論，我先組織學(xué)生將10根小棒“分一分，圈一圈”，這是為了幫助學(xué)生建立動(dòng)作表征，讓學(xué)生在做中學(xué)。在此基礎(chǔ)上，展示正好分完及分后有剩余的兩種不同的情況。借助表格，讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)“用10根小棒，每人拿幾根，可以分給幾人，余下幾根”，這是語(yǔ)言表征。學(xué)生經(jīng)歷用不同的表征表達(dá)解決問(wèn)題的過(guò)程和結(jié)果，可以順利完成從具體到半抽象再到抽象的形式化過(guò)渡，從而理解有余數(shù)除法的本質(zhì)也是“平均分”的一種特殊形式。

運(yùn)用水平遷移，勾連“新知”與“舊知”，歸納算法。水平遷移是指處于同一概括水平的經(jīng)驗(yàn)之間的相互影響。學(xué)生在先前的學(xué)習(xí)中，已經(jīng)會(huì)用除法算式表示正好分完的情況，那么分后有剩余的情況是不是平均分呢？用算式又該如何表達(dá)呢？我讓學(xué)生試著把“每人分3支”的情況列出算式。有的學(xué)生這樣表示：“3×3=9（支），9＋1=10（支）”，有的學(xué)生這樣表示：“10÷3=3（人）”，有的學(xué)生這樣表示：“10÷3=3（人）還剩下1支”，還有的學(xué)生這樣表示“10÷3=3（人）……1（支）”。學(xué)生在前期直觀操作和對(duì)以往知識(shí)的激活下，能較自然地生成各種不同的表示有余數(shù)除法的算式。

依托數(shù)學(xué)推理，溝通“現(xiàn)象”與“本質(zhì)”，建構(gòu)模型。推理是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一。為了讓學(xué)生更好地發(fā)現(xiàn)有余數(shù)除法算式中“除數(shù)”和“余數(shù)”的關(guān)系，我組織學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)象到本質(zhì)的合情推理過(guò)程。首先讓學(xué)生用4根小棒擺四邊形，再觀察“12÷4=3”“13÷4=3……1”“14÷4=3……2”等除法算式，以及擺小棒的直觀圖，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)除數(shù)“4”表示擺正方形的根數(shù)，除數(shù)“3”表示擺成的正方形個(gè)數(shù)，余數(shù)“1，2，3”表示余下的根數(shù)，從而抽象出除數(shù)是“4”的數(shù)學(xué)模型。同樣，用5根小棒擺五邊形，讓學(xué)生在觀察、比較、推理中，構(gòu)建除數(shù)是“5”的數(shù)學(xué)模型。通過(guò)對(duì)比、討論“余數(shù)和除數(shù)之間有什么關(guān)系”，引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)推理過(guò)程，對(duì)知識(shí)有一個(gè)整體而全面的思考，從而發(fā)現(xiàn)“有余數(shù)的除法算式中，余數(shù)小于除數(shù)”的結(jié)論。學(xué)生也在數(shù)學(xué)建模的過(guò)程中，從“事理”向“數(shù)理”轉(zhuǎn)化，完善認(rèn)知建構(gòu)，養(yǎng)成系統(tǒng)思維的習(xí)慣。

（作者單位：江蘇省蘇州市吳江區(qū)水秀實(shí)驗(yàn)小學(xué)）