解潤生，張國榮，解 寶

（1.合肥工業(yè)大學(xué)電氣與自動化工程學(xué)院，安徽省 合肥市 230009；2.光伏系統(tǒng)教育部工程研究中心（合肥工業(yè)大學(xué)），安徽省 合肥市 230009）

0 引言

風(fēng)能和太陽能等可再生能源廣泛分布于海島、戈壁和山區(qū)等偏遠(yuǎn)地區(qū)［1-2］，以新能源并網(wǎng)逆變器為代表的接口裝置通常需采用長距離輸電纜（long transmission cable，LTC）并入交流電網(wǎng)，而沿LTC的分布寄生電容使得并網(wǎng)系統(tǒng)中發(fā)生諧波不穩(wěn)定性現(xiàn)象［3-4］，其振蕩頻率從數(shù)百到數(shù)千赫茲不等，這種諧波振蕩可能會傳播到大電網(wǎng)中，進一步惡化系統(tǒng)的電能質(zhì)量。因此，有必要對考慮LTC 特性的逆變器并網(wǎng)系統(tǒng)諧波振蕩特性及其抑制方法展開研究。

目前，關(guān)于諧波不穩(wěn)定的研究方法主要有2 種：阻抗分析法［5-9］和狀態(tài)空間法［10-14］。文獻［6］建立了靜止坐標(biāo)系下變流器端口和電網(wǎng)端口的序阻抗模型，分析了控制器帶寬和電網(wǎng)強度對系統(tǒng)諧波不穩(wěn)定的影響，文獻［7-8］考慮了電纜線路分布參數(shù)特性，基于歐拉公式和奈奎斯特判據(jù)判定系統(tǒng)諧波穩(wěn)定性，但其忽略了dq軸耦合影響。文獻［9］建立了計及dq軸耦合的并網(wǎng)系統(tǒng)阻抗模型，提出基于廣義奈奎斯特判據(jù)的系統(tǒng)極點分布間接判定方法，但該判據(jù)計算繁雜，且較難定位引起系統(tǒng)失穩(wěn)的相關(guān)因素。與阻抗法相比，基于狀態(tài)空間模型的特征根、參與因子等可以確定諧波穩(wěn)定性的主導(dǎo)模態(tài)及關(guān)鍵參與變量［10-13］。文獻［14-15］建立逆變器并網(wǎng)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，分析時延、控制系統(tǒng)和電網(wǎng)強度等參數(shù)對諧波不穩(wěn)定的影響，并通過參與因子分析評估了不同狀態(tài)變量對振蕩模式的貢獻。目前，狀態(tài)空間法在并網(wǎng)逆變器與電網(wǎng)間交互作用研究中僅將電纜線路表示為集總參數(shù)模型，缺乏考慮電纜線路分布參數(shù)特性的并網(wǎng)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型及相關(guān)特征值分析的研究工作。

電力電纜不僅具有分布參數(shù)特性，同時其在不同頻率下呈現(xiàn)出不同的阻抗特性，然而目前計及線路參數(shù)頻變特性的并網(wǎng)系統(tǒng)穩(wěn)定性研究較少。文獻［16-17］利用改進貝杰龍模型模擬線路高頻段衰減特性，但僅利用時域仿真分析法來復(fù)現(xiàn)高頻段不穩(wěn)定現(xiàn)象，無法給出系統(tǒng)穩(wěn)定性的判定方法及影響規(guī)律。文獻［18］建立考慮電纜線路參數(shù)頻率特性的并網(wǎng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，但其重點是分析電力電纜對諧波放大的影響，未判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

電纜分布參數(shù)模型中未計及線路參數(shù)頻變特性時，會影響系統(tǒng)諧波穩(wěn)定性評估的準(zhǔn)確性［16，19］。然而在諧波穩(wěn)定性評估中，電纜分布參數(shù)模型引入了復(fù)數(shù)雙曲線函數(shù)使得阻抗分析法存在極點分布難以確定的問題［7-9，20］。此外，當(dāng)計及線路參數(shù)頻變特性時，基于廣義奈奎斯特判據(jù)判定系統(tǒng)穩(wěn)定性具有一定局限性。因此，需要對計及線路參數(shù)頻變特性的電力電纜狀態(tài)空間模型進行深入研究。

與頻域阻抗模型相比，基于時域狀態(tài)空間模型的參與因子、靈敏度等量化評價指標(biāo)可以為振蕩抑制措施提供指導(dǎo)，但現(xiàn)有文獻中基于時域狀態(tài)空間模型提出諧波不穩(wěn)定抑制策略的研究較少?；诖?，本文通過狀態(tài)空間法研究了考慮LTC 特性的逆變器并網(wǎng)系統(tǒng)諧波振蕩特性，計及電纜線路分布參數(shù)特性和頻變特性，提出了基于矢量匹配法對含LTC 的交流系統(tǒng)進行等值，并考慮內(nèi)外環(huán)控制、鎖相環(huán)、控制延時等環(huán)節(jié)，建立dq坐標(biāo)系下表征并網(wǎng)系統(tǒng)全部動態(tài)特征的高頻狀態(tài)空間模型，通過參與因子分析辨識引起諧波振蕩的關(guān)鍵影響因素，采用根軌跡法分析線路參數(shù)頻變特性及關(guān)鍵因素對諧波穩(wěn)定性的影響。進一步，基于系統(tǒng)狀態(tài)空間模型，提出一種結(jié)合靈敏度分析和矩陣相似變換的系統(tǒng)穩(wěn)定性改善方法，并利用根軌跡對改進控制策略后系統(tǒng)進行了穩(wěn)定性分析。最后，基于RT-LAB 構(gòu)建硬件在環(huán)實驗平臺，驗證了本文理論分析的正確性。

