陳文健 魏世瓊

1 前言

平行四邊形是一類特殊的四邊形，它是義務(wù)教育階段“圖形與幾何”領(lǐng)域重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容之一，它除了具有一般四邊形所有的性質(zhì)外，還具有一些特有性質(zhì)，這些性質(zhì)為解決線段的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系、角的數(shù)量關(guān)系等問題提供了新的路徑．同時(shí)從一般的平行四邊形到特殊的平行四邊形，研究的思路和流程一脈相承，這利于發(fā)展學(xué)生自主探究的能力，培養(yǎng)直觀想象、符號(hào)意識(shí)、推理能力等數(shù)學(xué)素養(yǎng)[1]．因此，本課內(nèi)容綜合了平行線、全等三角形等知識(shí)，同時(shí)也是后續(xù)學(xué)習(xí)特殊的平行四邊形等知識(shí)的基礎(chǔ)，起著承上啟下的作用．范希爾理論被廣泛應(yīng)用于幾何教學(xué)，對(duì)培育學(xué)生的幾何思維等數(shù)學(xué)素養(yǎng)具有重要的理論價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值．筆者基于范希爾理論，以人教版（2012年版）八年級(jí)下冊(cè)第18章第1節(jié)“平行四邊形的性質(zhì)”為例，探討如何進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)．

2 范希爾幾何理論的簡(jiǎn)述

20世紀(jì)50年代，范希爾夫婦在荷蘭一所中學(xué)任教時(shí)發(fā)現(xiàn)幾何教學(xué)存在普遍問題，其中最突出的是數(shù)學(xué)教材中的問題或作業(yè)所需要的專業(yè)知識(shí)往往超出了學(xué)生的幾何思維水平．后受皮亞杰認(rèn)知發(fā)展階段理論的影響，他們經(jīng)過長期研究提出了幾何思維水平5階段理論．其后，歐美學(xué)者也開始研究范希爾理論，并擴(kuò)展了范希爾理論．從20世紀(jì)80年代開始，范希爾理論引起了全世界的廣泛關(guān)注，并成為幾何教學(xué)的熱點(diǎn)話題[2]．

2.1 范希爾幾何思維水平

范希爾將兒童幾何思維分為5個(gè)水平，分別為：水平0—視覺，處于該水平的學(xué)生通過外形來辨別圖形，形成視覺表象，不能從圖形特征出發(fā)分析圖形；水平1—分析，處于該水平的學(xué)生可以通過度量等方法探索幾何對(duì)象的性質(zhì)，但不能描述性質(zhì)間的聯(lián)系；水平2—非形式化演繹，處于該水平的學(xué)生可以形成抽象的定義并描述性質(zhì)間的聯(lián)系，可以用定義和性質(zhì)作非形式化的論證，但還不理解邏輯演繹是證明結(jié)論正確性的必由路徑；水平3—形式演繹，處于該水平的學(xué)生可以從已知條件出發(fā)，采用邏輯推理的方式證明定理，在公理體系中建立定理網(wǎng)絡(luò)；水平4—嚴(yán)密性，處于該水平的學(xué)生能在不同的公理體系下進(jìn)行數(shù)學(xué)推理[2]．

2.2 范希爾幾何教學(xué)階段

范希爾認(rèn)為學(xué)生幾何思維從一個(gè)水平過渡到下一個(gè)水平的過程離不開教師的教學(xué)指導(dǎo)，他們?cè)趲缀嗡季S五水平的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提出了五個(gè)教學(xué)階段，即學(xué)前咨詢、引導(dǎo)定向、闡明、自由定向、整合，用于指導(dǎo)教師教學(xué)[2]．

3 學(xué)生掌握平行四邊形的性質(zhì)所需的階段及教學(xué)設(shè)計(jì)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，初中階段圖形與幾何的教學(xué)要注重對(duì)圖形概念的理解，以及在此基礎(chǔ)上對(duì)圖形性質(zhì)的理解，培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)[3]．學(xué)生認(rèn)識(shí)事物需要經(jīng)歷由近及遠(yuǎn)、由已知到未知、由淺入深、從一般到特殊的層層遞進(jìn)的過程，范希爾幾何理論認(rèn)為學(xué)生的幾何思維發(fā)展是循序漸進(jìn)的，該理論為設(shè)計(jì)逐層漸進(jìn)的教學(xué)活動(dòng)提供了理論框架．筆者以該理論為指導(dǎo)，以人教版“平行四邊形的性質(zhì)”一節(jié)為主題，設(shè)計(jì)了包括5個(gè)階段的教學(xué)活動(dòng)．

