二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是全國各省市中考必考的內(nèi)容,其中二次函數(shù)圖象的軸對稱性是二次函數(shù)圖象非常重要的特點,同時也是近年各省市中考的高頻考點.但是,由于義務教育段教材對二次函數(shù)的軸對稱性認識的描述比較模糊,只是通過師生畫二次函數(shù)的圖象,結(jié)合軸對稱圖形的定義,讓學生體會到二次函數(shù)的圖象是一條對稱的曲線,缺乏數(shù)量上的具體刻畫.
本文中將對二次函數(shù)的軸對稱性進行數(shù)量上的刻畫,并以此為基礎(chǔ),進而對涉及二次函數(shù)圖象上點的縱坐標(函數(shù)值)大小的比較、界點等類問題的解決分享一些思路和方法.
1 對二次函數(shù)圖象軸對稱性的數(shù)量刻畫
二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象關(guān)于直線x=-b2a對稱,有如下結(jié)論:對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象上的任意兩點(x1,y1),(x2,y2)亦或是任意兩組對應值,若滿足x1+x22=-b2a,則必有y1=y2;反之,若y1=y2,則也一定有x1+x22=-b2a.從二次函數(shù)圖象來看,關(guān)于直線x=-b2a對稱的兩個點到直線x=-b2a的距離相等.
2 二次函數(shù)圖象軸對稱性的兩個結(jié)論
由于數(shù)量間的相等關(guān)系是數(shù)量間大小關(guān)系發(fā)生變化的分界點,因此在初中數(shù)學中,在比較數(shù)量間的大小關(guān)系時,往往從研究數(shù)量之間的相等關(guān)系入手,從而以此為界點,完成數(shù)量間大小的比較問題.如,在初一數(shù)學中,我們就曾經(jīng)利用方程(數(shù)量間的相等關(guān)系)得到方案的選擇問題(數(shù)量間的大小關(guān)系),就是借用了這一思想.
結(jié)合二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象特點,當agt;0時,圖象上距離對稱軸x=-b2a越遠的點,其縱坐標(也就是函數(shù)值)越大;當alt;0時,圖象上距離對稱軸x=-b2a越遠的點,其縱坐標(即函數(shù)值)越小.根據(jù)上面1中的結(jié)論,移動二次函數(shù)的對稱軸,不難得出在x1lt;x2的條件下,有以下兩個結(jié)論:
(1)當agt;0時,若x1+x22lt;-b2a,則y1gt;y2,反之,若y1gt;y2,則x1+x22lt;-b2a;
若x1+x22gt;-b2a,則y1lt;y2,反之,若y1lt;y2,則x1+x22gt;-b2a.
從二次函數(shù)對稱軸的位置來看,對稱軸x=-b2a在x=x1+x22的右側(cè)有y1gt;y2,在左側(cè)有y1lt;y2.
(2)當alt;0時,若x1+x22lt;-b2a,則y1lt;y2,反之,若y1lt;y2,則x1+x22lt;-b2a;
若x1+x22gt;-b2a,則y1gt;y2,反之,若y1gt;y2,則x1+x22gt;-b2a.
從二次函數(shù)對稱軸的位置來看,對稱軸x=-b2a在x=x1+x22的右側(cè)有y1lt;y2,在左側(cè)有y1gt;y2.
3 結(jié)論應用
下面筆者對一些中考(或模擬)習題進行粗淺的分析,共同體會以上結(jié)論在分析二次函數(shù)相關(guān)問題時所起的作用,以饗讀者.
例1(陜西中考練習題)若一個二次函數(shù)y=ax2-2ax-1(a≠0),當x分別取x1,x2兩個不同的值時,函數(shù)值相等,則當x取x1+x2時,函數(shù)值為
解析:題目中的未知數(shù)比較多,其中的a,x1,x2及其對應的函數(shù)值均未知,直接入手將其代入函數(shù)解析式還是比較困難的,將要面對比較繁雜的方程組.在題干己告知“當x分別取x1,x2兩個不同的值時,函數(shù)值相等”的條件下,雖然不知道具體函數(shù)值是多少,由上文1中結(jié)論可知,以這兩組對應值為坐標的點必是二次函數(shù)圖象上對稱的兩個點.因此必有x1+x22=-(-2a)2a=1,所以x1+x2=2,將x=2代入函數(shù)解析式可得出y=-1.
例2(2013陜西中考副題)若一個二次函數(shù)y=ax2-4ax+3(a≠0)的圖象經(jīng)過兩點A(m+2,y1),B(2-m,y2),下列關(guān)系正確的是().