1 逆變器并網(wǎng)系統(tǒng)及其狀態(tài)空間模型

圖1 為典型的三相LCL 逆變器并網(wǎng)系統(tǒng)的接線圖。圖中：可再生發(fā)電單元經(jīng)過電能變換后匯入直流母線，再經(jīng)過并網(wǎng)逆變器、LCL 濾波器、變壓器以及LTC 等結(jié)構(gòu)并入交流電網(wǎng)。為簡化分析，將系統(tǒng)各參數(shù)統(tǒng)一折算到變壓器低壓側(cè)，圖2 給出了逆變器并網(wǎng)系統(tǒng)的等效拓?fù)浼翱刂瓶驁D。圖中：逆變側(cè)濾波電感L1、濾波電容Cf和網(wǎng)側(cè)濾波電感L2構(gòu)成LCL 濾波器；R1和R2分別為L1和L2的等效電阻；ic為橋臂側(cè)電感電流；if為LCL 濾波電容電流；ig為并網(wǎng)電流；uc為濾波器電容支路電壓；Cdc為直流母線電容；Id為理想電流源；udc為直流母線電壓；Pin為直流側(cè)輸入有功功率；uinv為逆變側(cè)輸出電壓；up為公共連接點（point of common coupling，PCC）電壓；變壓器漏感計入電網(wǎng)阻抗Lg；ug為電網(wǎng)三相電壓；ω1為電網(wǎng)基波角頻率；θ為鎖相環(huán)輸出相角；并網(wǎng)逆變器采用定直流電壓和定無功功率的雙閉環(huán)矢量控制策略；和Q*分別為直流母線電壓和無功功率的參考值；Hdc為直流母線電壓控制器；Idref、Iqref分別為并網(wǎng)電流d軸和q軸分量的參考值；Hc為電流內(nèi)環(huán)控制器，考慮了有源阻尼系數(shù)kc及數(shù)字控制引入的延時環(huán)節(jié)Hd；md、mq分別為d軸和q軸上的調(diào)制信號；PWM 表示脈寬調(diào)制；PI 表示比例-積分控制器。

圖1 三相LCL 型逆變器并網(wǎng)系統(tǒng)接線圖Fig.1 Wiring diagram of three-phase LCL-type gridconnected inverter system

圖2 逆變器并網(wǎng)系統(tǒng)等效拓?fù)浼翱刂瓶驁DFig.2 Equivalent topology and control block diagram of grid-connected inverter system

1.1 并網(wǎng)逆變器模型

本文基于dq坐標(biāo)系對逆變器并網(wǎng)系統(tǒng)進行建模，由主電路、控制內(nèi)外環(huán)、鎖相環(huán)、控制延時等環(huán)節(jié)構(gòu)成，本節(jié)將對各部分進行建模。

1.1.1 主電路模型

LCL 濾波器的動態(tài)方程為：

式中：下標(biāo)d、q分別表示相應(yīng)物理量在其各自坐標(biāo)系下的d軸和q軸分量，下同；uinvd=swdudc/2，uinvq=swqudc/2，其中，sw表示控制系統(tǒng)輸出的調(diào)制信號。

將式（1）線性化，選取狀態(tài)變量為xe=[icdq，igdq，ucdq]T，其中，icdq=[icd，icq]T，igdq=[igd，igq]T，ucdq=[ugd，ugq]T，控制變量為updq=[upd，upq]T、swdq=[swd，swq]T和udc，忽略系統(tǒng)頻率的變化，主電路LCL 濾波器的線性化狀態(tài)空間模型為：

式中：Δ 表示小信號量，下同；Ae、Be1、Be2和Be3具體如式（3）所示。

式中：A11、A13、A22、A23、A31、A33、G11、G22和G33可通過式（1）線性化得到。

根據(jù)功率平衡原理［21］，忽略Id擾動的影響，則逆變器直流側(cè)的線性化狀態(tài)空間模型如式（4）所示。

式中：UdcN為逆變器額定直流電壓；Icd0、Icq0、Swd0、Swq0、Udc0分別為icd、icq、swd、swq、udc的穩(wěn)態(tài)量。

1.1.2 鎖相環(huán)模型

鎖相環(huán)結(jié)構(gòu)如圖2 所示。當(dāng)端口電壓發(fā)生擾動時，控制系統(tǒng)中將出現(xiàn)兩個旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，一個為電氣系統(tǒng)dq坐標(biāo)系，相關(guān)物理量不進行標(biāo)識；另一個為控制器dq坐標(biāo)系，用上標(biāo)c 表示。本文以電網(wǎng)電壓ug電氣系統(tǒng)dq坐標(biāo)系為參考基準(zhǔn)，控制系統(tǒng)坐標(biāo)系定向于電壓up方向，則鎖相環(huán)的s域線性化模型為：

式中：θ0為PCC 電壓相對電網(wǎng)電壓的相位差；Hpll為前向通路增益；kppll、kipll分別為控制器的比例和積分系數(shù)；Up0為PCC 處相電壓幅值。

由式（6）可得鎖相環(huán)線性化狀態(tài)空間模型，選取狀態(tài)變量Δxpll=[Δxb，Δθ]T，其中，xb為PLL 控制器積分狀態(tài)變量，θ為輸出變量，則有

式中：Cpll=[0，1]；Apll=[0，-kipllUp0；1，-kppllUp0]；Bpll=[-kipllsinθ0，kipllcosθ0；-kppllsinθ0，kppllcosθ0]。

進一步，可以得到電氣dq坐標(biāo)系中電壓和電流在控制系統(tǒng)中的表達式為：

式中：Tp1=[cosθ0，sinθ0；-sinθ0，cosθ0]；Tp2=[Igq0，-Igd0]T，其中，Igq0和Igd0分別為igq和igd的穩(wěn)態(tài)量；Tp3=[Icq0，-Icd0]T；Tp4=[Upq0，-Upd0]T，其中，Upq0和Upd0分別為upq和upd的穩(wěn)態(tài)量。

1.1.3 控制內(nèi)外環(huán)模型

外環(huán)采用定直流電壓和定無功功率的控制策略，其中，定無功功率模式采用直接功率控制方式。假定=0 和ΔQ*=0，外環(huán)控制器輸出的線性化狀態(tài)空間模型為：

