潘艷梅

1 問題提出

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的邏輯起點(diǎn)，是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心與基礎(chǔ)．有效的數(shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生在自主探究中建構(gòu)數(shù)學(xué)概念，理解概念的來龍去脈，領(lǐng)悟其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，不斷促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展．

二面角的平面角在高中數(shù)學(xué)中是一個(gè)十分重要的內(nèi)容，也是一個(gè)較難突破的教學(xué)難點(diǎn)．在當(dāng)前的課堂上，我們經(jīng)?？吹竭@樣一種現(xiàn)象：教師引領(lǐng)學(xué)生浮光掠影地掃過二面角的平面角概念，強(qiáng)調(diào)幾個(gè)注意點(diǎn)后，立即進(jìn)入運(yùn)用概念解題階段．這種概念教學(xué)讓位于習(xí)題教學(xué)的做法，忽視了知識(shí)的發(fā)生發(fā)展，回避了由具體到抽象、由感性到理性的認(rèn)知過程，缺少學(xué)生自己的數(shù)學(xué)建構(gòu)，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)概念一知半解，大多數(shù)學(xué)生只能機(jī)械記憶和模仿．

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出：基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)活動(dòng)應(yīng)該把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境、提出合適的數(shù)學(xué)問題，引發(fā)學(xué)生思考與交流，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)[1]．筆者在執(zhí)教二面角的平面角概念時(shí)，以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，以培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)去思考問題和解決問題的能力為目標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生自主探究，經(jīng)歷觀察、操作實(shí)驗(yàn)、抽象概括、推理論證等必要的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，建構(gòu)二面角的平面角的概念，領(lǐng)悟化歸的數(shù)學(xué)思想，取得了較好的教學(xué)效果．下面筆者和各位同行分享“二面角的平面角”這一概念的教學(xué)實(shí)踐過程和感悟．

2教學(xué)實(shí)錄

師：現(xiàn)在我把筆記本電腦慢慢打開，請(qǐng)同學(xué)們觀察，隨著打開的程度不同，筆記本電腦的鍵盤和顯示屏的相對(duì)位置在改變，你能把這個(gè)實(shí)際問題數(shù)學(xué)化嗎？

設(shè)計(jì)意圖波利亞說：“抽象的道理是重要的，但是要用一切辦法使它們能看得見、摸得著．”上課伊始教師的操作和提問，意在為學(xué)生提供直觀具體的形象性材料，將新知識(shí)與已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)建立內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

生1：這個(gè)實(shí)際問題相當(dāng)于二面角的一個(gè)面以二面角的棱為軸旋轉(zhuǎn)，二面角的大小在改變．

師：生1提出了“二面角的大小”的概念，二面角是空間角，如何度量它的大小呢？

生2：一時(shí)想不到辦法．

師：有什么經(jīng)驗(yàn)可以借鑒嗎？

生3：可以找一個(gè)平面角來度量二面角．

師：你是怎么想到的？

生3：因?yàn)榍懊嫖覀儗W(xué)習(xí)過異面直線所成角和斜線與平面所成角，這兩種空間角都是轉(zhuǎn)化為平面角來度量的！

師（追問）：具體來講，是如何轉(zhuǎn)化的？

生3：異面直線所成角是用兩條相交直線所成的銳角或直角來度量的，斜線與平面所成角是用斜線和它在平面上的射影所成的銳角來度量的．

師：生3類比前面解決過的問題及獲得的方法，將空間問題平面化——降維，活學(xué)活用，值得稱贊！那么，怎樣作出一個(gè)平面角來度量二面角呢？

設(shè)計(jì)意圖 通過設(shè)疑，產(chǎn)生問題和認(rèn)知沖突，使學(xué)生陷入困惑之中，以此產(chǎn)生內(nèi)在的學(xué)習(xí)需求，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望和探索新知的積極性[2]．

師：請(qǐng)大家拿出你們的二面角模型，再加兩支筆，你能找到這個(gè)平面角嗎？（師生共同做實(shí)驗(yàn)，兩分鐘后請(qǐng)學(xué)生匯報(bào)交流）

生4：我發(fā)現(xiàn)角的頂點(diǎn)及兩條邊都不固定，難以作出平面角來度量二面角．

生5：我在棱上取了一點(diǎn)0，將兩支筆當(dāng)作角的兩邊OA，OB分別緊貼在二面角的兩個(gè)面上，這樣，角的頂點(diǎn)固定了，角的兩邊活動(dòng)范圍也相對(duì)固定，如圖1，我發(fā)現(xiàn)，當(dāng)OA，OB繞著點(diǎn)О分別在它們所在半平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)時(shí)，LAOB就可以由0變化到180，這樣4OB的大小就不確定了，因此，不能用它來度量二面角.