A.y1gt;y2
B.y1lt;y2
C.y1=y2
D.無法判斷
解析:對于二次函數(shù)圖象及性質(zhì)問題的解決,往往需要先解決二次函數(shù)圖象的三要素(開口方向、對稱軸、頂點坐標)問題.對二次函數(shù)y=ax2-4ax+3(a≠0)而言,開口方向不明(取決于a的正負),可繼續(xù)考察其余兩個要素,利用二次函數(shù)的對稱軸公式,不難確定出二次函數(shù)的對稱軸為直線x=2,再次注意到二次函數(shù)圖象經(jīng)過A,B兩點,其橫坐標滿足m+2+2-m2=2,結(jié)合二次函數(shù)對稱軸為直線x=2,由上文1中結(jié)論可得y1=y2.故選擇:C.
例3(西安交大附中??迹┤舳魏瘮?shù)y=-(x-h)2的圖象經(jīng)過兩點A(m+6,y1),B(m,y2)兩點,且y1=y2,求y2的值.
解析:由y1=y2,據(jù)上文1中結(jié)論知,A,B兩點應是二次函數(shù)的圖象上對稱的兩個點,則對稱軸應為直線x=h=m+6+m2=m+3,所以二次函數(shù)y=-(x-h)2即為y=-(x-m-3)2,將點B(m,y2)代入此函數(shù)解析式得y2=-(m-m-3)2=-9.
例4(2023思源實驗學校??迹┒魏瘮?shù)y=ax2+bx+c的圖象最高點是點D(m,4)且經(jīng)過A(d,0),B(d+4,0),則a的值是().
A.1B.2
C.-1D.不確定
解析:通過審題,注意到A,B兩點縱坐標相同,則A,B應是二次函數(shù)圖象上對稱的兩點,且對稱軸是直線x=d+d+42=d+2,所以拋物線頂點坐標即為D(d+2,4).由此不妨設二次函數(shù)解析式為y=a(x-d-2)2+4,從而實現(xiàn)“消元”.將點A(d,0)代入,得a(d-d-2)2+4=0,所以a=-1.故選:C.
例5(2013陜西中考)已知兩點A(-5,y1),B(3,y2)均在拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)上,點C(x0,y0)是拋物線的頂點,若y1gt;y2≥y0,則x0的取值范圍是().
A.x0gt;-5
B.x0gt;-1
C.-5lt;x0lt;-1
D.-2lt;x0lt;3
解析:由拋物線的頂點C(x0,y0)和y1gt;y2≥y0知,頂點C是二次函數(shù)圖象的最低點,所以拋物線的開口方向向上,即agt;0.結(jié)合對稱軸是直線x=x0,又y1gt;y2,由上文2中結(jié)論(1)知,一定有-5+32=-1lt;x0.故選:B.
例6(西安愛知中學模擬)已知y=x2+(1-a)[J]5x-1是關(guān)于x的二次函數(shù),其中自變量x的取值范圍為2≤x≤4,當x=2時函數(shù)y有最大值,則下列結(jié)論正確的是().
A.拋物線與x軸無交點
B.a≥7
C.對稱軸在y軸左側(cè)
D.當x=4時,ygt;-1.
解析:因為Δ=(1-a)2+4gt;0,所以拋物線與x軸有兩個交點,故選項A錯誤.因為1gt;0,即拋物線開口向上,所以要使在自變量取值范圍內(nèi),當x=2時y有最大值,由上文2中結(jié)論(1)知,該二次函數(shù)對稱軸必須在x=2+42=3的右側(cè),即對稱軸x=-1-a2≥3,解得a≥7,故選項B正確,選項C錯誤.當x=4時,y=19-4a,又a≥7,所以y≤-9,故選項D錯誤.因此,本題正確答案為選項B.
例7(揚州中考)如圖1,已知△ABC的頂點坐標分別為A(0,2),B(1,0),C(2,1).若二次函數(shù)y=x2+bx+1的圖象與陰影部分(含邊界)一定有公共點,則實數(shù)b的取值范圍是().
A.b≤-2
B.blt;-2
C.b≥-2
D.bgt;-2
解析:由該二次函數(shù)解析式知,拋物線開口向上,且必過點(0,1),觀察到點C(2,1),二者縱坐標相同.又拋物線對稱軸為直線x=-b2,當-b2=0+22,即b=-2時,拋物線恰好過點C.若要讓二次函數(shù)y=x2+bx+1的圖象與陰影部分(含邊界)一定有公共點,由上文中結(jié)論(1)知,對稱軸需在x=1的左側(cè),即對稱軸x=-b2≤1,所以b≥-2.故選:C.
通過對以上問題的分析,我們可以得到如下解題經(jīng)驗:在二次函數(shù)圖象和性質(zhì)問題的考查中,如果已知條件涉及兩個及兩個以上點的坐標(或兩組及兩組以上自變量與函數(shù)對應值)時,就應該考慮到此題可能是對二次函數(shù)圖象軸對稱性問題的考查,結(jié)合題目中的已知條件,借助本文中對二次函數(shù)軸對稱性的數(shù)量刻畫,可以快速找到解決此類問題的突破口和著力點,并方便、快捷地解決問題.