內(nèi)環(huán)采用基于輸出電流ig和LCL 濾波電容電流if的雙反饋閉環(huán)控制，忽略交叉耦合項的電流內(nèi)環(huán)可表示為：

式中：電流內(nèi)環(huán)控制器Hc=kp+ki/s，其中，kp和ki分別為比例和積分系數(shù)，則線性化狀態(tài)空間模型如式（11）所示。

式中：xcdq=[xcd，xcq]T，其中，xcd、xcq分別為d軸和q軸電流內(nèi)環(huán)積分環(huán)節(jié)狀態(tài)變量；Ac=[ki，0；0，ki]；Bc=[kc-kp，0；0，kc-kp]；Bc1=[-kc，0；0，-kc]；Bc2=[kp，0；0，kp]。

1.1.4 控制延時模型

圖2 中數(shù)字控制延時環(huán)節(jié)可表示為：

式中：n為Pade 近似中分子和分母的階數(shù)；i=0 ，1， …，n；di= [(2n-i)!n!]/[(n-i)!i!]；ei=(-1)i[(2n-i)!n!]/[(n-i)!i!]。

文獻［11］分析指出，為了準(zhǔn)確地分析高頻段穩(wěn)定性問題，應(yīng)至少選擇3 階以上的Pade 近似代替延時環(huán)節(jié)。因此，本文采用4 階Pade 近似，則根據(jù)Pade 近似可得控制延時環(huán)節(jié)的線性化狀態(tài)空間模型為：

式中：xdelay=[xd1，xd2，…，xd8]T，xd1至xd8為Pade 近似轉(zhuǎn)換過程中引入的8 個狀態(tài)變量；Ad=[Ade，0；0，Ade]，Bd=[Bde，0；0，Bde]，Cd=[Cde，0；0，Cde]，Dd=[Dde，0；0，Dde]，其中，元素Ade、Bde、Cde和Dde可通過式（13）得到。

式中：Tp5=[-Swq0，Swd0]T。

1.2 交流系統(tǒng)模型

建立含LTC 的交流系統(tǒng)高頻狀態(tài)空間模型的基本思路是：計及電纜線路參數(shù)的分布特性和頻變特性，根據(jù)電纜首末端口電氣參數(shù)頻域關(guān)系式，可推導(dǎo)得并網(wǎng)點電壓與其電流、電網(wǎng)電壓的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上，基于矢量匹配法對表達式中等效阻抗和電壓系數(shù)的頻域響應(yīng)進行有理函數(shù)擬合，進而得到狀態(tài)空間模型。

1.2.1 矢量匹配法

矢量匹配法是一種快速有效的有理函數(shù)擬合方法，假設(shè)用矢量匹配法擬合函數(shù)f(s)，則可得有理函數(shù)部分分式和的形式為：

式中：N為擬合階數(shù)；Ti和Pi分別為第i個留數(shù)和極點，兩者可以是實數(shù)或者共軛復(fù)數(shù)對；D、E為實數(shù)，視情況選用。

將函數(shù)式（16）中f(s)轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間形式，假設(shè)y=f(s)u，其中，u為輸入量，y為輸出量，則

式中：x為引入的狀態(tài)變量，A=diag[P1，P2，…，PN]，C=[T1，T2，…，TN]，B為元素均為1 的列向量；D和E值同式（16）。

1.2.2 狀態(tài)空間模型建立

附錄A 圖A1 給出了交流系統(tǒng)的等效模型，當(dāng)輸電纜過長時一般采用考慮分布參數(shù)特性的分布參數(shù)模型，其主要思路是假設(shè)傳輸線由無窮小的包含電阻、電抗、電導(dǎo)和電納的微元組成，圖A1 中虛線框內(nèi)代表一個微元。

一般線路的絕緣良好，可忽略并聯(lián)電導(dǎo)，由此可建立輸電線路的傳輸方程，根據(jù)傳輸線模型中相應(yīng)的邊界條件可對傳輸方程進行求解，得到電纜首末兩端電氣參數(shù)在頻域中的關(guān)系式為：

式中：u2、i2分別為電纜末端電壓和電流；L為輸電線的長度；γ=為傳播系數(shù)；Zc=為特征阻抗，其中，單位長度的阻抗Z(ω)=r0+jωl0和單位長度的導(dǎo)納Y(ω)=jωc0，r0、l0和c0分別為單位長度的電阻、電感和電容；ω為角頻率。

式（18）考慮了線路參數(shù)分布特性，但沒有計及線路參數(shù)頻變特性。文獻［17］表明單位長度的電阻和電感參數(shù)均與頻率有關(guān)，其中，電阻隨著頻率的增加而增加，電感隨著頻率的增加略微減少。因此，輸電線路在不同頻率下將呈現(xiàn)出不同的傳輸特性，有必要對電纜線路的Z(ω)進行修正，得：

式中：Z0(ω)為導(dǎo)體內(nèi)阻抗；r0(ω)為頻率相關(guān)的單位長度電阻；li(ω)為磁通作用于導(dǎo)體內(nèi)部產(chǎn)生的頻率相關(guān)的單位長度內(nèi)電感。r0(ω)、li(ω)都隨頻率變化而變化。

根據(jù)文獻［22］，Z0(ω)的表達式為：

式中：rdc為頻率f0時電纜線路的單位長度電阻。

根據(jù)附錄A 圖A1，對電纜線路末端的交流側(cè)串聯(lián)阻抗支路列寫方程，得：

式中：Zg=sLg。

結(jié)合式（18）和式（21），得PCC 電壓up與電流ig和電網(wǎng)電壓ug間的關(guān)系式為：

式中：ZL、HL分別為含頻變LTC 的交流系統(tǒng)的等效阻抗和電壓系數(shù)頻域傳遞函數(shù)。

假設(shè)up1=ZLig，up2=HLug，利用矢量匹配法對頻域傳遞函數(shù)ZL、HL進行擬合，得有理函數(shù)g1(s)和g2(s)，則

式中：g1（s）和g2（s）的具體形式可參照式（16）。

根據(jù)式（17），可認(rèn)為up1為輸出量，ig為輸入量，同理，up2為輸出量，ug為輸入量，則將式（24）轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間方程：

式中：xL1=[xL11，xL12，…，xL1i，…，xL1N]T，xL11至xL1N為ZL擬合過程中引入的N個狀態(tài)變量；xL2=[xL21，xL22，…，xL2i，…，xL2N]T，xL21至xL2N為HL擬合過程中引入的N個狀態(tài)變量；AL1、BL1、CL1、DL1和AL2、BL2、CL2、DL2的具體形式可參照式（17）中A、B、C和D。

