張婭妮 李雪芳

1.太原科技大學(xué)，山西 太原 030024；2.河北工程技術(shù)學(xué)院，河北 石家莊 050011

《線性代數(shù)》是工科類(lèi)大學(xué)生必修的一門(mén)基礎(chǔ)課程，也是碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試中數(shù)學(xué)的必考課程［1］。它是一門(mén)基礎(chǔ)理論課，在各種代數(shù)分支中居于首要地位。在互聯(lián)網(wǎng)飛速發(fā)展的今天，它已經(jīng)通過(guò)量化和離散化等方法解決了很多問(wèn)題。它作為代數(shù)數(shù)值計(jì)算的基礎(chǔ)，是我們解決現(xiàn)實(shí)生活中實(shí)際問(wèn)題的一把利器。上課人數(shù)多是大學(xué)類(lèi)數(shù)學(xué)課程的普遍現(xiàn)象，再加之它也是一門(mén)基礎(chǔ)課，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)不管是學(xué)習(xí)別的科目還是考研等都非常重要的，并且學(xué)生對(duì)此也廣泛關(guān)注。所以，《線性代數(shù)》這門(mén)課程的功能和地位是不言自明的。

一、《線性代數(shù)》課程教學(xué)改革的必要性

我國(guó)教育的優(yōu)良傳統(tǒng)體現(xiàn)在：育人先“育德”，“注重傳道授業(yè)解惑，育人育才的有機(jī)統(tǒng)一”［2］。大學(xué)的立身之本主要在于立德樹(shù)人，隨著時(shí)代的發(fā)展，社會(huì)的更新，在我們大學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，要想讓學(xué)生在數(shù)學(xué)問(wèn)題上獲得進(jìn)步，獲得解決能力、分析問(wèn)題及進(jìn)一步的應(yīng)用，這就需要我們?cè)凇毒€性代數(shù)》備課及教學(xué)中去研究和探索，從而提高我們的教學(xué)質(zhì)量，達(dá)到全方位育人的思想。

二、課程建設(shè)目標(biāo)的改革

為了充分體現(xiàn)對(duì)人才的培養(yǎng)目標(biāo)，在教學(xué)中應(yīng)注重線性代數(shù)理論知識(shí)與中國(guó)文化、計(jì)算機(jī)、經(jīng)濟(jì)相關(guān)問(wèn)題、建模及實(shí)際生活相結(jié)合［3］。矩陣、方程和向量等相應(yīng)的線性代數(shù)知識(shí)在中國(guó)傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)文化中就有了體現(xiàn)。矩陣來(lái)源于線性方程組并主要是用來(lái)進(jìn)行對(duì)其求解［4］，它最早出現(xiàn)在我國(guó)的傳統(tǒng)著作《九章算術(shù)》中，它是我國(guó)傳統(tǒng)文化的一部分。我們知道，從數(shù)學(xué)史分析，生動(dòng)的概念能更加深人們的理解，特殊的數(shù)學(xué)符號(hào)會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生巨大的推力。學(xué)生們?cè)趯W(xué)習(xí)矩陣時(shí)，去探索國(guó)家發(fā)展過(guò)程中的智慧和文化，不僅可以培養(yǎng)我們的民族自豪感，而且讓學(xué)生加深對(duì)我國(guó)文化的理解。

矩陣作為《線性代數(shù)》課程教學(xué)及學(xué)習(xí)中的一條主線，我們?cè)诔醮谓佑|矩陣概念時(shí)，可能會(huì)感覺(jué)到陌生，感覺(jué)到不好理解，那么我們可以換個(gè)角度，我們知道矩陣是有各個(gè)元素組成的，我們可以考慮是否可以將其中的元素設(shè)置成特殊元素，從而通過(guò)引入特殊的元素的方法來(lái)講解矩陣，讓學(xué)生理解矩陣的概念，提起學(xué)生的興趣，加深學(xué)生的理解，從而加深對(duì)“國(guó)家大事”的了解，通過(guò)這樣的教學(xué)方法，學(xué)生不僅理解了矩陣的概念，對(duì)矩陣不再陌生和恐懼，以及抗拒，反而對(duì)矩陣有了一種親和力，同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生們心中的愛(ài)國(guó)思想，同時(shí)樹(shù)立正確的世界觀、人生觀、價(jià)值觀。教師在講解矩陣的概念時(shí)，可以把矩陣用特殊的元素來(lái)構(gòu)造。