生5：我在棱上取了一點(diǎn)0，將兩支筆當(dāng)作角的兩邊OA，OB分別緊貼在二面角的兩個(gè)面上，這樣，角的頂點(diǎn)固定了，角的兩邊活動(dòng)范圍也相對(duì)固定，如圖1，我發(fā)現(xiàn)，當(dāng)OA，OB繞著點(diǎn)О分別在它們所在半平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)時(shí)，LAOB就可以由0變化到180，這樣4OB的大小就不確定了，因此，不能用它來度量二面角.

面內(nèi)的所有直線所成角中的最小角．

師：說得很好！事實(shí)上，除了這樣定義的角具有唯一性外，它還具有什么性質(zhì)？

生8：最值性（最小性）．

師：這就是數(shù)學(xué)所說的“不變量”和“不變性”．

根據(jù)這兩點(diǎn)，讓我們繼續(xù)尋找平面角來度量二面角，請(qǐng)大家小組合作探究．（兩分鐘后匯報(bào)交流）

生（眾）：還是找不到這樣的最小角．

師：一步將二面角轉(zhuǎn)化為線線角，似乎走得太急，我們不妨先退一步，將它化為線面角，這樣做是否可以？如果可以，該怎樣選取這條直線和平面呢？[3]

設(shè)計(jì)意圖 在學(xué)生根據(jù)“不變量”和“不變性”尋找平面角受阻的“憤、悱”之時(shí)，教師適時(shí)點(diǎn)撥，引導(dǎo)學(xué)生思考先退一步將二面角轉(zhuǎn)化為線面角，降低了問題的難度，激發(fā)了學(xué)生進(jìn)一步探究的熱情．

生9：我想這條直線應(yīng)選在二面角的其中一個(gè)面內(nèi)，然后考查這條直線與另一個(gè)半平面所成的角．

師（追問）：這條直線與二面角的棱是什么位置關(guān)系？

生9：只能相交，不能平行或重合，否則，這條直線與另一個(gè)面所成的角就恒為0，就不能反映二面角大小了．

師：經(jīng)過我們的共同探究，我們發(fā)現(xiàn)與棱垂直的那條射線與另一個(gè)面所成的角是這無數(shù)個(gè)線面角中的最大角．

師：有資格做二面角的平面角嗎？∠AOBαβ??l

生（眾）：有．

師：請(qǐng)大家總結(jié)一下二面角的平面角有什么特征？

生14：有三個(gè)特征：（1）頂點(diǎn)在棱上；（2）兩邊分別在二面角的兩個(gè)面內(nèi)；（3）兩邊都與棱垂直．

師：誰(shuí)能總結(jié)一下二面角平面角的尋找過程？

生15：我們先將二面角轉(zhuǎn)化為線面角，然后繼續(xù)將線面角轉(zhuǎn)化為線線角．根據(jù)“唯一性”“最值性”，最終找到度量二面角的平面角，它的大小僅隨著兩個(gè)半平面的相對(duì)位置變化而變化． 設(shè)計(jì)意圖 數(shù)學(xué)直覺是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的直接洞察和感悟，具有創(chuàng)造性．教師創(chuàng)設(shè)問題情境，催發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)直覺，將數(shù)學(xué)直覺與數(shù)學(xué)邏輯有機(jī)融合，數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等素養(yǎng)得到有效培育． 師：二面角的平面角的大小與點(diǎn)o在棱上的位置有關(guān)系嗎？為什么？

生16：無關(guān)，用等角定理證明：在棱1上另任取點(diǎn)o'，按同樣方法作出LA'O'B'，如圖4，因?yàn)镺A，O'A'， OB，O'B'都垂直于棱1，所以O(shè)AI/o'A' ，OBIO'B'，且LAOB和LA'O'B'的兩邊分別平行且方向相同，根據(jù)等角定理，LAOB= LA'O'B'，即平面角大小與角的頂點(diǎn)在棱上的位置無關(guān)．