在以電網(wǎng)電壓ug為定向的電氣系統(tǒng)dq坐標(biāo)系下，Δugd=Δugq=0，結(jié)合式（22）和式（25），可選取狀態(tài)變量xL1dq=[xL1d，xL1q]T和xL2dq=[xL2d，xL2q]T，控制變量igdq=[igd，igq]T，輸出變量updq=[upd，upq]T，忽略系統(tǒng)頻率的變化，則可得電氣系統(tǒng)dq坐標(biāo)系下含LTC 的交流系統(tǒng)線性化模型為：

式中：AL1dq=[AL1，ω1IN；-ω1IN，AL1]，其中，IN為N階 單 位 矩 陣 ；BL1dq=[BL1，0；0，BL1]；AL2dq=[AL2，ω1IN；-ω1IN，AL2]；CL1dq=[CL1，0；0，CL1]；CL2dq=[CL2，0；0，CL2]；DL1dq=[DL1，0；0，DL1]。

為了分析是否存在高頻段的穩(wěn)定性問題，并且能夠模擬交流系統(tǒng)在3 kHz 范圍內(nèi)幅值和相位特性，當(dāng)Lg為0.2 mH 且電纜參數(shù)如表1 所示，選取ZL、HL擬合的階數(shù)分別為20 階和16 階，附錄A 圖A2 為ZL、HL擬合的幅值和相位曲線。由圖可知，矢量匹配法可以很好地擬合ZL、HL的幅值和相位特性。

表1 電纜參數(shù)Table 1 Parameters of cable

1.3 考慮LTC 的并網(wǎng)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型

整合式（2）、式（4）、式（7）、式（9）、式（11）、式（14）和式（26），消去中間變量后可得電氣系統(tǒng)dq坐標(biāo)系下整個閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為：

式中：xs=[icdq，igdq，ucdq，udc，xu，xcdq，xdelay，xpll，xL1dq，xL2dq]T；AT表達式詳見附錄B 式（B1）。

1.4 考慮LTC 的并網(wǎng)系統(tǒng)線性化模型驗證

為驗證所建立的并網(wǎng)系統(tǒng)線性化模型的正確性，在MATLAB/Simulink 仿真系統(tǒng)中搭建電磁暫態(tài)仿真模型，電纜參數(shù)和并網(wǎng)逆變器參數(shù)如表1 和表2 所示，系統(tǒng)工頻為50 Hz，直流電壓參考值為750 V。

表2 并網(wǎng)逆變器參數(shù)Table 2 Parameters of grid-connected inverter

初始時系統(tǒng)運行在額定狀態(tài)，有功功率為15 kW，無功功率為0 var，在0.3 s 時，有功功率參考值階躍至18 kW，通過將線性化模型計算波形與電磁暫態(tài)模型仿真結(jié)果進行對比，系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)如附錄A圖A3 所示，從上至下分別為d軸電流、q軸電流和a相LCL 濾波電容電壓。由圖A3 可知，線性化模型計算曲線基本從中間穿過電磁暫態(tài)模型仿真曲線，由此驗證了所建系統(tǒng)線性化模型的正確性。

2 逆變器并網(wǎng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

并網(wǎng)逆變器和輸電纜設(shè)計的參數(shù)往往能夠保持自身穩(wěn)定，即兩者的參數(shù)對自身來說均設(shè)置合理，為分析影響穩(wěn)定性的關(guān)鍵因素，需進行根軌跡和參與因子分析?？紤]到外環(huán)帶寬較低，外環(huán)控制對諧波不穩(wěn)定的影響較小，本文將通過調(diào)整有功功率來定量識別各個影響環(huán)節(jié)對諧波不穩(wěn)定的參與程度。

本文是基于正序dq坐標(biāo)系建立的狀態(tài)空間模型，如果建立的理論模型中存在虛部為fh1和fh2的不穩(wěn)定特征根，且這2 對不穩(wěn)定特征根的虛部相差在100 Hz 附近，則可認(rèn)為abc 坐標(biāo)系下的諧振頻率為（fh1+fh2）/2。根據(jù)表1 和表2 所示參數(shù)，經(jīng)計算，當(dāng)系統(tǒng)的有功功率Pin為21.2 kW 時，出現(xiàn)2 對不穩(wěn)定共軛復(fù)根λ27，28=70.6±j12 068.2 和λ31，32=36.3±j11 473.5，振蕩頻率約為1 873.5 Hz。

對上述的失穩(wěn)模態(tài)進行參與因子分析（歸一為最大值），可以得到如附錄A 圖A4 所示的狀態(tài)變量的參與因子，所給數(shù)據(jù)均為參與因子的模。由圖A4可知，交流系統(tǒng)中擬合的d軸和q軸變量xL1、延時環(huán)節(jié)的d軸和q軸擬合變量及電感L1的d軸和q軸電流對諧波振蕩貢獻較大，而鎖相環(huán)及外環(huán)控制器對應(yīng)的狀態(tài)變量基本沒有貢獻，表明系統(tǒng)諧波振蕩的主要影響環(huán)節(jié)為含頻變LTC 的交流系統(tǒng)、延時環(huán)節(jié)和電流內(nèi)環(huán)。因此，表明了失穩(wěn)模態(tài)是由并網(wǎng)逆變器和交流系統(tǒng)兩者共同相互作用導(dǎo)致。

2.1 線路參數(shù)頻變特性對穩(wěn)定性的影響

根據(jù)表1 和表2 所示參數(shù)，附錄A 圖A5 為電纜線路參數(shù)考慮頻變特性和未考慮頻變特性的系統(tǒng)特征根分布圖。由圖可知，當(dāng)線路參數(shù)未考慮頻變特性時，系統(tǒng)的主導(dǎo)特征根向虛軸移動，這表明與考慮頻變特性相比，系統(tǒng)的穩(wěn)定性范圍將縮小，使得系統(tǒng)易引發(fā)高頻諧波振蕩。因此，未考慮線路參數(shù)頻變特性會導(dǎo)致系統(tǒng)諧波不穩(wěn)定評估中得到錯誤的結(jié)論。下文將詳細(xì)分析考慮線路參數(shù)頻變特性下各關(guān)鍵環(huán)節(jié)對穩(wěn)定性的影響。

