常太群,趙 林

(青島大學自動化學院,青島 266071)

0 引言

機械臂系統(tǒng)由于其具有精度高、安全性高、效率高、適用范圍廣等特性,在工業(yè)生產(chǎn)中得到了廣泛應(yīng)用[1]。機械臂的跟蹤控制問題是一個重要的研究領(lǐng)域,為了確保機器人手臂的安全、準確和高效的運動,學者們提出了許多控制方法如滑?？刂芠2]、自適應(yīng)控制[3]和H∞控制[4]等。近年來,反步法已成為解決這一問題的有效的方法之一[5]。然而,傳統(tǒng)反步法中由于虛擬信號的重復(fù)微分引起的“計算爆炸”問題會影響系統(tǒng)的控制性能。DONG等[6]提出了命令濾波反步方法解決了“計算爆炸”問題,并通過引入誤差補償機制來消除濾波誤差,提高了系統(tǒng)的控制精度。注意到在上述研究中,跟蹤誤差僅僅收斂到原點附近的小鄰域內(nèi),并不能保證系統(tǒng)狀態(tài)與期望信號之間的跟蹤誤差漸近收斂到零[7]。因此研究機械臂系統(tǒng)的漸近跟蹤控制是十分必要的。

另一方面,具有輸出約束的機械臂系統(tǒng)在各個行業(yè)中都有廣泛的應(yīng)用,通過限制機械臂系統(tǒng)的輸出,更好地控制其位置和速度,這對于需要進行高精度操作的應(yīng)用非常重要。HE等[8]將障礙李雅普諾夫函數(shù)應(yīng)用于具有輸入死區(qū)和輸出約束的機械臂來解決其跟蹤問題。此外,機械臂常常用于復(fù)雜環(huán)境中執(zhí)行任務(wù)。這些環(huán)境中可能存在非對稱時變狀態(tài)約束,例如摩擦、振動或負載變化。這對于具有輸出時變約束的機械臂系統(tǒng)的跟蹤控制提出了更高的要求。SI、YU等[9-10]分別研究了隨機非線性系統(tǒng)和嚴格反饋非線性系統(tǒng)的非對稱時變?nèi)珷顟B(tài)約束。除此之外,上述文獻所采用的時間觸發(fā)控制(TTC)任務(wù)的周期性執(zhí)行會導(dǎo)致通信資源浪費。XING等[11]提出的事件觸發(fā)控制(ETC)策略可以通過減少控制器更新頻率節(jié)省通信資源。在LI等[12]中,作者將事件觸發(fā)控制協(xié)議和有限時間控制應(yīng)用于具有輸出約束的機械臂系統(tǒng)。

在此基礎(chǔ)上,本文提出了一種事件觸發(fā)自適應(yīng)漸近控制算法來解決時變不對稱輸出約束機械臂系統(tǒng)的跟蹤問題。主要貢獻如下:

(1)采用命令濾波反步法消除了濾波誤差,避免了“計算爆炸”問題。同時,利用時變障礙李雅普諾夫函數(shù)保證了機械臂系統(tǒng)的輸出都在預(yù)設(shè)的非對稱時變約束內(nèi),提高了機械臂系統(tǒng)的控制性能。

(2)借助新的時變閾值的事件觸發(fā)控制協(xié)議和時變技術(shù),設(shè)計了一種新的事件觸發(fā)控制器來補償殘差項,最終保證跟蹤誤差漸近收斂于零。同時,節(jié)約了機械臂系統(tǒng)的通信資源。

1 控制問題描述

考慮如下具有不匹配擾動的機械臂系統(tǒng)的動力學方程:

(1)

為方便起見,定義新變量如下所示:

(2)

式(1)可以寫為:

(3)

式中:y∈Rn為機械臂系統(tǒng)的輸出。

本文的控制目標是設(shè)計一個控制器u,使其滿足以下條件:①系統(tǒng)輸出y能實現(xiàn)漸近跟蹤期望信號r(t);②閉環(huán)系統(tǒng)中的所有信號都是有界的;③系統(tǒng)輸出y被限制在時變緊集Φ中,其中Φx={x∈Rn,kc1d(t)0}?Rn,kc1d(t):R+→R,kc1u(t):R+→R。

式中:ps是正常數(shù)。

關(guān)于式(1)中的動力學模型,存在如下性質(zhì):

性質(zhì)1:存在兩個正常數(shù)g1和g2滿足以下條件0

2 自適應(yīng)命令濾波反步法控制器設(shè)計

首先,選取命令濾波器,其描述如下:

(4)

式中:如果輸入信號及其導(dǎo)數(shù)是有界的,并且π1(0)=α1(0),π2(0)=0,則對于ω>0,Ωn>0,0<ζ≤1,存在|π1-α1|≤ω。

定義坐標變換如下:

(5)

式中:z1,z2表示跟蹤誤差,π1表示濾波器輸出,Ξ1表示誤差補償信號。

虛擬控制信號、誤差補償信號和自適應(yīng)律設(shè)計為:

(6)

第一步:對于補償后的跟蹤誤差c1,選取時變障礙李雅普諾夫函數(shù)為:

(7)

定義時變不對稱約束為:

(8)

式(7)可以轉(zhuǎn)換為式(9)中的形式:

(9)

對式(9)求導(dǎo)得:

(10)

注意到:

(11)

把式(6)代入到式(10),可以得到:

(12)

第二步:選取李雅普諾夫函數(shù)為:

(13)

對式(13)求導(dǎo)得到:

(14)

受文獻[16]啟發(fā),將新的事件觸發(fā)控制協(xié)議定義為:

(15)

式中:ws(t)=vs(t)-us(t),0≤δ1<1,δ2和ε是正常數(shù)。

根據(jù)事件觸發(fā)控制協(xié)議,將控制器設(shè)計為:

(16)

連續(xù)控制信號設(shè)計如下:

(17)

式中:λ1(t),λ2(t)∈[-1,1]是設(shè)計的時變參數(shù)。

所以,可以得到:

(18)

由楊氏不等式和引理1,上式可以寫成:

(19)

(20)

將式(18)～式(20)代入式(14)可以得到:

(21)

(22)

3 穩(wěn)定性分析

對于滿足假設(shè)1、假設(shè)2和假設(shè)3的機械臂系統(tǒng),如果命令濾波器、虛擬控制信號、誤差補償信號、自適應(yīng)更新律和事件觸發(fā)協(xié)議設(shè)計為式(6)和式(15),則跟蹤誤差將漸近收斂于零且系統(tǒng)的輸出滿足非對稱時變約束。同時,可以成功地排除Zeno行為。

首先,構(gòu)造誤差補償信號的李雅普諾夫函數(shù):

(23)

對式(23)求導(dǎo)得:

(24)

因為不等式|π1-α1,s|≤ω1,其中ω1是一個正常數(shù),通過設(shè)計ω1

(25)

構(gòu)造全局李雅普諾夫函數(shù):

(26)

對其求導(dǎo)得到:

(27)

將式(6)、式(22)、式(25)代入式(27)得:

(28)

根據(jù)楊氏不等式,放縮后得:

(29)

非對稱時變約束證明:

漸近跟蹤證明:

根據(jù)引理3,式(29)可進行如下放縮:

(30)

對式(30)在[t0,t)積分得:

(31)

(32)

(33)

(34)

根據(jù)Barbalat引理可知:

(35)

最終,證明了該機械臂系統(tǒng)可以實現(xiàn)漸近跟蹤即跟蹤誤差漸近收斂到零。

Zeno行為證明:

4 仿真結(jié)果與分析

為了驗證所提出算法的有效性,我們考慮如下二自由度機械臂系統(tǒng),并利用MATLAB軟件進行仿真分析。機械臂參數(shù)如表1所示。

表1 機械臂動力學參數(shù)

定義慣性矩陣為:

定義科里奧利向心矩陣為:

通過仿真得到響應(yīng)曲線如圖1～圖3所示。由圖1a可知,在具有非對稱時變約束的事件觸發(fā)自適應(yīng)漸近跟蹤控制算法(EBAFATC)下,機械臂系統(tǒng)的輸出能夠精確地跟蹤期望信號。同時,在相同參數(shù)選擇下,對比圖1b中的不具有非對稱時變約束的算法(EBAFATCWO),圖1a中機械臂系統(tǒng)的輸出不會違反非對稱時變輸出約束,而圖1b中超出了限制,驗證了本文所提算法的有效性。圖2展示了EBAFATC算法和沒有漸近跟蹤控制算法(EBAC)的qδ=|q1-r1|+|q2-r2|曲線的對比,其中圖2a～圖2d中的擾動大小分別為:

(a) EBAFATC算法

d1=[0.2sin(t),0.2cos(t)]T,d2=[3sin(t),3cos(t)]T,
d3=[30sin(t),30cos(t)]T,d4=[150sin(t),150cos(t)]T。

可以看出,保持所有參數(shù)相同僅改變擾動大小,EBAFATC比EBAC具有更好的控制精度和魯棒性,即使失配擾動增大,qδ仍能漸近收斂于零。圖3展示了控制器執(zhí)行間隔,Zeno行為被成功避免。根據(jù)表2可以得到,控制器觸發(fā)次數(shù)明顯減少,EBAAC算法可以節(jié)約通信資源,減少通信負擔。

(a) u1觸發(fā)事件間隔 (b) u2觸發(fā)事件間隔圖3 EBAFATC控制器觸發(fā)事件間隔

表2 ETC和TTC對比結(jié)果

5 結(jié)論

本研究提出了一種事件觸發(fā)自適應(yīng)漸近跟蹤控制方法來解決非對稱時變約束下機械臂系統(tǒng)的跟蹤問題。借助命令濾波反步法,一方面成功地避免了“計算爆炸”問題,另一方面通過引入誤差補償系統(tǒng)消除了濾波器產(chǎn)生的誤差。此外,提出了一種新的事件觸發(fā)控制策略,為機械臂系統(tǒng)節(jié)省了通信資源?；跁r變技術(shù),機械臂系統(tǒng)的跟蹤誤差能夠漸近收斂到零,并且其輸出在非對稱時變約束內(nèi),使得其能夠適應(yīng)復(fù)雜多變的實際工程環(huán)境中,具有廣闊的應(yīng)用前景。最后,通過仿真驗證了該方法的有效性和可行性。