階段1 直觀感知——明確研究對(duì)象

應(yīng)用多媒體展示一組生活中的圖片，例如建筑圖、風(fēng)箏、剪紙、人字梯、柵欄、地磚、停車位等，將這些圖片的輪廓描繪出來，隱去圖片，留下一組數(shù)學(xué)意義上的四邊形．

問題1 你認(rèn)為圖中的四邊形有哪幾類？你是如何進(jìn)行分類的？

學(xué)生能夠根據(jù)四邊形對(duì)邊位置關(guān)系將四邊形分為以下三類：第一類兩組對(duì)邊都不平行的四邊形，即一般四邊形；第二類是只有一組對(duì)邊平行的四邊形，即梯形；第三類是兩組對(duì)邊都平行的四邊形，即平行四邊形．

設(shè)計(jì)意圖展示生活中的圖片，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，拉近學(xué)生與研究內(nèi)容的距離，激起研究興趣．經(jīng)歷四邊形分類的過程可以培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀和抽象思維，這符合課標(biāo)要求，通過分類順勢(shì)引出本課的研究對(duì)象——平行四邊形．

階段2 類比三角形——明確研究框架及流程

教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧以往學(xué)習(xí)三角形的研究內(nèi)容以及每一個(gè)研究內(nèi)容是從哪些角度來開展研究的，學(xué)生思考、討論、作答，教師對(duì)學(xué)生的回答加以評(píng)述并補(bǔ)充完善，共同完成研究三角形的研究框架和流程，如圖1．

與生活的密切聯(lián)系，拉近學(xué)生與研究內(nèi)容的距離，激起研究興趣．經(jīng)歷四邊形分類的過程可以培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀和抽象思維，這符合課標(biāo)要求，通過分類順勢(shì)引出本課的研究對(duì)象——平行四邊形．

階段2 類比三角形——明確研究框架及流程

教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧以往學(xué)習(xí)三角形的研究內(nèi)容以及每一個(gè)研究內(nèi)容是從哪些角度來開展研究的，學(xué)生思考、討論、作答，教師對(duì)學(xué)生的回答加以評(píng)述并補(bǔ)充完善，共同完成研究三角形的研究框架和流程，如圖1．

階段3 明晰概念，實(shí)踐操作，提出猜想

（教師給每個(gè)學(xué)生發(fā)一個(gè)平行四邊形紙片，同一個(gè)小組的紙片相同，不同小組的紙片不同）

問題3根據(jù)剛才的討論，我們知道研究幾何圖形需從概念入手，你能給平行四邊形下個(gè)定義嗎？

（結(jié)合圖3，學(xué)生回答，教師整理）①平行四邊形的定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形;②平行四邊形的表示方法：平行四邊形ABCD表示為一ABCD ; ③平行四邊形的組成元素：平行四邊形ABCD有四條邊（AB.BC，CD，AD ）、四個(gè)角（∠A∠B∠C∠D∠），AC，BD是一ABCD的對(duì)角線，AC.BD交于一點(diǎn)（部分學(xué)生對(duì)對(duì)角線的認(rèn)識(shí)不夠清晰，教師要做好必要的解釋和說明）.

設(shè)計(jì)意圖在前兩個(gè)階段的基礎(chǔ)上，對(duì)平行四邊形再認(rèn)識(shí)，明晰概念，為后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)做好鋪墊．