2.2 逆變器控制參數(shù)對穩(wěn)定性的影響

為研究控制延時、電流環(huán)控制器和鎖相環(huán)帶寬對系統(tǒng)運行穩(wěn)定性的影響，圖3 給出了系統(tǒng)的根軌跡，其中，有功功率為15 kW，圖3（a）為控制延時對穩(wěn)定性的影響，延時Td逐漸從125 μs 增加至145 μs；圖3（b）為電流環(huán)控制器參數(shù)對穩(wěn)定性的影響，積分系數(shù)ki=40 保持不變，比例系數(shù)kp從0.19 以步長0.001 增加至0.215；圖3（c）為鎖相環(huán)帶寬對穩(wěn)定性的影響，其中，積分系數(shù)不變，通過調(diào)節(jié)比例系數(shù)來實現(xiàn)鎖相環(huán)帶寬的變化，根據(jù)文獻［23］提供的方法計算鎖相環(huán)帶寬，鎖相環(huán)帶寬從10 Hz 以步長5 Hz增加至55 Hz。

圖3 控制器參數(shù)對穩(wěn)定性的影響Fig.3 Influence of controller parameters on stability

圖3（a）中，隨著延時時間Td的增加，2 對主導(dǎo)特征根先向左移動再向右移動，并最終到達右半平面，當(dāng)延時Td接近137 μs 時，系統(tǒng)臨界不穩(wěn)定。因此，控制延遲時間較高將導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。圖3（b）中，電流環(huán)控制器的比例系數(shù)kp從0.19 增加到0.215，當(dāng)控制器比例系數(shù)小于0.201，系統(tǒng)能夠穩(wěn)定運行，隨著kp的增加，系統(tǒng)的2 對主導(dǎo)特征根從左向右移動，當(dāng)kp=0.202，2 對主導(dǎo)特征根穿過虛軸進入右半平面，即系統(tǒng)臨界不穩(wěn)定。因此，增大控制器比例系數(shù)，系統(tǒng)的穩(wěn)定性降低。圖3（c）中，隨著鎖相環(huán)帶寬的增大，系統(tǒng)特征值基本不改變，說明當(dāng)系統(tǒng)振蕩頻率達到數(shù)千赫茲頻段時，鎖相環(huán)參數(shù)幾乎不影響系統(tǒng)諧波不穩(wěn)定，與參與因子分析中鎖相環(huán)對穩(wěn)定性的影響較小一致。

2.3 交流系統(tǒng)對穩(wěn)定性的影響

并網(wǎng)系統(tǒng)的諧波不穩(wěn)定是由逆變器和交流系統(tǒng)共同產(chǎn)生的，本節(jié)將從交流系統(tǒng)角度分析電纜長度和電網(wǎng)阻抗對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

設(shè)置電纜長度L從25 km 增加至56 km，步長為0.5 km。將L分為兩段進行分析：Ⅰ段，25～40 km，L從25 km 增加至40 km；Ⅱ段，40.5～56 km，L從40.5 km 增加至56 km。將L分為兩段來分析是由于電纜長度在Ⅰ段區(qū)間和Ⅱ段區(qū)間對應(yīng)的失穩(wěn)特征根不同，Ⅰ段區(qū)間對應(yīng)的失穩(wěn)特征根為λ25，26、λ29，30，而Ⅱ段區(qū)間對應(yīng)的失穩(wěn)特征根為λ27，28、λ31，32。

附錄A 圖A6（a）為Ⅰ段區(qū)間L變化時的系統(tǒng)根軌跡，圖A6（b）為Ⅱ段區(qū)間L變化時的系統(tǒng)根軌跡。由圖A6 可知，在Ⅰ段和Ⅱ段的區(qū)間內(nèi)隨著L的逐步增大，系統(tǒng)的2 對主導(dǎo)特征根先從左向右移動，然后再從右向左移動，由此表明隨著電纜長度增加，系統(tǒng)的穩(wěn)定性并不是逐漸降低，而是存在一種不連續(xù)穩(wěn)定區(qū)域，先是從穩(wěn)定區(qū)域穿越到不穩(wěn)定區(qū)域，之后再次從不穩(wěn)定區(qū)域回到穩(wěn)定區(qū)域。該工況下Ⅰ段和Ⅱ段的電纜長度不穩(wěn)定區(qū)間分別為［28.5 36.5］和［44.5 52.5］。此外，在不穩(wěn)定區(qū)間內(nèi)電纜線路越長，潛在的振蕩頻率越低。

通過改變網(wǎng)側(cè)等效電感Lg的大小來分析電網(wǎng)阻抗對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，設(shè)置Lg從0.2 mH 逐漸增加至20 mH，步長為0.4 mH，系統(tǒng)的根軌跡如附錄A 圖A7 所示。從圖A7 可以發(fā)現(xiàn)，2 對主導(dǎo)特征根先從左向右進入右半平面，然后又從右向左進入左半平面。由此可知，系統(tǒng)的穩(wěn)定性存在一種不連續(xù)區(qū)域，先從穩(wěn)定狀態(tài)變化到不穩(wěn)定狀態(tài)，再從不穩(wěn)定狀態(tài)回到穩(wěn)定狀態(tài)，同時，當(dāng)電網(wǎng)阻抗越大時，潛在的振蕩頻率越低，該工況下網(wǎng)側(cè)電感Lg的不穩(wěn)定區(qū)間為［3，15.8］mH。

3 靈敏度分析及穩(wěn)定性改善方法

本章在所建系統(tǒng)時域狀態(tài)空間模型基礎(chǔ)上，通過參與因子分析辨識出對不穩(wěn)定模式貢獻較大的狀態(tài)變量，在該狀態(tài)變量對應(yīng)的行列位置添加參數(shù)以改變系統(tǒng)特征值分布。利用靈敏度分析，分析振蕩模式對所添加參數(shù)的靈敏度，確定可提高系統(tǒng)穩(wěn)定性的參數(shù)，并進一步基于矩陣相似變換將其轉(zhuǎn)換到控制行，從而使得得控制環(huán)路中添加了額外的阻尼控制。