設(shè)計(jì)意圖 通過等角定理，進(jìn)一步體會(huì)平面角的唯一性，理解二面角平面角定義的合理性．

3教學(xué)感悟3.1教師要從“教教材”轉(zhuǎn)向“二次開發(fā)教材” 教材是教師確定教學(xué)目標(biāo)、組織學(xué)習(xí)活動(dòng)、設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)的重要依據(jù)．課程改革對(duì)教師如何使用教材提出了新的更高的要求，即建議教師要從“教教材”轉(zhuǎn)向“二次開發(fā)教材”．教材的二次開發(fā)是對(duì)教材隱含的能夠促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的元素進(jìn)行重組、拓展、延伸，并加以經(jīng)驗(yàn)化和體驗(yàn)化的教學(xué)設(shè)計(jì)[4]． 數(shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)該讓學(xué)生看到數(shù)學(xué)概念的確立，不是來自權(quán)威，而是來自實(shí)踐，出自合理，在此過程中，學(xué)生才能學(xué)會(huì)如何給數(shù)學(xué)概念下定義，學(xué)到研究數(shù)學(xué)問題的基本思想和方法，從而發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)．基于此，筆者在二次開發(fā)教材的基礎(chǔ)上，將二面角平面角定義的合理性作為教學(xué)設(shè)計(jì)的首要考慮．

當(dāng)二面角為銳角時(shí)，把二面角的一個(gè)面內(nèi)與棱垂直的直線與另一個(gè)面所成的角定義為二面角的平面角，是基于以下命題的真實(shí)性：銳二面角的一個(gè)面內(nèi)與棱垂直的直線與另一個(gè)面所成的角，是銳二面角的一個(gè)面內(nèi)的所有直線與另一個(gè)面所成角中最大的角．因此，“把銳二面角的一個(gè)面內(nèi)所有直線與另一個(gè)面所成的最大角定義為二面角的平面角”等價(jià)于“以銳二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角”（課本的普遍定義）．事實(shí)上，基于這樣定義的角除了具有唯一性外，還具有最值性，這就是數(shù)學(xué)中所說的“不變量”和“不變性”．本節(jié)課，筆者引導(dǎo)學(xué)生充分展開討論，探究二面角的平面角定義的多種構(gòu)想，理解二面角的平面角的定義的唯一性和最值性，感受了立體幾何“轉(zhuǎn)化”“降維”思想，體會(huì)了立體幾何研究的一般思路和方法，有助于學(xué)生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的提升． 3.2 在概念的生成過程中培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)數(shù)學(xué)概念是不斷抽象的結(jié)果，其形成過程蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的每一個(gè)要素，因此，數(shù)學(xué)概念教學(xué)是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育的突破口．教材上關(guān)于二面角平面角的內(nèi)容隱去了概念形成的思維過程，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)立足于教材，著眼于學(xué)生的發(fā)展，引領(lǐng)學(xué)生有效開展概念建構(gòu)活動(dòng)． 本節(jié)課采用了啟發(fā)探究、實(shí)驗(yàn)和討論多元結(jié)合的教學(xué)方法，通過創(chuàng)設(shè)“憤悱”的教學(xué)情境，形成認(rèn)知和情感的不平衡態(tài)勢(shì)，啟發(fā)質(zhì)疑，同時(shí)運(yùn)用類比的方法鋪墊，通過問題串和兩個(gè)主要探究活動(dòng)（二面角平面角的唯一性和最值性），引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行主動(dòng)思考、探究，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從具體到抽象、從感性到理性的過渡，從而完成二面角的平面角概念的建構(gòu)，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程．學(xué)生通過直覺思維和類比的數(shù)學(xué)方法對(duì)二面角的平面角定義作出猜想，然后再加以論證．學(xué)生在親身經(jīng)歷概念的形成過程中，體會(huì)到數(shù)學(xué)思想方法（類比、化歸）的重要性，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)自然生成．

參考文獻(xiàn)

[1]中華人民共和國(guó)教育部．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[S]．北京：人民教育出版社，2020

[2]謝國(guó)生．二面角及其平面角．名師授課錄（中學(xué)數(shù)學(xué)高中版）[M]．上海：上海教育出版社，2009

[3]明強(qiáng)，方異平．掀起你的蓋頭來[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2009（4）：16-18

[4]李冰雪．教材二次開發(fā)的內(nèi)容向度及其實(shí)踐追求[J]．基礎(chǔ)教育課程，2021（19）：47-55