問題4 學(xué)習(xí)平行四邊形概念后，接下來我們應(yīng)該研究什么？從哪些角度來進(jìn)行研究？

學(xué)生回答平行四邊形的性質(zhì)，從邊、角、對(duì)角線來進(jìn)行研究．

設(shè)計(jì)意圖通過平行四邊形的思維導(dǎo)圖，學(xué)生自然過渡到下一步的研究內(nèi)容和研究角度．

問題5 由平行四邊形的定義我們可知其兩組對(duì)邊互相平行，除此之外，平行四邊形的邊、角還具有哪些特點(diǎn)？你能得出哪些猜想？

各小組學(xué)生通過平移、度量、剪拼等方式，發(fā)現(xiàn)平行四邊形的邊、角的其他特點(diǎn)，進(jìn)而提出猜想．

學(xué)生回答對(duì)角、對(duì)邊相等，對(duì)角線互相平分等．

設(shè)計(jì)意圖提出猜想是進(jìn)行演繹推理、形成性質(zhì)的前奏，給學(xué)生提供探究材料，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主探究，可以提升鍛煉學(xué)生的實(shí)踐能力和操作能力，培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力． 階段4 演繹推理，驗(yàn)證結(jié)論問題6 每個(gè)小組的平行四邊形各不相同，那猜想一定正確嗎？你能證明這些猜想嗎？ 學(xué)生積極討論，尋找證明思路，找到不同的方法驗(yàn)證猜想的正確性．例如驗(yàn)證對(duì)角是否相等，有的學(xué)生根據(jù)同角的補(bǔ)角相等證明對(duì)角相等；有的學(xué)生受到剪拼法的啟發(fā)，連結(jié)平行四邊形其中一條對(duì)角線，運(yùn)用角邊角定理證明兩個(gè)三角形全等，即ABC AADC或AABD? ACDB，所以么A= Lc ，LB= LD，從而證明對(duì)角相等（圖4）．驗(yàn)證對(duì)角線是否互相平分，學(xué)生通過連結(jié)兩條對(duì)角線交于點(diǎn)o，得到四個(gè)三角形（AAOB，ABOC，ACOD，4DOA），運(yùn)用角角邊或角邊角定理證明AAOB ACOD或ABOC? ADOA，所以O(shè)A= oc ， OB=OD ，即對(duì)角線互相平分（圖5）.

設(shè)計(jì)意圖 證明是探索平行四邊形性質(zhì)的必要步驟，在證明之前讓學(xué)生體會(huì)證明的必要性對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展是十分重要的，通過合情推理得到的猜想是否正確，必須要經(jīng)過嚴(yán)格的演繹推理來加以證明．因此設(shè)計(jì)問題“猜想一定正確嗎”，目的是想了解學(xué)生是否認(rèn)識(shí)到證明的必要性，這可以加深學(xué)生對(duì)合情推理和演繹推理關(guān)系的理解．提問“你能用演繹推理的方法來證明這些猜想嗎”是想讓學(xué)生經(jīng)歷完整的證明過程．在證明過程中要求學(xué)生先獨(dú)立思考、再小組討論，鼓勵(lì)學(xué)生從多角度思考、采用多種方法進(jìn)行證明，一方面滲透了重要數(shù)學(xué)思想——轉(zhuǎn)化，另一方面培養(yǎng)了邏輯推理能力，同時(shí)還有利于發(fā)展語言表達(dá)能力和團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力． 階段5 內(nèi)化知識(shí)，體悟思想方法問題7 本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？我們從哪些角度對(duì)這些內(nèi)容進(jìn)行探究？在探究過程中運(yùn)用了哪些方法？體現(xiàn)了何種數(shù)學(xué)思想？同學(xué)們還有什么問題？ 設(shè)計(jì)意圖教師發(fā)揮引學(xué)者的作用，鼓勵(lì)學(xué)生踴躍發(fā)言，總結(jié)本節(jié)知識(shí)點(diǎn)，并對(duì)學(xué)生的回答作全面評(píng)述，完善知識(shí)體系，幫助學(xué)生將本節(jié)所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)納入已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)，建構(gòu)新的知識(shí)體系．體會(huì)類比學(xué)習(xí)法，反思探究學(xué)習(xí)過程，領(lǐng)悟“轉(zhuǎn)化”思想． 4 小結(jié) 學(xué)生認(rèn)識(shí)事物的規(guī)律通常是由近及遠(yuǎn)、由已知到未知、由淺到深、從一般到特殊，范希爾理論很好地揭示了學(xué)生認(rèn)識(shí)事物的規(guī)律，筆者認(rèn)為該理論對(duì)指導(dǎo)教學(xué)實(shí)踐具有重要價(jià)值．本文以范希爾理論為指導(dǎo)，設(shè)計(jì)了包括“直觀感知——明確研究對(duì)象” “類比三角形——明確研究框架及流程”“明晰概念，實(shí)踐操作，提出猜想”“演繹推理，驗(yàn)證結(jié)論”“內(nèi)化知識(shí)，體悟思想方法”5個(gè)階段的教學(xué)活動(dòng)．基于此，教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)堅(jiān)持以學(xué)生為本的理念，給學(xué)生提供自主探究的空間，加強(qiáng)推理論證的訓(xùn)練和思想方法的滲透，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的深度學(xué)習(xí)．

參考文獻(xiàn)

[1]章建躍．基于數(shù)學(xué)整體性的“四邊形”課程、教材及單元教學(xué)設(shè)計(jì)[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2020，59（6）：4-9，36

[2]鮑建生，周超．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程[M]．上海：上海教育出版社，2009

[3]中華人民共和國教育部．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S]．北京：北京師范大學(xué)版社，2022