3.1 靈敏度分析

靈敏度分析是量化系統(tǒng)參數(shù)與振蕩模式間相互關(guān)系的有效工具，可直觀反映系統(tǒng)參數(shù)變化對穩(wěn)定性的影響。定義矩陣J的第i個特征根λi對矩陣中某一參數(shù)b的一階靈敏度為：

式中：mi和ni分別為第i個振蕩模式的標(biāo)準(zhǔn)化左特征向量和右特征向量。假設(shè)?λi/?b=p+jp，其中，p、q分別為靈敏度實部和虛部，若p＜0，有利于提高系統(tǒng)穩(wěn)定性；若p＞0，不利于改善系統(tǒng)穩(wěn)定性。

選取系統(tǒng)狀態(tài)空間模型矩陣中貢獻較大的狀態(tài)變量對應(yīng)行列位置添加元素，根據(jù)第2 章的參與因子分析可知，狀態(tài)變量icdq對系統(tǒng)諧波不穩(wěn)定貢獻較大，故選取矩陣AT中狀態(tài)變量icdq對應(yīng)的二階方陣對角線位置分別添加擾動元素±b1/L1(b1＞0)和±b2/L1(b2＞0)，即矩陣AT中A11+DdBc1Tp1的位置添加元素F=[±b1/L1，0；0，±b2/L1]（b1＞0，b2＞0），得矩陣ATb如附錄B 式（B2）所示。

矩陣ATb中關(guān)于參數(shù)b1、b2的偏導(dǎo)數(shù)分別如附錄B 式（B3）和式（B4）所示，式（B3）和式（B4）中f1=[±1/L1，0；0，0]，f2=[0，0；0，±1/L1]。由第2 章可知，λ27，28是系統(tǒng)諧波不穩(wěn)定的主導(dǎo)特征根，故需重點關(guān)注其受參數(shù)b1和b2的影響。分別對矩陣ATb中所添加元素進行靈敏度分析，如表3 所示。

表3 b1和b2的參數(shù)靈敏度分析Table 3 Parameter sensitivity analysis of b1 and b2

為實現(xiàn)等效控制，僅考慮添加的元素同號情況，故添加元素F1=[b1/L1，0；0，b2/L1]（b1＞0，b2＞0）的參數(shù)總靈敏度實部為：

添加元素F2=[-b1/L1，0；0，-b2/L1]（b1＞0，b2＞0）的參數(shù)總靈敏度實部為：

綜上可知，添加F1=[b1/L1，0；0，b2/L1]（b1＞0，b2＞0）時，參數(shù)總靈敏度實部為正，使得特征根λ27，28向右半平面移動，不利于系統(tǒng)穩(wěn)定性改善；而添加F2=[-b1/L1，0；0，-b2/L1]（b1＞0，b2＞0）時，參數(shù)總靈敏度實部為負(fù)，使得特征根λ27，28向左半平面移動，有利于系統(tǒng)穩(wěn)定性改善，提高了穩(wěn)定裕度。

3.2 穩(wěn)定性改善的控制策略推導(dǎo)

在矩陣AT中添加元素F2=[-b1/L1，0；0，-b2/L1]（b1＞0，b2＞0）得矩陣ATb1，為推導(dǎo)穩(wěn)定性改善控制策略，根據(jù)矩陣相似變換將添加元素F2變換到控制行，即狀態(tài)變量xcdq所在行，選取初等行變換矩陣R和列變換矩陣R-1分別如附錄B 式（B5）和式（B6）所示，式（B5）和式（B6）中I為與其行列對應(yīng)階數(shù)的單位矩陣，由于控制延時環(huán)節(jié)取四階Pade 近似模擬，故Dd=[1，0；0，1]，從而可得U1=[2b1/Udc0，0；0，2b2/Udc0]，利用RATb1R-1得到相似變換后的矩陣ATb2，如附錄B 式（B7）所示。

定義矩陣ATb2中電流內(nèi)環(huán)積分系數(shù)對應(yīng)狀態(tài)變量為與附錄B 式（B1）對比，得到以下關(guān)系式：

上文已說明鎖相環(huán)對諧波振蕩影響較小，故可忽略Δθ，將新變量x'cdq代入式（11），則可得為：

將式（33）反映到電流內(nèi)環(huán)控制電路中，假設(shè)b1=b2=b，則故可知，通過添加元素F2后，得到的新變量相當(dāng)于在原變量mdq基礎(chǔ)上增加icdq的反饋環(huán)節(jié)，即在控制電路中添加了逆變側(cè)電感電流ic的反饋信號，比例系數(shù)為2b/Udc0，如附錄A 圖A8 所示。

3.3 改善控制策略對諧波不穩(wěn)定的影響

以電流環(huán)參數(shù)kp=0.208、ki=40 為例分析比例系數(shù)中b增大時系統(tǒng)的穩(wěn)定性，圖4 為相應(yīng)的根軌跡，其中，b以步長1 從0 增加至30。從圖4 可以看出，隨著b的增大，系統(tǒng)的2 對主導(dǎo)特征根從右向左移動，當(dāng)b=19 時，主導(dǎo)特征根穿過虛軸進入左半平面，系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)。由此可知，添加逆變側(cè)電感電流反饋控制可抑制系統(tǒng)諧波不穩(wěn)定。

圖4 b 變化時的系統(tǒng)根軌跡Fig.4 Root locus of system when b changes

通過對比電網(wǎng)阻抗和電流環(huán)控制參數(shù)的穩(wěn)定區(qū)域來分析添加逆變側(cè)電感電流反饋控制對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。當(dāng)b=19，Lg從0.2 mH 以步長0.4 mH 逐漸增加。附錄A 圖A9 為添加逆變側(cè)電感電流反饋后Lg變化時的系統(tǒng)根軌跡。由圖A9 可知，隨著Lg的增大，系統(tǒng)的2 對主導(dǎo)特征根從左向右移動，當(dāng)Lg=11.8 mH 時，2 對主導(dǎo)特征根穿過虛軸進入右半平面，而當(dāng)Lg=18.4 mH 時，2 對主導(dǎo)特征根返回到左半平面，對比未添加逆變側(cè)電感電流反饋時Lg的不穩(wěn)定區(qū)間，表明添加逆變側(cè)電感電流反饋控制后縮小了Lg的失穩(wěn)范圍。