學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)，可以對(duì)矩陣的概念有更好的理解，同時(shí)又能對(duì)我們?cè)O(shè)置的特殊數(shù)字背后的祖國(guó)的發(fā)展過(guò)程進(jìn)行加深了解，以及激發(fā)學(xué)生對(duì)國(guó)家歷史的進(jìn)一步學(xué)習(xí)，當(dāng)然我們也可以通過(guò)舉一反三的方法，讓學(xué)生自己舉例，極大地提升學(xué)生的興趣，讓課程在輕松愉悅中完成，這樣學(xué)生掌握得會(huì)很扎實(shí)。

線性代數(shù)大量采用初等變換，只要掌握此方法，就能在線性代數(shù)中巧妙解決運(yùn)算復(fù)雜的問(wèn)題，達(dá)到事半功倍的效果［5］。在變換過(guò)程中形式雖然不同，教師在總結(jié)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的過(guò)程中可以引入“形變質(zhì)不變”的思想。同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生在遇到難題的時(shí)候敢于動(dòng)手，通過(guò)練習(xí)，將難題進(jìn)行轉(zhuǎn)換，去解決問(wèn)題，進(jìn)而達(dá)到事半功倍的效果。

三、課程教學(xué)方法的改革

線性代數(shù)本身內(nèi)容不僅結(jié)構(gòu)性強(qiáng)，而且具有其獨(dú)有的特性，所以也就決定了，我們?cè)趯W(xué)習(xí)線性代數(shù)或者在線性代數(shù)教學(xué)中要掌握方法。在《線性代數(shù)》課程教學(xué)時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)它本身比較抽象，并且具有很高的邏輯性。在學(xué)習(xí)矩陣的運(yùn)算時(shí)，首先要知道不可以隨便改變矩陣的運(yùn)算次序，尤其注意矩陣的乘法不滿足交換律，而且矩陣要相加必須是同型矩陣［6］。矩陣與行列式這兩個(gè)不同的概念時(shí)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)它們之間雖然有區(qū)別但是也有很大的聯(lián)系，所以在教學(xué)時(shí)一定強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生完全掌握并進(jìn)行區(qū)分；在討論矩陣與向量它們之間的關(guān)系時(shí)，教師可以引入“向量是特殊的矩陣，同時(shí)矩陣可以看成是向量組”，但是它們的書(shū)寫(xiě)形式卻不一樣，尤其是討論向量之間的相關(guān)性時(shí)，要進(jìn)行線性變換化為階梯型，這時(shí)一定要體現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)。所以在教學(xué)時(shí)，教師需要通過(guò)整理分析，讓學(xué)生先把公式及定理成立的條件牢記于心，然后通過(guò)讓學(xué)生證明相關(guān)試題，來(lái)進(jìn)一步檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)《線性代數(shù)》課程中包含的主要原理、定理的理解與掌握程度［7］。在教學(xué)中我們要有好的方法，而這個(gè)方法的特點(diǎn)是具有新穎性，也就是循序漸進(jìn)的方法，可以從以下五個(gè)方面分析：

從慢到快：在第一章行列式的講解中，學(xué)生初次見(jiàn)行列式的定義，還比較陌生，這時(shí)我們的授課可以放慢一點(diǎn)，讓學(xué)生完全掌握行列式的定義，再進(jìn)一步講解行列式的計(jì)算；

