? 江蘇省南通市海安市墩頭鎮(zhèn)墩頭初級中學(xué) 周存蘭

在初中階段數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)過程中,充分利用多元表征理論進(jìn)行學(xué)生幾何直觀能力培養(yǎng),可以多方面引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的理解與研究,也更容易幫助學(xué)生理解把握一些數(shù)學(xué)問題的本質(zhì).采用多種表征轉(zhuǎn)換,更有助于學(xué)生深入學(xué)習(xí),可以達(dá)成更好的學(xué)習(xí)效果.本文中就多元表征的應(yīng)用策略進(jìn)行研究,以更好地提升學(xué)生的幾何直觀核心素養(yǎng).

1 豐富語言情境,提升幾何直觀的“純度”

在解答一些數(shù)學(xué)問題的過程中,往往會遇到很多以文字為主的問題,特別是涉及到數(shù)學(xué)古代文化知識問題,需要對這些問題進(jìn)行語言轉(zhuǎn)化,有時(shí)還需要將相關(guān)的問題情境利用圖形語言或者符號語言表達(dá)出來,這樣才能更容易把握問題的本質(zhì).利用幾何圖形展示問題特征,會使得問題更加直觀形象,能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,更能引導(dǎo)學(xué)生對問題的探究分析,充分彰顯文化特色.

例1我國古代著名的數(shù)學(xué)家劉徽著有《海島算經(jīng)》．內(nèi)有一篇:“今有望海島,立兩表齊,高三丈,前后相去千步,令后表與前表相直．從前表卻行百二十三步,人目著地取望島峰,與表末參合．從后表卻行百二十七步,人目著地取望島峰,亦與表末參合．問島高及去表各幾何?”請你計(jì)算出海島高度為______步．(提示:三丈二5步.)

分析：此類問題,不光在語言上給學(xué)生們設(shè)置了障礙,在分析解決問題的過程中還有更多的難點(diǎn).針對此類問題,單純從字面上來理解,學(xué)生很難入手計(jì)算,這就需要教師幫助學(xué)生轉(zhuǎn)化語言描述,用更簡單、更直接的文字將題意表述出來,再借助相關(guān)的數(shù)據(jù)提示,如兩根標(biāo)桿高均為5步、前后相距1 000步、退行123步等.這樣的轉(zhuǎn)化,學(xué)生起碼在閱讀上沒有了障礙,而如何解答計(jì)算此問題,又成了學(xué)生突破的難點(diǎn).因此,再根據(jù)題意,將文字語言轉(zhuǎn)化為圖形語言,使復(fù)雜的問題簡單化,最終轉(zhuǎn)化為相似三角形對應(yīng)邊成比例的問題,從而可根據(jù)數(shù)量之間的關(guān)系列出分式方程,即可求出島高．

2 加強(qiáng)動態(tài)展示,提升幾何直觀的“維度”

在一些有難度的數(shù)學(xué)問題中,有時(shí)很難發(fā)現(xiàn)它的切入點(diǎn),特別是涉及最值的問題,在什么情形下才能達(dá)到最小或最大呢?有些問題光靠觀察分析很難解決,如果將靜態(tài)問題轉(zhuǎn)化為動態(tài)問題來分析,將問題從“一維”轉(zhuǎn)化為“多維”來思考,將平面問題轉(zhuǎn)化為立體問題來觀察,這樣問題會更加生動直觀,能更加吸引學(xué)生的注意力,便于解決問題[1].

圖1

圖2

3 強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合,拓展幾何直觀的“深度”

“數(shù)”與“形”相輔相成,二者在某種程度上可以互相轉(zhuǎn)化,借助圖形來表示數(shù)之間的某種關(guān)系,借助數(shù)的精確性來闡明圖形特點(diǎn).只有在解決問題的過程中不斷深入強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合的表征,才能更好地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)形思維轉(zhuǎn)化,從而更好地把握數(shù)形規(guī)律,拓寬學(xué)生幾何圖形的直觀辨別度.