附錄A 圖A10 為添加逆變側(cè)電感電流反饋前后kp和ki的穩(wěn)定域。圖中：綠色區(qū)域表示未添加逆變側(cè)電感電流反饋的穩(wěn)定域；紅色區(qū)域表示添加逆變側(cè)電感電流反饋后增加的穩(wěn)定域。由圖A10 可知，當(dāng)添加了逆變側(cè)電流反饋控制時，電流內(nèi)環(huán)控制參數(shù)kp和ki的穩(wěn)定范圍增大，為電流環(huán)控制器參數(shù)的調(diào)整提供了更大自由度。

4 實驗驗證

為了驗證上述理論分析的正確性，本文基于實時仿真機RT-LAB 構(gòu)建了硬件在環(huán)實驗平臺，所述實驗平臺照片如附錄A 圖A11 所示，在RT-LAB 中搭建了圖2 所示的含LTC 的三相并網(wǎng)逆變器系統(tǒng)主電路拓?fù)洌渲?，具有頻變特性的輸電纜模型由OPAL-RT 中 ARTEMIS-SSN 庫提供。 采用MC56F84789 DSP 為核心的控制器硬件架構(gòu)，實際控制器和RT-ALB 之間通過采樣信號的交互和控制脈沖信號的發(fā)送完成閉環(huán)控制，實驗機箱為OP4510，通過RT-LAB 的I/O 口測量實驗波形，具體的實驗參數(shù)與表1 和表2 相同。

設(shè)置模型1 和2 分別表示為分布參數(shù)模型和分布-頻變參數(shù)模型。為了對比分析兩個模型在不同電網(wǎng)阻抗條件下的穩(wěn)定性，論文設(shè)置了2 種場景：

1）場景1：L=12 km 時，Lg分別取2.6、4.2、7.8 mH。

2）場景2：L=42 km 時，Lg分別取1.5、2.8、5.3 mH。

進一步，根據(jù)第2 章的理論分析其穩(wěn)定性，如附錄A 圖A12 所示，場景1 和場景2 對應(yīng)不同Lg的穩(wěn)定性判定結(jié)果如表4 所示。由表4 可知，2 種場景下，唯一區(qū)別是僅當(dāng)Lg=2.8 mH 或Lg=4.2 mH 時，模型1 和2 分別對應(yīng)的系統(tǒng)是不穩(wěn)定和穩(wěn)定的，故實驗結(jié)果只需與該理論分析結(jié)果一致，即可驗證本文理論分析的準(zhǔn)確性，同時也說明忽略線路參數(shù)頻變特性，將導(dǎo)致系統(tǒng)穩(wěn)定性的誤判。

表4 2 個場景下不同Lg的穩(wěn)定性Table 4 Stability of different Lg in two scenarios

圖5 為2 個仿真場景下模型不同時并網(wǎng)逆變器的輸出電流波形。由圖5（a）可知：場景1 取Lg=2.8 mH，當(dāng)線路采用模型2 時，并網(wǎng)電流波形穩(wěn)定；但切換到模型1 后，并網(wǎng)電流波形發(fā)生振蕩，系統(tǒng)失穩(wěn)。類似地，由圖5（b）可知：場景2 取Lg=4.2 mH，當(dāng)線路采用模型2 時，并網(wǎng)電流波形穩(wěn)定；但切換到模型1 后，并網(wǎng)電流波形發(fā)生振蕩，系統(tǒng)失穩(wěn)，實驗結(jié)果與附錄A 圖A2 所得理論結(jié)果相一致。

圖5 2 個場景下的并網(wǎng)電流波形Fig.5 Waveforms of grid-connected current in two scenarios

圖6 為不同有功功率下的并網(wǎng)電流波形及諧波分析，其中，圖6（a）為并網(wǎng)逆變器的有功功率由15 kW 變化到21.5 kW 時的實驗結(jié)果。從圖6 中可以看出，當(dāng)有功功率為15 kW 時，并網(wǎng)電流波形良好，系統(tǒng)穩(wěn)定，但切換到21.5 kW 后，并網(wǎng)電流波形發(fā)生振蕩，系統(tǒng)失穩(wěn)。圖6（b）為切換到有功功率21.5 kW 后，系統(tǒng)發(fā)生諧波不穩(wěn)定時a 相電流頻譜（快速傅里葉變換（FFT）基頻為5 Hz，THD 表示總諧波畸變率），a 相電流FFT 分析表明振蕩頻率為1 870 Hz，與理論分析所得諧振頻率基本一致，由此說明了理論模型構(gòu)建的正確性。

圖6 不同有功功率下的并網(wǎng)電流波形及諧波分析Fig.6 Waveforms of grid-connected current and harmonic analysis with different active power

附錄A 圖A13 為延遲時間Td=139 μs 時系統(tǒng)不穩(wěn)定的實驗結(jié)果，其中，圖A13（a）至（b）分別為并網(wǎng)電流和PCC 電壓的穩(wěn)態(tài)波形。可以看出，當(dāng)Td=139 μs 時，并網(wǎng)電流和PCC 電壓的波形嚴(yán)重惡化，系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)，驗證了圖3（a）中Td大于137 μs會導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)失穩(wěn)現(xiàn)象的理論結(jié)果。

附錄A 圖A14 為ki=40 時kp變化的并網(wǎng)電流波形，結(jié)果表明隨著kp從0.190 增加至0.214，并網(wǎng)電流波形質(zhì)量逐漸惡化。當(dāng)kp為0.19 時，并網(wǎng)電流波形良好，而當(dāng)kp為0.198 時，如圖A14（b）所示，并網(wǎng)電流波形開始稍有畸變，但系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)kp為0.206 和0.214 時，并網(wǎng)電流波形質(zhì)量嚴(yán)重惡化，系統(tǒng)失穩(wěn)。實驗結(jié)果表明，隨著kp的增大，系統(tǒng)逐漸進入不穩(wěn)定狀態(tài)，同時也驗證了圖3（b）中kp大于臨界值0.202 時會導(dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn)的理論分析結(jié)果。