由少到多：《線性代數(shù)》課程中常常涉及一些大型方程組，所以需要學(xué)生先將簡(jiǎn)單的、容易的問(wèn)題弄明白，再進(jìn)一步去解決對(duì)他們來(lái)說(shuō)有難度的問(wèn)題，例如對(duì)于矩陣的定義，首先將2 階、3 階矩陣的定義理解好，從而推廣到n 階矩陣的情形；

從簡(jiǎn)到難：對(duì)于行列式計(jì)算里的一些運(yùn)算法則，可以先試著講解簡(jiǎn)單行列式的情形，從而進(jìn)一步去應(yīng)用到復(fù)雜行列式的問(wèn)題，例如線性方程組解存在性判別，對(duì)角化問(wèn)題等；

由低到高：運(yùn)用一些技巧，無(wú)論是行列式還是矩陣的相關(guān)運(yùn)算，可以先討論低階狀態(tài)時(shí)的計(jì)算方法，再進(jìn)一步推廣運(yùn)用到高階時(shí)情形；

深入淺出：線性代數(shù)中會(huì)涉及到一些新概念如正交、特征值和特征向量，在講解時(shí)，教師可以用淺顯易懂的話，把這些難懂的定義表達(dá)出來(lái)，讓學(xué)生首先理解好它們的定義，在理解的基礎(chǔ)上，去掌握知識(shí)之間的關(guān)系及作用，一步步達(dá)到運(yùn)用自如的境地。同時(shí)可以將價(jià)值導(dǎo)向和知識(shí)傳授進(jìn)行相融合，這樣會(huì)使學(xué)生參與到教學(xué)的每一個(gè)環(huán)節(jié)中。

四、課程教學(xué)設(shè)計(jì)及教學(xué)方式的改革

（一）線性代數(shù)與數(shù)學(xué)建模結(jié)合

為了培養(yǎng)和發(fā)展高層次的人才，進(jìn)一步去適應(yīng)科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，國(guó)內(nèi)外大學(xué)特別重視線性代數(shù)的應(yīng)用，尤其是在數(shù)學(xué)建模上的應(yīng)用［8］。它的主要思維是通過(guò)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型來(lái)達(dá)到解決實(shí)際問(wèn)題的目的。

例：2022 年國(guó)賽C 題主要是通過(guò)分析玻璃的表面風(fēng)化等得出統(tǒng)計(jì)規(guī)律，及風(fēng)化前的化學(xué)成分含量，從試題中我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，這里涉及到矩陣和線性代數(shù)的相關(guān)知識(shí)。其中我們會(huì)涉及到計(jì)算協(xié)方差矩陣，從而可以得到它的特征值和特征向量，再有可以將計(jì)算出來(lái)的特征向量，按照特征值的大小寫(xiě)成矩陣的形式，分析前K 行等。

從上面的分析，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，建模的分析離不開(kāi)線性代數(shù)。通過(guò)建?？梢詾榫€性代數(shù)和生活實(shí)際聯(lián)系起來(lái)，讓學(xué)生更真切地體會(huì)到線性代數(shù)理論知識(shí)的重要性，同時(shí)在教學(xué)中穿插數(shù)學(xué)建模的知識(shí)，會(huì)為學(xué)生提供一種更好的思維方法，讓學(xué)生在以后的學(xué)習(xí)及生活中有更大的信心，同時(shí)可以培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題、思考問(wèn)題、判斷問(wèn)題、分析問(wèn)題及解決問(wèn)題的能力，還有他們之間的團(tuán)隊(duì)意識(shí)也可以得到極大的提升，為他們的進(jìn)一步成功奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)［9］。

（二）線性代數(shù)與電子、計(jì)算機(jī)結(jié)合

由于線性代數(shù)是研究線性網(wǎng)絡(luò)的主要工具，因此，對(duì)電路進(jìn)行分析、對(duì)信號(hào)系統(tǒng)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)、對(duì)數(shù)字濾波器等進(jìn)行設(shè)計(jì)都離不開(kāi)線性代數(shù)。同時(shí)我們?cè)谶M(jìn)行IC 集成電路設(shè)計(jì)時(shí)，線性方程組也可以應(yīng)用在對(duì)數(shù)百萬(wàn)個(gè)集體管的仿真軟件中［10］。