(2)如圖3,正方形網(wǎng)格中小正方形的邊長為1,在格點(diǎn)上有兩個點(diǎn),分別為A,B,且滿足AB=7．請?jiān)诰€段AB上找一個點(diǎn)P,使AP的長為(1)中所求的x,并在圖形中畫出點(diǎn)P位置,寫出結(jié)論即可．

圖3

對于第(2)小題,通過作圖,得到圖4,這樣可證明△APC′∽△BPD,列比例式即可求出x的值．

圖4

我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過:“形缺數(shù)時(shí)難入微,數(shù)缺形時(shí)少直觀.”這句話很明顯點(diǎn)出了數(shù)形結(jié)合的特點(diǎn),“數(shù)”與“形”缺少哪一方面都不是完美的數(shù)學(xué),并且告訴我們,解決數(shù)學(xué)問題要注意利用“數(shù)形結(jié)合”法,注意“數(shù)”和“形”的互相轉(zhuǎn)化.根據(jù)實(shí)際問題所描述的情境,將數(shù)與形有機(jī)聯(lián)系在一起,可將復(fù)雜問題簡單化,將抽象問題直觀化.

4 開展實(shí)踐操作,拓展幾何直觀的“寬度”

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動離不開實(shí)際操作.在數(shù)學(xué)教學(xué)中重視動手實(shí)踐操作活動的開展,能更有利于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維,增強(qiáng)數(shù)學(xué)問題的直觀性,能更好地拓展學(xué)生幾何直觀的寬度,讓學(xué)生在操作中探究問題的本質(zhì),從而更容易接收相關(guān)知識,解答也會變得更加容易[2].

例4現(xiàn)有如圖5所示的若干個邊長為a的小正方形紙片①,長為b、寬為a的長方形紙片②,以及邊長為b的大紙片③．請解決下列相關(guān)問題.

圖5

(1)如果小正方形①的紙片有1張,大正方形③的紙片有1張,長方形②的紙片有3張,利用這些紙片你能否將它們拼成一個大長方形(如圖6所示)?結(jié)合各個紙片表示的面積之間的大小關(guān)系將多項(xiàng)式a2+3ab+2b2分解因式.

圖6

(2)如果現(xiàn)有上面所描述的三種紙片各8張,從其中取出若干張紙片,每種紙片至少取一張,把取出的這些紙片拼成一個正方形(按原紙張進(jìn)行無空隙、無重疊拼接),那么可以拼成多少種邊長不同的正方形?

分析：實(shí)際上,這樣的問題對于學(xué)生來說既抽象又難以理解,本來整式問題對他們來說就感覺摸不著頭腦,解決此類應(yīng)用問題更是難上加難.如果將問題轉(zhuǎn)化為實(shí)際操作問題,讓學(xué)生準(zhǔn)備類似的硬紙片,剪成相對應(yīng)的形狀,再操作擺放,并在擺放過程中引導(dǎo)學(xué)生不斷總結(jié)擺放的一些方法或技巧,讓學(xué)生在操作中分析,在操作中思考、總結(jié),借助剪切的動態(tài)設(shè)計(jì),引導(dǎo)學(xué)生對問題進(jìn)行研究.這樣不僅加強(qiáng)了學(xué)生的空間想象力,更提高了他們的幾何直觀能力,在擺放過程中找到了邊與邊的關(guān)系,找到了多項(xiàng)式與圖形之間的關(guān)系,找到了面積與圖形之間的關(guān)系,從而順利突破難題.

綜上所述,可以發(fā)現(xiàn)只有充分調(diào)動數(shù)學(xué)的多元表征,關(guān)注公式、概念、性質(zhì)的“數(shù)”的特點(diǎn)以及數(shù)學(xué)模型、幾何圖形的“形”,將“數(shù)”與“形”完美結(jié)合,充分體現(xiàn)幾何直觀的優(yōu)勢,才能讓學(xué)生在提高直觀能力的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),真正體現(xiàn)幾何直觀的價(jià)值.