附錄A 圖A15 為Ⅰ段區(qū)間不同電纜長度L的并網(wǎng)電流波形，當(dāng)L=27 km 時，如圖A15（a）所示，并網(wǎng)電流波形良好，系統(tǒng)穩(wěn)定；當(dāng)L=33 km 時，如圖A15（b）所示，并網(wǎng)電流波形質(zhì)量嚴(yán)重惡化，系統(tǒng)失穩(wěn)，驗證了L大于28.5 km 會導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定的理論分析。如圖A15（c）所示，當(dāng)L=38 km，大于臨界值36.5 km 時，并網(wǎng)電流波形良好，系統(tǒng)重新處于穩(wěn)定狀態(tài)。實驗結(jié)果與圖A6（a）所得理論分析結(jié)果相吻合，驗證了隨著電纜長度增加時，系統(tǒng)穩(wěn)定性并不是逐漸降低，而是存在一種不連續(xù)穩(wěn)定區(qū)域的結(jié)論。電纜長度在Ⅰ段和Ⅱ段區(qū)間對系統(tǒng)諧波不穩(wěn)定影響規(guī)律類似，由于篇幅有限，本文不作分析。

附錄A 圖A16 為不同網(wǎng)側(cè)等效電感Lg的并網(wǎng)電流穩(wěn)態(tài)波形。如圖A16（a）所示，當(dāng)Lg=2 mH 時，并網(wǎng)電流波形良好，系統(tǒng)穩(wěn)定；當(dāng)Lg=5 mH 時，如圖A16（b）所示，并網(wǎng)電流波形質(zhì)量嚴(yán)重惡化，系統(tǒng)失穩(wěn)，驗證了Lg大于3 mH 時會導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定的理論分析；從圖A16（c）可以看出，當(dāng)Lg=17 mH，大于臨界值15.8 mH 時，并網(wǎng)電流波形良好，系統(tǒng)重新處于穩(wěn)定狀態(tài)，實驗結(jié)果與圖A9 所得理論分析結(jié)果相吻合。

附錄A 圖A17 為鎖相環(huán)帶寬變化時并網(wǎng)逆變器輸出電流波形，其中，鎖相環(huán)帶寬從10 Hz 變?yōu)?0 Hz，并網(wǎng)電流均保持穩(wěn)定，與圖3（c）所得理論分析結(jié)果相吻合。外環(huán)控制器帶寬變化時并網(wǎng)電流波形如圖A18 所示，其中，外環(huán)控制器帶寬從30 Hz 變?yōu)?0 Hz，并網(wǎng)電流均保持穩(wěn)定，從而說明外環(huán)控制器對系統(tǒng)諧波振蕩影響很小。

基于RT-LAB 平臺搭建如附錄A 圖A8 所示的逆變器并網(wǎng)系統(tǒng)主電路拓?fù)?，并在控制程序中實現(xiàn)逆變側(cè)電感電流反饋控制。當(dāng)電流內(nèi)環(huán)控制參數(shù)kp=0.208 和ki=40 時，圖7 為不同參數(shù)b下的并網(wǎng)電流波形。當(dāng)參數(shù)b=17，如圖7（a）所示，此時并網(wǎng)電流質(zhì)量嚴(yán)重惡化，系統(tǒng)失穩(wěn)，當(dāng)參數(shù)b增大到22 時，如圖7（b）所示，系統(tǒng)波形良好，處于穩(wěn)定狀態(tài)。實驗結(jié)果與圖4 所得理論分析結(jié)果相符。

圖7 不同參數(shù)b 下的并網(wǎng)電流波形Fig.7 Waveforms of grid-connected current with different values of parameter b

5 結(jié)語

本文建立了考慮LTC 特性的逆變器并網(wǎng)系統(tǒng)高頻狀態(tài)空間模型，通過參與因子和根軌跡法研究了系統(tǒng)諧波不穩(wěn)定機理及關(guān)鍵影響因素，進一步基于系統(tǒng)狀態(tài)空間模型提出了改善系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法，并通過與RT-LAB 實驗結(jié)果進行對比，驗證了本文穩(wěn)定性分析及所提出穩(wěn)定性改善方法的正確性。得到如下結(jié)論：

1）本文所提出的含頻變LTC 的交流系統(tǒng)高頻狀態(tài)空間模型能夠準(zhǔn)確反映逆變器并網(wǎng)系統(tǒng)的高頻諧波振蕩特性。

2）電纜線路參數(shù)的頻變特性對系統(tǒng)穩(wěn)定性影響不容忽視。此外，電纜長度變化會影響系統(tǒng)諧波穩(wěn)定性，當(dāng)電纜長度增加時，系統(tǒng)的穩(wěn)定性并不是逐漸降低，而是存在一種不連續(xù)穩(wěn)定區(qū)域，且電纜長度在Ⅰ段和Ⅱ段區(qū)間對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響規(guī)律基本相同。

3）基于根軌跡變化規(guī)律，增大控制延時及電流內(nèi)環(huán)比例系數(shù)會引發(fā)系統(tǒng)諧波不穩(wěn)定現(xiàn)象，而電網(wǎng)阻抗逐漸增加時，系統(tǒng)穩(wěn)定性與電網(wǎng)阻抗之間并不具有線性關(guān)系，存在不連續(xù)穩(wěn)定區(qū)間。

4）提出了基于靈敏度分析和矩陣相似變換的諧波不穩(wěn)定抑制方法，可有效降低系統(tǒng)諧波不穩(wěn)定的風(fēng)險。

本文的研究僅針對電網(wǎng)電壓平衡情況下分析LTC 特性對并網(wǎng)系統(tǒng)諧波不穩(wěn)定的影響，后續(xù)工作將基于電網(wǎng)電壓不平衡或輸電纜線路參數(shù)不對稱情況，開展相關(guān)的逆變器并網(wǎng)系統(tǒng)諧波不穩(wěn)定性問題研究。

附錄見本刊網(wǎng)絡(luò)版（http：//www.aeps-info.com/aeps/ch/index.aspx），掃英文摘要后二維碼可以閱讀網(wǎng)絡(luò)全文。