向量場(chǎng)可以應(yīng)用于對(duì)光電及射頻工程、電磁場(chǎng)、光波導(dǎo)等的分析。張量矩陣可用來(lái)分析光調(diào)制器，同樣我們生活中所用的手機(jī)，它的信號(hào)處理也是矩陣的功勞。圖形的矩陣運(yùn)算可以用在3D游戲及3D 打印中，主要用來(lái)處理大量圖形數(shù)據(jù)，包括我們看的電影及電視中的后期電腦制作都離不開(kāi)矩陣［11］。

可以發(fā)現(xiàn)線性代數(shù)與我們的生活息息相關(guān)。要想將線性代數(shù)學(xué)好，并能充分應(yīng)用到實(shí)際中，在授課時(shí)，不僅可以采用傳統(tǒng)的黑板教學(xué)，同時(shí)可以借助多媒體等，讓學(xué)生全方位地接受及了解、學(xué)習(xí)線代知識(shí)，提高學(xué)生感官和視覺(jué)上的認(rèn)知，加深對(duì)線代知識(shí)的理解。同時(shí)在教學(xué)中用計(jì)算機(jī)及相應(yīng)的軟件（如Spss、Lingo、Maple、Mathematica、Matlab）對(duì)線性代數(shù)的應(yīng)用進(jìn)行模擬，提高學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的動(dòng)力。

五、實(shí)施多樣化考核方式

在教學(xué)中，我們可以按照《線性代數(shù)》的教學(xué)大綱，根據(jù)我們的培養(yǎng)目標(biāo)以及教案的設(shè)計(jì)理念，在授課和教學(xué)時(shí)，在保留原有教學(xué)計(jì)劃、學(xué)生掌握知識(shí)的情況下，可以試著調(diào)整學(xué)生平時(shí)成績(jī)中的評(píng)價(jià)體系和素質(zhì)考核部分，達(dá)到考核方式的多元化和考核過(guò)程的多元化。其中考核方式的多元化可以包括：口頭、書(shū)面、網(wǎng)絡(luò)、討論、分小組、演講、論文、PPT 展示、作業(yè)，考核過(guò)程的多元化，即考核不僅僅局限于課堂及期中、期末考試，考核貫穿于整個(gè)教學(xué)的學(xué)期，包括課前、課中和課后，課前可以讓學(xué)生提前預(yù)習(xí)課本知識(shí)，找相關(guān)的背景資料，對(duì)將要學(xué)的知識(shí)有個(gè)清晰的了解，課中通過(guò)教師安排的授課形式，積極配合及認(rèn)真地做好課中知識(shí)的吸收，課后及時(shí)復(fù)習(xí)加深對(duì)知識(shí)的了解，進(jìn)一步多渠道獲取知識(shí)的應(yīng)用，這樣可以培養(yǎng)學(xué)生的思辨能力，從而達(dá)到專業(yè)教育目標(biāo)與政治教育目標(biāo)的有機(jī)銜接，讓融會(huì)貫通能力得到有效體現(xiàn)［12］。

綜上所述，我們通過(guò)找出恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)理念，去探索《線性代數(shù)》這門(mén)課程的教學(xué)改革，進(jìn)一步去分析和討論怎么樣最大化地挖掘?qū)W生的學(xué)習(xí)動(dòng)力，從而提高學(xué)習(xí)效率，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力等，為《線性代數(shù)》課程教學(xué)改革的研究提供一些相應(yīng)的教學(xué)素材［13］，推動(dòng)數(shù)學(xué)課程教學(xué)與應(yīng)用的交叉融合，從而達(dá)到培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的目的。